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        權(quán)為1的多項(xiàng)式Rota-Baxter代數(shù)的模

        2022-01-05 12:57:14吳釔嫻唐孝敏
        關(guān)鍵詞:變?cè)?/a>等式情形

        吳釔嫻,唐孝敏

        (黑龍江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150080)

        1 預(yù)備知識(shí)

        Rota-Baxter代數(shù)最早出現(xiàn)在20世紀(jì)60年代,源于Baxter在概率論中對(duì)波動(dòng)理論的積分方程的代數(shù)研究[1].其在代數(shù)學(xué)中的重要作用,引起了Rota,Atkinson和Cartier等數(shù)學(xué)家的興趣,并對(duì)其做了深入研究[2-5].近年來(lái),出現(xiàn)了許多有關(guān)Rota-Baxter代數(shù)的研究結(jié)果.[6-12]Baxter[1]在研究漲落理論中的Spitzer等式時(shí)引入了一類(lèi)滿(mǎn)足特殊關(guān)系式的k-線性算子,稱(chēng)為(權(quán)為λ的)Rota-Baxter算子.確切地說(shuō),設(shè)k是一個(gè)含1的交換環(huán),則有如下定義:

        定義1.1 設(shè)R是一個(gè)交換的k-代數(shù),λ是R中的數(shù).若k-線性映射P:R→R滿(mǎn)足如下的Rota-Baxter等式:

        P(r)P(s)=P(P(r)s)+P(rP(s))+λP(rs),?r,s∈R,

        (1)

        則稱(chēng)P是R上的一個(gè)權(quán)為λ的Rota-Baxter算子.若一個(gè)k-代數(shù)R帶有一個(gè)權(quán)為λ的Rota-Baxter算子,則稱(chēng)(R,P)是一個(gè)權(quán)為λ的Rota-Baxter代數(shù).

        定義1.2 令(R,P)是權(quán)為λ的Rota-Baxterk-代數(shù),設(shè)M是一個(gè)左R-模,p:M→M是M上的一個(gè)k-線性算子,且滿(mǎn)足:

        P(r)p(m)=p(P(r)m)+p(rp(m))+λp(rm),?r∈R,m∈M,

        則稱(chēng)(M,p)是一個(gè)權(quán)為λ的Rota-Baxter左(R,P)-模.

        Rota-Baxter代數(shù)的模是結(jié)合代數(shù)的模的推廣,近年來(lái)才引起學(xué)者的關(guān)注[9-11].本文將研究權(quán)為非零的多項(xiàng)式Rota-Baxter代數(shù)模的結(jié)構(gòu).

        注1 若P是k-代數(shù)R上的一個(gè)權(quán)為λ的Rota-Baxter算子,且λ≠0,則易驗(yàn)證λ-1P是一個(gè)權(quán)為1的Rota-Baxter算子.因此,不失一般性,當(dāng)研究權(quán)為非零λ的Rota-Baxter算子(代數(shù)或模)時(shí)總假設(shè)λ=1.

        假設(shè)k是特征為零的域.設(shè)k[x]是系數(shù)取自k且以x為變?cè)亩囗?xiàng)式代數(shù).將給出一個(gè)權(quán)為1的Rota-Baxter代數(shù)(xk[x],P),其中P是由k[x]上一類(lèi)權(quán)為1的Rota-Baxter算子限制得到的[12].

        定義1.3 在xk[x]上定義線性算子P,其作用確定為

        P:xk[x]→xk[x],P(xm)=-xm,m∈N+,

        其中N+為所有正整數(shù)構(gòu)成的集合.則易知(xk[x],P)是一個(gè)權(quán)為1的Rota-Baxter代數(shù).本文以下所說(shuō)的多項(xiàng)式Rota-Baxter代數(shù)均指此權(quán)為1的Rota-Baxter代數(shù)(xk[x],P).

