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2021年新高考全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)19題是一道解三角形的問題，主要考查考生對(duì)正、余弦定理的掌握情況。第一問難度不大，大部分考生都可以得到相應(yīng)的分值；但第二問區(qū)分度較大，大部分考生未能得到滿分。本文先介紹該題的解法，再展示一些考生答題時(shí)出現(xiàn)的典型問題，最后分析原因并給出備考策略。

一、試題再現(xiàn)

記△ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1）證明：BD=b；

（2）若 AD=2DC，求 cos∠ABC.

二、試題解析

三、典型問題

1.計(jì)算不細(xì)心失分

2.忽略余弦值的范圍失分

3.忽略已知條件，沒有運(yùn)用消元思想失分

4.雙變量方程不會(huì)因式分解失分

5.沒有找出三角形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系進(jìn)而求余弦而失分。

四、錯(cuò)因分析及備考策略

錯(cuò)因1：審題不認(rèn)真，沒有明確的計(jì)算方向。有用正弦定理計(jì)算的，算到一半放棄了；有用余弦定理去尋找邊長(zhǎng)a，b，c之間關(guān)系的，但是角的關(guān)系找不準(zhǔn)，不能著眼于兩個(gè)三角形中尋找等量關(guān)系；有的誤認(rèn)為∠ABD=∠CBD；有的用向量分析問題，但進(jìn)一步求解沒有方向。

備考策略：對(duì)三角函數(shù)基本公式的應(yīng)用方法要了然于心，要條分縷析，善于歸納解題思路。比如已知三角形三條邊時(shí)，首先想到用余弦定理解三角形；知道兩邊及其中一邊所對(duì)角時(shí)，首先想到用正弦定理解三角形；做題時(shí)要多讀幾遍題目條件，關(guān)鍵的條件可以用筆圈出來(lái)。例如本題第二問，因?yàn)轭}目沒有明確角與角之間的關(guān)系，而是給出了邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，所以我們應(yīng)鎖定用余弦定理處理問題。

錯(cuò)因2：計(jì)算能力弱。例如在本題中，一是整理到了12a2-22ac+6c2=0，不約分；二是整理到了6a2-11b2+3c2=0，但忽略了已知條件b2=ac，解題受阻；三是對(duì)于6a2-11ac+3c2=0這個(gè)雙變量的齊次式不會(huì)因式分解，或者是進(jìn)行了正確的因式分解（2a-3c）（3a-c）=0，但在最后求解cos∠ABC時(shí)計(jì)算出錯(cuò)，或者沒有對(duì)兩個(gè)解進(jìn)行取舍。

備考策略：總結(jié)運(yùn)算規(guī)律，提升運(yùn)算能力。比如，在解方程時(shí)要充分利用已知條件化多元為一元；遇到三角問題時(shí)化同角或同名；對(duì)代數(shù)式或方程能約分先約分，能因式分解要因式分解；對(duì)于二次方程不會(huì)因式分解的話也可以用求根公式進(jìn)行運(yùn)算；出現(xiàn)多解問題時(shí)要進(jìn)行有理有據(jù)的取舍。