尹 碩，張德順

(石河子大學(xué) 理學(xué)院，新疆 石河子 832000)

在集成電路板等電子產(chǎn)品生產(chǎn)中，需要將安裝有各種電子元件的印刷電路板放置在回焊爐中，通過(guò)加熱，將電子元件自動(dòng)焊接到電路板上. 在生產(chǎn)過(guò)程中，讓回焊爐的各部分保持工藝要求的溫度，對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量至關(guān)重要. 目前，這方面的許多工作通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試的方法來(lái)進(jìn)行控制和調(diào)整. 此物理背景為2020年高教杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題[1]，旨在通過(guò)構(gòu)建機(jī)理模型來(lái)進(jìn)行分析研究，利用牛頓冷卻定律建立焊點(diǎn)與環(huán)境之間的熱交換模型[2-5]，在求解回焊爐內(nèi)部焊點(diǎn)溫度隨時(shí)間變化的爐溫曲線(xiàn)中有參考意義.

1 模型背景

回焊爐內(nèi)部設(shè)置若干個(gè)小溫區(qū)，從功能上可分成4個(gè)大溫區(qū)：預(yù)熱區(qū)、恒溫區(qū)、回流區(qū)、冷卻區(qū). 電路板兩側(cè)搭在傳送帶上勻速進(jìn)入爐內(nèi)進(jìn)行加熱焊接. 回焊爐內(nèi)一般有11個(gè)小溫區(qū)及爐前區(qū)域和爐后區(qū)域，每個(gè)小溫區(qū)長(zhǎng)度為30.5 cm，相鄰小溫區(qū)之間有5.0 cm的間隙，爐前區(qū)域和爐后區(qū)域長(zhǎng)度均為25.0 cm. 回焊爐啟動(dòng)后，爐內(nèi)空氣溫度會(huì)在短時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定，穩(wěn)定后，回焊爐方可進(jìn)行焊接工作. 爐前區(qū)域、爐后區(qū)域以及小溫區(qū)之間的間隙無(wú)特殊的溫度控制，其溫度與相鄰溫區(qū)的溫度有關(guān)，各溫區(qū)邊界附近的溫度也可能受到相鄰溫區(qū)溫度的影響[6-7]. 另外，生產(chǎn)車(chē)間的溫度保持在25 ℃.

在設(shè)定各溫區(qū)的溫度和傳送帶的過(guò)爐速度后，可以通過(guò)溫度傳感器測(cè)試某些位置上焊接區(qū)域中心的溫度，稱(chēng)之為爐溫曲線(xiàn)(即焊接區(qū)域中心的溫度曲線(xiàn)). 各溫區(qū)設(shè)定的溫度分別為175 ℃(小溫區(qū)1～5)、195 ℃(小溫區(qū)6)、235 ℃(小溫區(qū)7)、255 ℃(小溫區(qū)8～9)及25 ℃(小溫區(qū)10～11)；傳送帶的過(guò)爐速度為70 cm/min；焊接區(qū)域的厚度為0.15 mm. 溫度傳感器在焊接區(qū)域中心的溫度達(dá)到30 ℃時(shí)開(kāi)始工作，電路板進(jìn)入回焊爐時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí).

2 模型建立

現(xiàn)討論熱傳導(dǎo)的相關(guān)數(shù)學(xué)模型如圖1所示，已知溫度值u是關(guān)于電路板在傳送帶上的位置x與時(shí)間t的二元函數(shù)，選取爐前區(qū)域的起始點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).現(xiàn)使用熱傳導(dǎo)原理推導(dǎo)回焊爐內(nèi)相鄰溫區(qū)間隙的溫度u關(guān)于位置x的函數(shù)關(guān)系[8],根據(jù)能量守恒定律可得

圖1 一維空間下熱傳導(dǎo)坐標(biāo)圖

(1)

其中C為物質(zhì)比熱容，ρ為物質(zhì)密度，k為熱傳導(dǎo)系數(shù)，u為爐內(nèi)有溫度變化縫隙區(qū)域的溫度值.

初始時(shí)刻t=0時(shí)各處溫度值為τ0，任一時(shí)刻在原點(diǎn)位置處的溫度值為τ1，在位置l處的溫度值為τ2.一維空間中，回焊爐中電路板的泛定方程和定解條件為：

(2)

解得溫度值為

(3)

其中Cn為常量，an為本征值，l為縫隙區(qū)域長(zhǎng)度.

