牟宏偉 韓 磊 李昂陽

（1.中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院 北京 100076）（2.首都航天機(jī)械有限公司 北京 100076）

1 引言

艦載武器通常采用傳遞對準(zhǔn)技術(shù)實(shí)現(xiàn)初始對準(zhǔn)，以提供導(dǎo)航初值。傳遞對準(zhǔn)精度將會直接影響武器的打擊精度。影響傳遞對準(zhǔn)精度的因素主要有桿臂效應(yīng)誤差、時間延遲誤差和撓曲變形誤差等。其中，主、子慣導(dǎo)之間的桿臂參數(shù)可通過準(zhǔn)確測量得到，且作為傳遞對準(zhǔn)諸元數(shù)據(jù)，直接裝訂至武器，因此能夠消除桿臂效應(yīng)誤差的影響；艦船時統(tǒng)設(shè)備可提供秒脈沖信號，子慣導(dǎo)在接收主慣導(dǎo)速度、姿態(tài)等信息的同時，能夠接收秒脈沖信號，時間延遲不大于1ms，因此能夠消除時間延遲誤差的影響；由于海浪沖擊、溫度變化、艦船自身載荷等外力因素影響，船體會在不同程度上產(chǎn)生變形，影響主慣導(dǎo)輸出速度、姿態(tài)等信息的準(zhǔn)確性，當(dāng)撓曲變形達(dá)到一定程度時，可能會使濾波器發(fā)散，影響傳遞對準(zhǔn)精度。因此，補(bǔ)償撓曲變形誤差是提高傳遞對準(zhǔn)精度的關(guān)鍵。

補(bǔ)償撓曲變形誤差主要有兩種方法：第一種是對撓曲變形進(jìn)行直接或間接測量，補(bǔ)償其誤差；第二種是用數(shù)學(xué)模型描述撓曲變形。目前，撓曲變形測量的方法主要包括自準(zhǔn)直平行光管測量法、布拉格光柵測量法及攝影/攝像測量法等［1］，但上述方法具有各種局限性，例如測量精度低、測量方法復(fù)雜、要求光學(xué)通視等各種缺陷。針對第二種方法，最為實(shí)用的就是將動態(tài)撓曲變形近似為存在隨機(jī)攏動的隨機(jī)過程，這一特性與白噪聲驅(qū)動下的馬爾可夫過程相似［1～3］。因此，通常把撓曲變形當(dāng)作二階馬爾可夫過程來進(jìn)行建模，并對其進(jìn)行相應(yīng)的假設(shè)，但在實(shí)際應(yīng)用中，由于動態(tài)特性復(fù)雜，該建模方法的準(zhǔn)確性是未知的。

針對上述問題，本文提出了模型預(yù)測濾波（Model Prediction Filter，MPF）技術(shù)，并應(yīng)用于傳遞對準(zhǔn)中。模型預(yù)測濾波能夠在線估計(jì)未知的模型誤差，而且由于各濾波方程均為解析表達(dá)式，所以不存在迭代求逆過程，計(jì)算速度比較快［4～5］。最后，通過數(shù)值仿真分析，驗(yàn)證了該方法的有效性。

2 傳遞對準(zhǔn)誤差模型

2.1 誤差方程

姿態(tài)誤差方程為

速度誤差方程為

2.2 濾波模型

根據(jù)文獻(xiàn)［1］，傳遞對準(zhǔn)速度加姿態(tài)匹配的濾波方程為

系統(tǒng)狀態(tài)變量為

其中，δvx、δvy分別為東向和北向的速度，?mx、?my、?mz分別為主慣導(dǎo)系統(tǒng)與子慣導(dǎo)系統(tǒng)之間的失準(zhǔn)角，?ax、?ay、?az分別為主慣導(dǎo)系統(tǒng)與子慣導(dǎo)系統(tǒng)之間的安裝誤差角，εx、εx、εx分別為陀螺漂移誤差，?x、?y分別為加速度計(jì)誤差。

