盧亞菡，楊立興，孟凡婷，夏東陽，戚建國

（北京交通大學，a.軌道交通控制與安全國家重點實驗室；b.交通運輸學院；c.綜合交通運輸大數(shù)據應用技術交通運輸行業(yè)重點實驗室，北京 100044）

0 引言

近年來，我國城市軌道交通發(fā)展迅猛，截至2019年底，已有40個城市開通運營軌道交通，其中19 個城市已實現(xiàn)網絡化運營[1]。網絡化運營極大地提高了出行可達性，從而吸引了大量通勤客流，給運營組織帶來了極大的挑戰(zhàn)。特別是早晚高峰時段，車站客流大量聚集，導致列車持續(xù)過載、站臺擁堵情況嚴重?？紤]到客流時空分布與列車運行時刻表密切相關，為緩解上述問題，各大城市分別從供給側和需求側進行調控。供給側方面，主要通過縮短高峰期發(fā)車間隔以提高運力；需求側方面，多采取高峰期常態(tài)化限流的管理措施，通過控制單位時間內進站客流量，進而減少站臺聚集人數(shù)。以北京地鐵為例，2019年工作日日均進站量達654.1萬人次，換乘量超500萬人次，全年共有10條線路15 次縮短發(fā)車間隔，91 座車站實施常態(tài)化限流措施[2]。

鑒于此，如何應對客流擁堵問題成為運營管理部門和眾多學者關注的焦點。其中，黃倩等[3]以最小化乘客滯留時間和最大化運送客流量為目標，提出單線多站協(xié)同客流控制模型，并設計遺傳算法求解滿意的控制策略；Shi等[4]將研究的時間范圍離散化，針對單條線路各站的站外到達客流，構建最小化乘客等待時間及客流聚集風險的雙目標整數(shù)規(guī)劃模型；石俊剛等[5]以客流預警值最小為目標，提出以安全為導向的地鐵單線客流協(xié)同控制模型，并利用CPLEX軟件進行求解；楊陶源等[6]建立了地鐵單線列車跳站與客流控制協(xié)同優(yōu)化模型，并設計基于靈敏度分析的算法進行求解；Meng等[7]以最小化乘客總等待時間為目標，研究客流需求不確定時地鐵單線魯棒客流控制問題，并設計拉格朗日松弛算法求解魯棒模型。然而，以上文獻僅考慮站外到達客流，與實際偏差較大。目前，考慮換入客流影響的相關理論研究仍處于起步階段，比如，李佳杰等[8]分析了乘客換乘走行過程，并建立了面向換乘車站的客流控制與列車時刻表非線性協(xié)同優(yōu)化模型；吳開信等[9]針對客流控制問題，將換入客流折算為站廳到達乘客，統(tǒng)一進行控制。然而實際中換入客流一般不經過站廳，難以進行統(tǒng)一控制。

綜上所述，既有研究大多僅探討了面向單一車站或單條線路站外到達客流的控制方法，忽略了換入客流對本線的影響；面向整條線路或網絡，考慮換入客流影響的列車時刻表和客流控制協(xié)同優(yōu)化的研究近為空白。在實際運營中，就部分換乘站而言，換入客流量遠超站外到達客流量。因此，隨著很多城市軌道交通成網，僅考慮站外客流，針對單站或單線的站外客流進行管控，對于緩解高峰期城市軌道交通網絡擁擠現(xiàn)狀作用有限。鑒于此，有必要從城市軌道交通系統(tǒng)全局角度出發(fā)，綜合考慮換入客流和站外到達乘客，分析車流和客流之間的耦合關系，構建列車時刻表和客流控協(xié)同優(yōu)化模型，以精準匹配運力運量，實現(xiàn)運營服務和運營效益雙贏的目標。

