孫愛慧，包開花，夏令遠

(1.吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000；2.內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)理學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028000；3.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 長春 130024)

0 引言

對非交換留數(shù)的研究有著深刻的理論和應(yīng)用價值.Connes[1-3]的研究工作指出：非交換留數(shù)在非交換幾何中可以看作積分的角色.進一步，Connes[1]及Ugalde[4]的研究工作顯示：非交換留數(shù)與共形幾何有著密切聯(lián)系，即非交換留數(shù)在共形幾何和非交換幾何之間架起了一座橋梁.重要的是，非交換留數(shù)為重力作用給出算子理論解釋：Connes[3]敏銳地觀察到Dirac算子逆平方的非交換留數(shù)與Einstein-Hilbert作用成比例，此定理后被Kastler[5]和Kalau等[6]分別獨立地給出了證明，現(xiàn)在稱之為Kastler-Kalau-Walze定理(簡稱KKW定理).Fedosov等[7]將經(jīng)典的非交換留數(shù)在Boutet de Monvel’s代數(shù)進行推廣得到帶邊流形上的非交換留數(shù).Wang[8]將Connes的框架推廣到帶邊流形情形，得到了帶邊流形的共形不變量.進一步，Wang[8-10]結(jié)合Ponge[11]的工作，用帶邊流形上的非交換留數(shù)定義了與無撓Dirac算子相關(guān)的帶邊流形上的低維體積，并得到了這種情況下的KKW類型定理.對于帶撓率的Dirac算子不能直接利用Fedosov，Ponge等給出的方法得到緊致帶邊流形的低維體積.Ackermann等[12]在偶數(shù)維Spin流形上證明了帶撓率的Dirac算子的Lichnerowicz公式.近期，Pf?ffle等[13]在配有保度量聯(lián)絡(luò)的緊致黎曼流形上考慮了帶撓率Dirac算子的特征.進一步，Pf?ffle等[14]考慮了緊致黎曼流形上帶有撓率的保度量聯(lián)絡(luò)的變化情況，并結(jié)合誘導(dǎo)的Dirac算子、形變Dirac算子以及Chamseddine-Connes類型Dirac算子表示出了其譜作用.Wang等[15]和Bao等[16]對低維緊致帶邊Spin流形給出了關(guān)于帶撓率的Dirac算子的低維體積表示，得到相應(yīng)的KKW類型定理，并導(dǎo)出了低維緊致帶邊Spin流形上的重力作用.

在以上成果的啟發(fā)下，本文在任意偶數(shù)維帶邊Spin流形上建立了一類關(guān)于帶撓率的Dirac算子的KKW類型定理，為相應(yīng)流形上的Einstein-Hilbert作用給出了簡單的算子理論解釋.

1 預(yù)備知識

(1)

其中：

(2)

由文獻[15-16]的結(jié)論可得：

引理1.1[15-16]下面的符號公式成立：

(3)

其中：

(4)

由文獻[17]引理1，可得

(5)

(6)

引理1.2 下面的符號公式成立：

(7)

(8)

(9)

2 帶撓率的Dirac算子一類Kastler-Kalau-Walze類型定理

定義2.1[15]帶邊Spin流形上的關(guān)于帶撓率的Dirac算子的低維體積定義為

(10)

其中p1，p2是非負整數(shù)，且p1+p2≤n.記σi(A)為算子A的l-階符號，則：

(11)

(12)

這里和式滿足r-k+|α|+l-j-1=-n，r≤-p1，l≤-p2.

(13)

即

(14)

(15)

(16)

(17)

引理2.1[8]在M上的度量gM下有：

(18)

(19)

(20)

其中ξ=ξ′+ξndxn，|ξ′|=1.

為了討論方便，記

(21)

(22)

由引理1.1,1.2和2.1，對i

(23)

因此case a)Ⅰ)等于零.

(24)

根據(jù)文獻[8]中的相關(guān)定義，給出函數(shù)表達式

(25)

由引理1.1，1.2和2.1，直接計算可得：

(26)

(27)

(28)

進一步可得

(29)

則可得

(30)

(31)

由引理1.1，1.2和2.1，經(jīng)計算可得：

(32)

(33)

進一步有

(34)

從而

(35)

(36)

由直接計算可得

(37)

由引理1.1，1.2和2.1，經(jīng)計算可得：

(38)

(39)

(40)

則可得

(41)

(42)

經(jīng)直接計算可得

(43)

(44)

進一步

(45)

那么有

(46)

由Φ是case a)，b)，c)的和，且

(47)

進一步可得

(48)

下面回憶帶邊流形上的Einstein-Hilbert作用[8-9].由于

(49)

其中

(50)

(51)

從而可得：

(52)

其中Φ由(48)式給出.

(53)

其中Φ由(48)式給出.