系統(tǒng)狀態(tài)方程為

速度加姿態(tài)匹配傳遞對準(zhǔn)匹配方法的濾波模型中觀測量是主、子慣導(dǎo)系統(tǒng)之間的速度誤差以及姿態(tài)誤差，系統(tǒng)觀測方程為

3 模型預(yù)測濾波算法

模型預(yù)測濾波的提出克服了傳統(tǒng)卡爾曼濾波在濾波過程中將模型誤差假設(shè)為過程噪聲處理的缺點(diǎn)［6～9］，而且模型預(yù)測濾波的最大優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算速度快，將可觀測低的狀態(tài)變量作為模型誤差進(jìn)行估計(jì)，以模型誤差為估計(jì)量，用觀測量校正不確定誤差，而且由解析表達(dá)式表達(dá)的模型預(yù)測濾波方程，沒有迭代求逆過程，在保證系統(tǒng)高精度的同時，降低了系統(tǒng)維數(shù)，加快了計(jì)算速度，提高了實(shí)時性。

3.1 模型預(yù)測濾波算法

假設(shè)存在線性系統(tǒng)如下：

其中，f∈Rn為連續(xù)可微非線性函數(shù)；x∈Rn為狀態(tài)變量；G∈Rn×q為模型誤差的分布矩陣；D∈Rq為模型誤差向量；y∈Rm為量測向量；v為零均值的高斯白噪聲的量測噪聲向量，且有協(xié)方差E{vvT}∈R。

令狀態(tài)估計(jì)與預(yù)測輸出估計(jì)之間的關(guān)系如下：

由李導(dǎo)數(shù)定義，k階李導(dǎo)數(shù)為

因?yàn)镈的任意分量第一次出現(xiàn)在hi的微分中的最低階數(shù)為pi，所以當(dāng)微分階數(shù)小于pi時，有，式（12）可寫為

當(dāng)i=1…m時，分別求出如式（13）的泰勒級數(shù)展開式，并寫成矩陣的形式，則有：

U(?)∈Rm×q為靈敏度矩陣，由式（14）可以表示為

其中，gj為G的第j列，j=1…q。

模型預(yù)測濾波的基本工作原理是預(yù)測輸出跟蹤量測輸出，進(jìn)而估計(jì)出模型誤差量。則性能指標(biāo)函數(shù)J(D)定義由預(yù)測輸出與量測輸出之間的殘差加權(quán)平方和及模型修正項(xiàng)加權(quán)平方和組成，表達(dá)式為

其中，W∈Rq×q為模型誤差的加權(quán)陣，估計(jì)效果會受W取值的影響，但其最優(yōu)值往往很難得到，所以只能根據(jù)經(jīng)驗(yàn)近似選取，如果選取不當(dāng)，則會造成對模型誤差估計(jì)的效果變差，進(jìn)而導(dǎo)致狀態(tài)估計(jì)精度降低。通常在模型誤差較大的情況下，W的取值不應(yīng)該過大，而在模型誤差較小時，W的取值可以稍微大一些。

假設(shè)小時間間隔Δt為常值，得到y(tǒng)(t)=yk，y(t+Δt)=yk+1。如果使J最小，則需滿足?J/?Dk=0的條件，為此可以獲得在[tk,tk+1]間的模型誤差估計(jì)為

3.2 基于模型預(yù)測濾波的濾波器設(shè)計(jì)

模型預(yù)測濾波不但克服了假設(shè)模型誤差為零均值高斯白噪聲的局限性，對不精確模型具有很好的魯棒穩(wěn)定性［10～12］，而且由于降低了系統(tǒng)狀態(tài)變量的維數(shù)，提高了計(jì)算速度。針對上述模型預(yù)測濾波的優(yōu)點(diǎn)，本文研究模型預(yù)測濾波與卡爾曼濾波相結(jié)合的混合濾波算法，將狀態(tài)變量姿態(tài)角作為模型誤差進(jìn)行預(yù)測估計(jì)，在很大程度上提高了計(jì)算速度。仿真結(jié)果表明，該算法能夠在保證精度的情況下，減小計(jì)算量，提高系統(tǒng)的實(shí)時性。