1 問題描述

針對高峰期軌道交通車站過度擁擠問題，以高峰期乘客過載的軌道交通線路為研究對象，考慮鄰接線路換入客流的影響，通過協(xié)同優(yōu)化軌道交通線路列車時刻表與客流控制策略，盡可能地減少乘車延誤人數(shù)。如圖1所示，本文研究對象為主線路1，即圖1(a)，該線路具有圖1(b)普通車站和圖1(c)換乘車站兩種類型，其中，普通車站僅有站外到達客流，換乘車站的客流則由站外到達和換入客流兩部分組成。站外到達乘客需在站廳排隊，等待進站指令；換入乘客可直接走行至線路1 的站臺等待上車?？紤]線路2、3、4 換乘至主線路1 乘客的影響，調整線路1 的列車時刻表，使得線路1 列車的到站時間與鄰線列車的到站時間差接近換乘走行時間，則可使換入乘客盡量直接上車，減少站臺聚集人數(shù)以降低風險。為保證站臺安全，需輔以客流控制策略。所謂“客流控制”，需遵循“先控制進站客流，后控制換乘客流”的運營原則，通過控制站外到達乘客的進站人數(shù)，保證換入客流優(yōu)先乘車的同時避免大量乘客涌入站臺，從而降低運輸組織壓力。此外，從系統(tǒng)優(yōu)化角度而言，協(xié)同優(yōu)化主線路列車時刻表與客流控制策略，可以精準匹配運力運量，從根本上緩解高峰期沿線車站擁擠問題。

圖1 軌道交通線路及乘客走行過程示意圖Fig.1 Schematic diagram of rail transit line and process of passengers'travelling

鑒于此，在考慮換入客流影響的基礎上，以列車發(fā)車間隔、到站、離站時刻和控制進站人數(shù)為決策變量，構建城市軌道交通線路列車時刻表與客流控制協(xié)同優(yōu)化模型，以期實現(xiàn)系統(tǒng)優(yōu)化，緩解全線客流擁擠問題。

2 模型構建

2.1 模型假設及參數(shù)定義

模型基本假設如下:

假設1 當車站限流時，已經到達車站的乘客不會選擇換乘其他交通工具，即客流需求總量保持不變。

假設2 客流需求及OD 結構已知。在高峰時段出行的乘客大都以通勤為目的，乘客的家庭地址和工作地點相對固定，因此，通過統(tǒng)計分析AFC歷史數(shù)據，即可獲得各車站的客流需求和OD比例。

假設3 除主線路外，其他換乘線路列車時刻表不會發(fā)生改變，換入客流到站時刻及OD 結構已知，此外，在實際運營中，高峰期允許短時過載?；诖?，假設列車總能力大于換入客流要求。

為便于描述，表1給出本文模型所涉參數(shù)及其定義。

表1 變量及參數(shù)定義Table 1 Definition of variables and parameters

2.2 約束條件

(1)列車時刻表約束

列車的到發(fā)時刻需滿足列車運行過程的基本約束，即

為保證運行安全，列車發(fā)車間隔應控制在合理的范圍內。由于運行時間和停站時間是固定的，前車i與后車i+1在k車站的發(fā)車間隔由列車的離站時刻唯一確定，發(fā)車間隔只需在始發(fā)站滿足上、下限約束，即

(2)客流控制約束

本文假設當車站進行客流控制時，已到達車站站廳的乘客均不會換乘其他交通工具，即所有到站乘客均被服務，計算公式為

本文假定乘客到達車站后，先在站廳排隊等待，因此，當?shù)?輛列車到達車站時，在站廳等待的乘客數(shù)量為累積的到達客流量；后續(xù)列車到達時，在站廳等待的客流量為累積的到達客流量與累積的已放入客流量之間的差值，且滿足非負約束，即

在客流控制策略下，當列車i到達k車站時，允許進站乘客的乘客數(shù)量一定小于等于等待的客流量，即

(3)動態(tài)載客約束

動態(tài)載客過程包含乘客上、下車過程。本文假定任意車站的乘客目的地比例是既定的，則當列車i到達k車站時，下車客流量為以該站為目的地的上游車站的上車乘客總量，即