若使回焊爐內(nèi)各個(gè)部分區(qū)域溫度穩(wěn)定，就要使回焊爐啟動(dòng)足夠長(zhǎng)的時(shí)間.假定回焊爐已經(jīng)開(kāi)啟足夠長(zhǎng)時(shí)間，則式(3)中t→∞，分析可得溫度函數(shù)是關(guān)于電路板位置坐標(biāo)的線(xiàn)性函數(shù)，與圖像的擬合程度很好.

通過(guò)實(shí)際擬合情況推知,在爐前區(qū)域的溫度變化圖像符合指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)；在預(yù)熱區(qū)、恒溫區(qū)、回流區(qū)和冷卻區(qū)之間縫隙的溫度變化圖像符合線(xiàn)性增長(zhǎng)趨勢(shì).由此得出溫度分布函數(shù)及其圖像如圖2所示.在爐前區(qū)環(huán)境溫度隨電路板位置呈指數(shù)關(guān)系上升，在保溫區(qū)保持穩(wěn)定，在回流區(qū)出現(xiàn)穩(wěn)定和線(xiàn)性函數(shù)關(guān)系，在冷卻區(qū)呈現(xiàn)固定的溫度.圖2中環(huán)境溫度隨電路板位置x變化的函數(shù)為

(4)

焊接區(qū)域的中心溫度在預(yù)熱區(qū)先呈指數(shù)函數(shù)上升；到達(dá)保溫區(qū)，溫度以較小斜率上升；在小溫區(qū)3中點(diǎn)處，焊接中心的溫度為168.19 ℃；在小溫區(qū)6中點(diǎn)處，焊接中心的溫度為168.19 ℃；在小溫區(qū)7中點(diǎn)處，焊接中心的溫度為188.19 ℃；在小溫區(qū)8結(jié)束處，焊接中心溫度為214.97 ℃. 焊接區(qū)域的中心溫度變化情況可以通過(guò)以時(shí)間為自變量，以中心溫度為因變量做預(yù)測(cè)爐溫曲線(xiàn)，如圖3所示.

圖2 環(huán)境溫度隨電路板位置變化的坐標(biāo)函數(shù)圖像

圖3 爐溫曲線(xiàn)變化情況

為方便建立數(shù)學(xué)模型，統(tǒng)計(jì)得到傳送帶上8個(gè)節(jié)點(diǎn)距離原點(diǎn)的距離，如表1所示.

表1 節(jié)點(diǎn)距原點(diǎn)的距離

設(shè)Tn(n=1,2,…,8)表示電路板在各個(gè)分段區(qū)間上末端溫度的最大值，通過(guò)建立焊接溫度的最大值與各個(gè)溫區(qū)傳送帶速率的函數(shù)關(guān)系，計(jì)算、整理得：

(5)

其中,hm為平均對(duì)流換熱系數(shù)，v為傳送帶速度(cm/s),A,m,r,a,B均為常數(shù).通過(guò)將已知參量代入式(5)中，經(jīng)計(jì)算得出結(jié)論：將參量代入T6函數(shù)，可知大約在第9溫區(qū)的末端位置時(shí)的傳送帶移動(dòng)速度最大.

3 模型計(jì)算與檢驗(yàn)

為了方便判斷焊接中心所在位置隨時(shí)間的變化，通過(guò)Java計(jì)算出焊接中心進(jìn)入各溫度區(qū)的時(shí)間以及出溫度區(qū)的時(shí)間，如表2所示.

表2 材料焊接中心的進(jìn)出溫區(qū)時(shí)間情況

現(xiàn)應(yīng)用建立的數(shù)學(xué)模型對(duì)實(shí)際情況進(jìn)行分析擬合，并檢驗(yàn)該模型的正確性與可行性.

通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)在1～5區(qū)之間存在環(huán)境溫度保持不變的區(qū)間，在圖2中很明顯地看出終端處于150.0～175.0 ℃之間，左邊曲線(xiàn)斜率增長(zhǎng)緩慢，右邊曲線(xiàn)斜率增長(zhǎng)迅速，同樣可推測(cè)出1區(qū)中的溫度并不是都相等，而受到外界環(huán)境溫度的影響，通過(guò)Matlab工具箱精確測(cè)出符合第1部分的區(qū)間為40.0～169.0s，其函數(shù)模擬曲線(xiàn)如圖4所示.