令狀態(tài)變量中?為模型誤差，其他均為系統(tǒng)狀態(tài)變量，得到基于模型預(yù)測濾波的狀態(tài)方程為

其中，ΔX∈R6為系統(tǒng)狀態(tài)變量，F(xiàn)∈R6×6為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，G1∈R6×9為模型誤差分布陣，D∈R9為模型誤差向量，G2∈R6×6為系統(tǒng)噪聲驅(qū)動陣，W∈R6為系統(tǒng)噪聲。

4 仿真研究

4.1 仿真條件

假設(shè)載體的縱搖角為ψ，橫搖角為θ，航向角為γ，則運(yùn)載體的數(shù)學(xué)模型為

其中，ψm=5°，θm=5°，γm=5°，ωψ=2π/6(rad/s)，ωθ=2π/8(rad/s)，ωγ=2π/10(rad/s)。

初始相角：ψ0=0°,θ0=0°,γ0=0°。初始緯度φ=45.7796°，初始經(jīng)度λ=126.6705°；安裝誤差角?ax=1°，?ay=1°，?az=1°；陀 螺 常 值 漂 移 為0.01°/h ；加速度計(jì)零偏為10-4g0。

分別將卡爾曼濾波和模型預(yù)測濾波應(yīng)用于傳遞對準(zhǔn)仿真中。失準(zhǔn)角估計(jì)誤差結(jié)果見表1，仿真結(jié)果分別見圖1，其中，圖（a）為卡爾曼濾波結(jié)果，圖（b）為模型預(yù)測濾波結(jié)果。

表1 失準(zhǔn)角估計(jì)誤差（RMS）

圖1 基于卡爾曼濾波和模型預(yù)測濾波的安裝誤差角估計(jì)誤差

4.2 仿真分析

從圖1、圖2可以看出，模型預(yù)測濾波對失準(zhǔn)角的估計(jì)精度要高于卡爾曼濾波，收斂速度相對較快，而且誤差曲線相對較為平緩，濾波更為穩(wěn)定，這主要是因?yàn)槟Ｐ皖A(yù)測濾波能夠?qū)ξ粗膿锨冃文Ｐ瓦M(jìn)行預(yù)測估計(jì)，保證了濾波的精度和穩(wěn)定性，而且模型預(yù)測濾波降低了系統(tǒng)維數(shù)，減小了計(jì)算量，提高了濾波速度。

圖2 試驗(yàn)設(shè)備安裝圖

5 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證模型預(yù)測濾波算法實(shí)際傳遞對準(zhǔn)中的可行性，以某次SINS實(shí)測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，進(jìn)行離線分析，試驗(yàn)設(shè)備的安裝見圖2，基于卡爾曼濾波算法和模型預(yù)測濾波算法的方位角對準(zhǔn)結(jié)果見表2。模型預(yù)測濾波算法的對準(zhǔn)精度更高，很好地解決了撓曲變形帶來的誤差。

表2 基于卡爾曼濾波和模型預(yù)測濾波的對準(zhǔn)結(jié)果

6 結(jié)語

本文深入研究了模型預(yù)測濾波技術(shù)，并將其應(yīng)用于艦載武器傳遞對準(zhǔn)中，解決了撓曲變形數(shù)學(xué)模型未知的問題。仿真結(jié)果表明，模型預(yù)測濾波比傳統(tǒng)的卡爾曼濾波不但具有更高的濾波精度，而且提高了收斂速度，驗(yàn)證了模型預(yù)測濾波在艦載武器傳遞對準(zhǔn)中的有效性和可行性，進(jìn)而能夠提高艦載武器的打擊精度，提升實(shí)戰(zhàn)能力。