采用客流控制措施的主要目的之一是避免站臺客流積累過高，以保證乘客安全。因此，要求控制進站乘客和在站臺等待的換入乘客都能夠搭乘下一班列車離站。則列車i離開k車站時，車載人數(shù)為

其中，任意時刻t，換乘至主線路k車站的客流量為該車站其他線路換入至該線路方向的客流量之和，即

2.3 目標函數(shù)

優(yōu)化目標為沿線所有車站的乘車延誤人數(shù)加和最少。所謂乘車延誤人數(shù)，是指受到客流控制措施及列車容量的限制，未能乘坐其到站后到達的首班列車離站，而需在站廳內進行二次等待的乘客人數(shù)，即為各列車駛離車站時，所有等待乘客與被服務乘客之間的差值，即

2.4 模型線性化及求解方法

對于?i∈I,?k∈S，列車i在車站k的發(fā)車時刻為決策變量，因此式(6)，式(9)和式(10)均為非線性約束。為便于求解，引入一組二元變量bi,k（t）|t∈Q，將以上約束進行線性化轉換。如圖2所示，bi,k（t）=1表示t時刻列車i未到達且未經過k車站，bi,k（t）=0表示t時刻列車i已到達或已經過k車站，因此，該決策變量矩陣為非增矩陣，滿足

圖2 列車運行狀態(tài)變量Fig.2 Variables related to operating process of trains

任意兩相鄰列車的發(fā)車間隔為其離開同一車站的時間差，如圖2所示，因此，發(fā)車間隔需滿足

進一步，式(6)可轉化為線性約束，即

以式(16)中i=1 時為例，在時段t內，若列車1未到達或經過k車站，則bi,k（t）=1，與到達乘客數(shù)量相乘即為等待客流量；反之，bi,k（t）=0。將控制時段內所有時間區(qū)段的結果進行累加，即可得各車站等待列車1 的客流量。同理，式(9)和式(10)轉化為線性約束為

綜上，本文所構建的協(xié)同優(yōu)化非線性規(guī)劃模型轉化為標準的整數(shù)線性規(guī)劃模型，可利用優(yōu)化求解器CPLEX，調用分支定界法對其進行快速求解。

3 實證研究

3.1 基礎數(shù)據

本文選擇某特大城市軌道交通線路為研究對象，通過獲取自動售檢票系統(tǒng)(AFC)的刷卡數(shù)據進行實證分析。如圖3所示，該線路連接中心城區(qū)與郊區(qū)新城，進城方向在早高峰時段通勤客流需求數(shù)量龐大且集中，容易造成擁堵，因此，選取該條線路的進城方向進行協(xié)同優(yōu)化研究。使用分支定界法進行求解，并在優(yōu)化求解器CPLEX 12.6.2 Academic Version上實現(xiàn)，計算的終止條件為上下界Gap為1%。所有實驗在CPU為i5-10500-3.10 GHz的Windows10 操作系統(tǒng)上進行。

圖3 線路示意圖Fig.3 Schematic diagram of rail transit line

具體地，選取7:00-10:00 進行研究，首先，將其離散為時間粒度為1 min 的時間區(qū)段，則7:00 為第1 個時間區(qū)段，10:00 為第180 個時間區(qū)段。此外，線路采用單一交路的列車運行模式和“站站?！钡耐Ｕ痉桨?，停站時間作為已知參數(shù)給定。模型相關參數(shù)如表2所示。

表2 模型相關參數(shù)Table 2 Parameters related to model

3.2 結果分析

記本文模型所得方案為方案1，經過62.42 min計算得出Gap 為0.99%的近似最優(yōu)解，其中乘車延誤人數(shù)為72607 人，列車運行圖如圖4(b)所示?？梢钥闯?，第1～20 列車的發(fā)車間隔較小，均為2，3，4 min，這是因為該時段內客流需求較大，需要匹配相應的運力。