        定義1.4 設(shè)k〈x,y〉是以x和y為變?cè)姆墙粨Q多項(xiàng)式代數(shù),I(x,y)是由多項(xiàng)式xy+yxy生成的k〈x,y〉的主理想.定義商代數(shù)如下:

        2 多項(xiàng)式Rota-Baxter代數(shù)與代數(shù) 模

        設(shè)(xk[x],P)是本文給出的多項(xiàng)式Rota-Baxter代數(shù),即對(duì)任意的m∈N+,都有P(xm)=-xm.注意到k〈x,y〉是以x和y為變?cè)姆墙粨Q多項(xiàng)式代數(shù),令I(lǐng)P是由集合

        對(duì)于任意m∈N+,有P(xm)y-yP(xm)-yxmy-yxm=-yxmy-xmy.由于P是k線性的,因此集合

        yxm+1y+xm+1y=yxm+1y+yxmyxy-yxmyxy+xm+1y=yxm(xy+yxy)-yxmyxy+xm+1y=yxm(xy+yxy)-yxmyxy-xmyxy+xmyxy+xm+1y=yxm(xy+yxy)-(yxmy+xmy)xy+xm(yxy+xy).

        由歸納假設(shè)可知yxm+1y+xm+1y∈I(x,y),推出X1?I(x,y),于是有IP?I(x,y).因此IP=I(x,y).

        P(f)p(v)=p(P(f)v)+p(fp(v))+p(fv),?f∈xk[x],v∈M.

        p(v)=yv,?v∈M,

        (2)

        則(M,p)是一個(gè)(xk[x],P)-模.反之,若(M,p)是一個(gè)(xk[x],P)-模,定義

        yv=p(v),?v∈M,

        (3)

        (P(xm)y-yP(xm)-yxmy-yxm)v=P(xm)yv-yP(xm)v-yxmyv-yxmv=0.

        將(2)式代入上式可得

        P(xm)p(v)=p(P(xm)v)+p(xmp(v))+p(xmv).

        因此(M,p)是一個(gè)(xk[x],P)-模.

        反之,假設(shè)M是一個(gè)k〈x,y〉-模,(M,p)是一個(gè)(xk[x],P)-模.于是,對(duì)于任意v∈M,有

        (P(xm)y-yP(xm)-yxmy-yxm)v=P(xm)yv-yP(xm)v-yxmyv-yxmv.

        利用等式(3),上式等于P(xm)p(v)-p(P(xm)v)-p(xmp(v))-p(xmv),即

        IP?annM={F∈k〈x,y〉∣Fv=0,?v∈M}.

        推論2.1 設(shè)M是一個(gè)xk[x]-模,p∈Endk(M),則(M,p)是一個(gè)(xk[x],P)-模,當(dāng)且僅當(dāng)

        xp=-pxp.

        xym=xyym-1=-yxyym-1=-yxym.

        由此易知結(jié)論成立.

        3 多項(xiàng)式Rota-Baxter代數(shù)的模的刻畫(huà)

        x(e1,e2,…,en)=(xe1,xe2,…,xen)=(e1,e2,…,en)A,

        y(e1,e2,…,en)=(ye1,ye2,…,yen)=(e1,e2,…,en)B.

        命題3.1 設(shè)M是一個(gè)xk[x]-模,p∈Endk(M)并設(shè)x和p在M的某組基下的矩陣分別為A和B.則(M,p)是Rota-Baxter代數(shù)(xk[x],P)的一個(gè)模,當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于A和B的如下矩陣方程成立:

        (In+B)AB=0.

        (4)

        由命題3.1,刻畫(huà)多項(xiàng)式Rota-Baxter代數(shù)(xk[x],P)的模只需解矩陣方程(4).下面給出幾個(gè)多項(xiàng)式Rota-Baxter代數(shù)的模:

        (ⅰ)M∶=M0,θ∶xei=0,p(ei)任意,?i=1,…,n;

        (ⅱ)M∶=Mθ,0∶xei任意,p(ei)=0,?i=1,…,n;

        (ⅲ)M∶=Mθ,-I∶xei任意,p(ei)=-ei,?i=1,…,n.

        證明設(shè)x和p在M的基{e1,…,en}下的矩陣分別為A和B.由命題3.1,(M,p)是多項(xiàng)式Rota-Baxter代數(shù)(xk[x],P)的一個(gè)模,當(dāng)且僅當(dāng)(4)式成立,即(In+B)AB=0.注意到M∶=M0,θ恰是A=0的情形,M∶=Mθ,0恰是B=0的情形,而M∶=Mθ,-I恰是B=-In的情形.定理得證.

