王 歌 蘭光強

(北京化工大學 數(shù)理學院，北京 100029)

引 言

中立型時滯隨機微分方程是描述諸如醫(yī)學、生態(tài)學、經(jīng)濟學、物理學等學科中眾多現(xiàn)象的一種重要工具。然而,由于此類方程的復雜性,雖然其應用廣泛，但是解析解卻很難得到,因此研究其數(shù)值解以及數(shù)值解的收斂性很有必要。另一方面,過程的當前狀態(tài)依賴于其過去的狀態(tài),但是這種依賴未必是常時滯的,從而使得考慮變時滯情形具有重要的實際意義。Mao等[1-2]提出截斷Euler-Maruyama(EM)方法，并對該方法得到的數(shù)值解的收斂性和穩(wěn)定性進行了研究。Milo?evi[3]和Guo等[4]分別研究了時滯隨機微分方程和中立型時滯隨機微分方程數(shù)值解的收斂性。Lan等[5-7]提出了修正截斷EM方法，并且得到典型隨機微分方程和中立型常時滯隨機微分方程的數(shù)值解的收斂速度和漸進穩(wěn)定性。由于在變時滯情形下通常的修正截斷方法會變?yōu)殡[式格式，而相比于顯式格式隱式格式通常計算量較大，因此本文將研究對應方程的顯式格式(改進的修正截斷EM方法)的收斂性及收斂速度。

1 基本假設、定義及重要引理

設(Ω,F,{Ft}t≥0,P)是一個完備的概率空間，考慮中立型變時滯隨機微分方程為

d[x(t)-u(x(t-δ(t)))]=f(x(t),x(t-δ(t)))dt+g(x(t),x(t-δ(t)))dB(t)

(1)

H2存在常數(shù)η∈(0,1)，對?x,y∈Rn，都有|u(x)-u(y)|≤η|x-y|，當u(0)=0時，|u(x)|≤η|x|。

H4(Khasminskii-type條件) 存在常數(shù)p≥2和K>0，使得對于?x,y∈Rn,a∈(0,1]，有

|x|2+|y|2)

H5存在常數(shù)Cξ，對于p≥2有

令Δ∈(0,1)為步長且τ=mΔ，對于充分小的Δ*>0，令h(Δ)是正的嚴格遞減函數(shù)h:(0,Δ*]→(0,∞)且滿足

(2)

由文獻[6]知若給定LR，則函數(shù)h一定存在。

對任意的Δ>0，定義修正截斷函數(shù)fΔ為

下面定義改進的修正截斷EM格式。令tk=kΔ,N=T/Δ，Xk=ξ(tk),-m≤k≤0,X-m-1:=X-m，若k=0,1,…,N，令

Xk+1=u(Xk-Ik)+Xk-u(Xk-1-Ik-1)+fΔ(Xk,Xk-Ik)Δ+gΔ(Xk,Xk-Ik)ΔBk

(3)

為定義連續(xù)格式，令

(4)

(5)

(6)

(7)

定義xΔ(t)=ξ(t),t∈[-τ,0]，對?t∈[0,T]，令

(8)

對?t∈[tk,tk+1)，上述格式也可寫成如下形式

(9)

引理1假設H1成立，那么對于任意固定的Δ>0，有

證明參見文獻[7]中引理3.1。

引理2假設H4成立，則有

證明參見文獻[7]中引理3.2。

引理3對于?t≥0，有

證明不妨設t∈[tk,tk+1)，由式(6)、(7)可知

證明由式(9)易知，

又由式(6)、(7)可知

根據(jù)[x]的定義和假設H3可知

故

又由引理1，所以得到

引理5設引理4中的條件均成立，則

證明不妨設t∈[tk,tk+1)。由式(9)得

注意到

從而由引理4得

根據(jù)引理5不難得到

引理6假設H1～H5均成立，則

證明由伊藤公式得

下面分別估計I1、I2、I3、I4這4項。

(10)

由引理2和Young不等式得

(11)

由引理1和Young不等式得

(12)

同理，由引理5和Young不等式可得

(13)

由式(10)～(13)得

再根據(jù)Gronwall引理[8]即可得證。

證明

(14)

顯然將式(14)中的xΔ(t)換成xΔ(t∧ρΔ,R)不等式仍成立。

引理8假設引理7中的假設均成立，則對?t∈[tk,tk+1)和充分小的Δ(<1)，2

證明顯然t-δ(t)∈[tk-1-IkΔ,tk+1-Ik+1·Δ)，由H3，可得

tk+1-Ik+1Δ-(tk-1-IkΔ)=2Δ+(IkΔ-Ik+1Δ)≤3Δ+[|δ′(θ)|]Δ=3Δ

由引理7,結論得證。

2 主要結果與證明

證明截斷函數(shù)定義為FR(x,y)=fh-1(R)(x,y)和GR(x,y)=gh-1(R)(x,y)，取Δ充分小，易知對任意|x|∨|y|≤R≤h(Δ)，F(xiàn)R(x,y)=fh-1(R)(x,y)=f(x,y)=fΔ(x,y)，同理GR(x,y)=gh-1(R)(x,y)=g(x,y)=gΔ(x,y)。

設v(θ)=ξ(θ),θ∈[-τ,0],當t≥0時考慮如下中立型變時滯隨機微分方程。

d[v(t)-u(v(t-δ(t)))]=FR(v(t),v(t-δ(t)))dt+GR(v(t),v(t-δ(t)))dB(t)

(15)

對任意固定的R,FR、GR滿足全局Lipschtiz條件，故方程(15)有唯一的解v(t),t≥-τ，所以有

P(x(t∧τR)=v(t∧τR),?t∈[0,T])=1

(16)

由解的唯一性，方程(1)、(15)對應的數(shù)值解滿足

P(xΔ(t∧ρΔ，R)=vΔ(t∧ρΔ，R),?t∈[0,T])=1

(17)

令l(t)=v(t)-u(v(t-δ(t)))，lΔ(t)=vΔ(t)-u(v′Δ(t))，則

根據(jù)引理5和引理8得

(18)

同理可得

(19)

易知將t替換成t∧θΔ，R，其中θΔ，R=τR∧θΔ，R,式(19)仍成立。類似于文獻[6]中引理4.1的證明,由Gronwall引理得

其中，

由式(16)、(17)以及停時的定義可得

再由標準的截斷程序[1,5]和引理7即得