為分析本文協(xié)同優(yōu)化模型的有效性，記優(yōu)化前的方案為方案2，在該方案中列車時刻表采取實際運營時刻表，如圖4(a)所示。進一步，基于方案1，考慮僅面向供給側，優(yōu)化列車時刻表以緩解擁堵，即采用方案1所得優(yōu)化后的列車時刻表，不施加客流控制策略，記為方案3。最后，與大多既有文獻一樣，在進行協(xié)同優(yōu)化時將第1列車的發(fā)車時刻設置為固定值，記為方案4。通過上述實驗方案，選取乘車延誤人數(shù)、乘客平均延誤時間和乘客平均等待時間這3個關鍵性指標，對本文所提方法的有效性進行驗證，計算結果如表3所示。

圖4 優(yōu)化前后列車運行圖Fig.4 Comparison of train diagrams before and after optimization

表3 各方案結果Table 5 Comparison of experimental results

結果表明，與優(yōu)化前相比，方案1中乘車延誤人數(shù)和平均延誤時間分別降低28.36%和37.23%；與僅優(yōu)化時刻表相比，方案1可進一步減少乘車延誤人數(shù)17.69%，這表明，針對擁堵線路進行列車時刻表與客流控制協(xié)同優(yōu)化是十分有必要的。此外，方案1中乘車延誤人數(shù)、平均延誤時間及平均等待時間均低于方案4，說明面向車流側和客流側進行協(xié)同優(yōu)化時，人為地固定某列車的開行計劃不足以達到系統(tǒng)最優(yōu)。圖5為上游車站SM 站和下游車站DTLD站的客流聚集情況?？梢钥闯?，隨列車開行，進行協(xié)同優(yōu)化時，方案1 的客流聚集情況較方案4有所緩解，進一步驗證了本文所提方法的有效性。

圖5 客流聚集情況示意圖Fig.5 Comparison of accumulation situations

3.3 靈敏度分析

為探討最大滿載系數(shù)對乘車延誤人數(shù)的影響，對最大滿載系數(shù)進行靈敏度分析，并記錄本文模型(方案1)在不同最大滿載系數(shù)下的乘車延誤人數(shù)、乘客平均延誤時間、乘客平均等待時間的變化情況，如圖6所示。由圖6可知，當最大滿載系數(shù)發(fā)生波動時，本文模型均可尋找到近似最優(yōu)解，具有較好的穩(wěn)定性；此外，隨最大滿載系數(shù)的增大，上述3個指標均呈遞減趨勢，這是由于隨運力的增加，停站時允許進站乘車的人數(shù)會增多，乘車延誤人數(shù)、乘客平均延誤時間、乘客平均等待時間將隨之減少。鑒于此，軌道交通運營商可通過增加運力等策略，在保證高服務水平的前提下，提高運力和運量的匹配性從而滿足高峰期海量通勤需求。

圖6 不同最大滿載系數(shù)下乘車延誤人數(shù)、乘客平均延誤時間、乘客平均等待時間的對比Fig.6 Comparison among various values of λ

4 結論

為緩解城市軌道交通車站擁擠情況，本文提出一種考慮換入客流影響的列車時刻表與客流控制協(xié)同優(yōu)化方法，以最小化乘車延誤人數(shù)為目標，通過將列車運行過程及乘客出行過程進行耦合并轉化為相應的狀態(tài)約束，構建了協(xié)同優(yōu)化模型。最后將該方法應用于我國某特大城市軌道交通的實證研究中。結果表明：

(1)本文模型對列車時刻表和客流控制進行協(xié)同優(yōu)化，可利用優(yōu)化求解器CPLEX 調用分支定界法進行快速求解。分析案例發(fā)現(xiàn)，本文所提方法與優(yōu)化前方案相比，軌道交通線路各車站的乘車延誤人數(shù)、乘客平均延誤時間、乘客平均等待時間均顯著降低。

(2)本文模型所確定的列車時刻表和客流控制方案在最大滿載系數(shù)發(fā)生波動時具有較好的穩(wěn)定性，可始終滿足約束；乘車延誤人數(shù)、乘客平均延誤時間、乘客平均等待時間均隨最大滿載系數(shù)增大而減小，與實際運營情況相符，驗證了本文模型的實用性。