        命題3.3 取定s=(a1,a2,a3,a4,λ2)∈k5.記M為k上的2維線性空間,具有基底{e1,e2}.則M上的線性映射p和x在M上的以下5 種作用分別使得(M,p)是Rota-Baxter代數(shù)(xk[x],P)的5種模:

        (ⅰ)x(k1e1+k2e2)=k1(a1e1+a3e2),p(k1e1+k2e2)=λ2k2e2,?k1,k2∈k,其中λ2≠-1,0;

        (ⅱ)x(k1e1+k2e2)=(k1a1+k2a2)e1+k2a4e2,p(k1e1+k2e2)=-k1e1,?k1,k2∈k;

        (ⅲ)x(k1e1+k2e2)=(k1a1+k2a2)e1,p(k1e1+k2e2)=-k1e1+λ2k2e2,?k1,k2∈k,其λ2≠-1,0;

        (ⅳ)x(k1e1+k2e2)=k2a2e1+k2a4e2,p(k1e1+k2e2)=k2e1,?k1,k2∈k;

        (ⅴ)x(k1e1+k2e2)=(k1a1+k2a2)e1,p(k1e1+k2e2)=(-k1+k2)e1-k2e2,?k1,k2∈k.

        證明設(shè)x和p在M的基{e1,e2}下的矩陣分別為A和B.易見(jiàn)上述5種情形A,B分別如下:

        直接驗(yàn)證可知每種情形都有(I2+B)AB=0.由命題3.1可知結(jié)論成立.

        下面給出Rota-Baxter代數(shù)(xk[x],P)的1維和2維模的刻畫(huà).

        定理3.1 設(shè)(M,p)是一個(gè)1維Rota-Baxter代數(shù)(xk[x],P)的模,則M必為命題3.2給出的3種模之一,即:M0,θ,Mθ,0,Mθ,-I.

        證明設(shè)x和p在M的基{e1}下的矩陣分別為a和b.由命題3.1,(M,p)是Rota-Baxter代數(shù)(xk[x],P)的一個(gè)模,當(dāng)且僅當(dāng)

        (b+1)ab=0.

        注意到a,b∈k, 于是由上式可得a=0,或b=0,或b=-1.這導(dǎo)致3種情形:(ⅰ)a=0,b任意;(ⅱ)a任意,b=0;(ⅲ)a任意,b=-1.它們分別對(duì)應(yīng)M0,θ,Mθ,0,Mθ,-I.證畢.

        定理3.2 設(shè)(M,p)是一個(gè)2維Rota-Baxter代數(shù)(xk[x],P)的模,則M必為命題3.2和命題3.3給出的8種模之一.

        (5)

        此時(shí)分λ1,λ2?{0,-1},λ1∈{0,-1}和λ2∈{0,-1}的情形討論.注意到λ2∈{0,-1}可以通過(guò)調(diào)換基底元素的順序歸結(jié)為λ1∈{0,-1}的情形.因此,共分為以下6種情形:

        (ⅰ1) 若λ1,λ2?{0,-1},則由(5)式可得A=0;

        (ⅰ3) 若λ1=0,λ2=0,即B=0,則由(5)式可知A任意;

        (ⅰ4) 若λ1=-1,λ2=-1,即B=-I2,則由(5)式可知A任意;

        對(duì)照可知,(ⅰ1)是命題3.2給出的模M0,θ的一種;(ⅰ2),(ⅰ5),(ⅰ7)分別是命題3.3中(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)給出的模;(ⅰ3),(ⅰ4)分別是命題3.2給出的模Mθ,0,Mθ,-I.

        (6)

        此時(shí)分λ?{0,-1}和λ∈{0,-1}的情形討論.

        (ⅱ1) 若λ?{0,-1},則由(6)式可得a3=a4=a2=a1=0,即A=0;

        對(duì)照可知,(ⅱ1)是命題3.2給出的模M0,θ的一種,(ⅱ2),(ⅱ3)分別是命題3.3中(ⅳ),(ⅴ)給出的模.即結(jié)論得證.

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