圖4 40.0～169.0 s的焊爐曲線(xiàn)模擬圖

在曲線(xiàn)模擬過(guò)程中，可以求得模擬曲線(xiàn)函數(shù)為：

T=64.75+(175-64.75)·

(6)

此函數(shù)所得到的圖像與實(shí)際圖像幾乎重合(R2=0.999 9)，說(shuō)明在這一時(shí)間內(nèi)符合推理，記錄時(shí)間的起止時(shí)間為40.0～169.0 s. 繼續(xù)使用Matlab擬合數(shù)據(jù)，試圖尋找是否還存在環(huán)境溫度保持不變的情況，最終得到如下的擬合結(jié)果:在217.0～234.5 s,234.5～291.0 s,325.5～373.2 s內(nèi)，環(huán)境溫度均保持恒定，曲線(xiàn)擬合圖分別為圖5～7所示.

對(duì)圖5進(jìn)行曲線(xiàn)模擬，可以求得模擬曲線(xiàn)函數(shù)為

T=193.76+(235-193.76)·

(7)

此函數(shù)所得到的圖像與實(shí)際圖像幾乎重合(R2=0.999 8)，說(shuō)明在這一時(shí)間內(nèi)同樣符合上述公式推理，記錄起止時(shí)間為217.0～234.5 s.

圖5 217.0～234.5 s的焊爐曲線(xiàn)擬合圖

對(duì)圖6進(jìn)行曲線(xiàn)模擬，可以求得模擬曲線(xiàn)函數(shù)為：

T=210.91+(255-210.91)·

(8)

此函數(shù)所得到的圖像與實(shí)際圖像重合較好(R2=0.993 9)，說(shuō)明在這一時(shí)間內(nèi)同樣符合上述公式推理，記錄起止時(shí)間為234.5～291.0 s.

圖6 234.5～291.0 s的焊爐曲線(xiàn)擬合圖像

對(duì)圖7進(jìn)行曲線(xiàn)模擬，可以求得模擬曲線(xiàn)函數(shù)為

T=214.97+(25-214.97)·

(9)

此函數(shù)所得到的圖像與實(shí)際圖像重合較好(R2=0.999 6)，說(shuō)明在這一時(shí)間內(nèi)符合上述公式推導(dǎo)，記錄起止時(shí)間為325.5～373.2 s.

圖7 325.5～373.2 s的焊爐曲線(xiàn)擬合圖像

利用上述方程組擬合其他溫度變化縫隙的爐溫曲線(xiàn)，發(fā)現(xiàn)擬合程度較好，其函數(shù)圖像與工業(yè)實(shí)際生產(chǎn)線(xiàn)情況基本吻合，可證明函數(shù)關(guān)系的正確性和合理性.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了多溫區(qū)回溫爐的各溫區(qū)設(shè)定的溫度及其傳送速度的設(shè)定對(duì)焊爐曲線(xiàn)函數(shù)的影響,查找分析現(xiàn)有資料得知回焊爐與電路板之間主要通過(guò)熱對(duì)流的方式傳導(dǎo)熱量,通過(guò)對(duì)爐溫曲線(xiàn)問(wèn)題的求解,利用牛頓冷卻定律得到了焊點(diǎn)溫度與環(huán)境溫度之間的常微分方程，求解該方程得到了焊接區(qū)域與環(huán)境之間的熱交換模型,通過(guò)分段擬合的方式發(fā)現(xiàn)此模型僅在加熱區(qū)與實(shí)際溫度符合得較好并給出了環(huán)境溫度隨時(shí)間呈線(xiàn)性變化的關(guān)系以及對(duì)應(yīng)的熱交換模型，至于環(huán)境溫度與時(shí)間為非線(xiàn)性關(guān)系時(shí)的分析亦可與以上討論相類(lèi)比[9]. 通過(guò)此理論模型求解出的預(yù)測(cè)爐溫曲線(xiàn)與實(shí)際爐溫曲線(xiàn)擬合程度較好，具有較高的可信度.