孫西洋

(江蘇省南京市第二十中學(xué) 210036)

1 問題的提出

在蘇教版高中數(shù)學(xué)必修2第二章“平面解析幾何初步”P117有習(xí)題11：

已知圓C:x2+y2=r2,求證：經(jīng)過圓C上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線l方程是x0x+y0y=r2.

習(xí)題12：已知圓O:x2+y2=r2,直線l:x0x+y0y=r2，分別根據(jù)下列條件，判斷直線l與圓O的位置關(guān)系：(1)點(diǎn)M(x0,y0)在圓O上；(2)點(diǎn)M(x0,y0)在圓O外;(3)點(diǎn)M(x0,y0)在O內(nèi).

2 習(xí)題的微探究教學(xué)

“微探究”是根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，圍繞某個(gè)小知識(shí)點(diǎn)或某一問題，在教師的組織、引導(dǎo)下，讓學(xué)生運(yùn)用自我探究與合作交流的方式進(jìn)行學(xué)習(xí).在十年的課改過程中，探究教學(xué)的理念雖然已經(jīng)深得人心，探究式教學(xué)的方式已經(jīng)在數(shù)學(xué)教育界形成了廣泛的共識(shí)．但真正做到在課堂教學(xué)中的常態(tài)化卻舉步為艱，教學(xué)的現(xiàn)狀令人擔(dān)憂.而微探究教學(xué)作為探究教學(xué)的一種，為數(shù)學(xué)課堂探究教學(xué)找到了一種有效的實(shí)施途徑．下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)劷?jīng)過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)M(x0,y0)作圓的切線等相關(guān)問題的微探究教學(xué)及其應(yīng)用過程.

師：如何求經(jīng)過圓C:x2+y2=r2上一點(diǎn)M(x0,y0)所作的圓的切線l的方程？

師：生1對(duì)圓的切線的概念掌握得比較好.請(qǐng)同學(xué)們交流一下，看看生1的解題過程中是否有需要完善的地方？

生2：如果x0=0，此時(shí)直線OM的斜率k′不存在，切線的斜率為0，切線的方程是l:y=y0.如果y0=0，直線OM的斜率為0，切線的斜率不存在，這時(shí)切線方程為x=x0；在以上兩種情況下，直線l的方程都滿足x0x+y0y=r2，所以切線的方程是x0x+y0y=r2.

師：生2思維縝密,考慮周到,非常好.這里根據(jù)直線的位置情況對(duì)直線的斜率情況進(jìn)行了分類討論，分類討論是同學(xué)們高中階段需要面對(duì)的重要策略與方法，需要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)，靈活運(yùn)用. 同學(xué)們是否有不需要分類討論就能得到切線方程的方法？

師：生3利用向量的垂直關(guān)系求出切線的方程，避開了分類談?wù)?，很? 是否還有其他方法？

生4：我想利用勾股定理來證明，不知道是否可行？

師：我們請(qǐng)生4談?wù)勊南敕?

生4：設(shè)P(x,y)是切線上任意一點(diǎn)，則OP2=OM2+MP2,代入坐標(biāo)得

化簡(jiǎn)得切線的方程是l:x0x+y0y=r2.

師：生4的想法很好，與生3的解法類似，避開了分類討論.那如果圓C的方程為C:(x-m)2+(y-n)2=r2，點(diǎn)M(x0,y0)在圓C上，那么切線l的方程如何求解？切線方程應(yīng)該是什么？

生5：我想切線的方程應(yīng)該是(x0-m)(x-m)+(y0-n)(y-n)=r2.

師：請(qǐng)生5與大家分享一下自己的思考過程.

師：生5的想法與做法都很好.請(qǐng)同學(xué)們?cè)偎伎家幌?，如果點(diǎn)M(x0,y0)在圓C:x2+y2=r2外部，那么直線x0x+y0y=r2與圓C的位置關(guān)系如何？如何判定？

師：如果點(diǎn)M(x0,y0)在圓C的內(nèi)部(x0,y0不同時(shí)為零)，直線x0x+y0y=r2與圓C:x2+y2=r2的位置關(guān)系怎樣？

師：生7回答得很精當(dāng).同學(xué)們知道，在考查直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，首選的做法就是利用圓心到直線的距離d與半徑的大小關(guān)系來衡量它們的位置關(guān)系.當(dāng)d>r時(shí)直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí)直線與圓相切；當(dāng)d

生8：根據(jù)上述分析，我們有如下結(jié)論：

當(dāng)點(diǎn)M在圓C上時(shí)，直線l與圓相切，x0x+y0y=r2是經(jīng)過點(diǎn)M的圓的切線的方程；

當(dāng)點(diǎn)M在圓C外部時(shí)，直線l與圓相交；

當(dāng)點(diǎn)M在圓C內(nèi)部時(shí)，直線l與圓C相離.

師：如果點(diǎn)M(x0,y0)在C:x2+y2=r2外，直線x0x+y0y=r2除了與圓C相交，還具有什么樣的性質(zhì)？

生9：既然這條直線與圓相交，而且直線又與點(diǎn)M相關(guān)聯(lián)，所以直線應(yīng)該是經(jīng)過點(diǎn)M作圓的兩條切線，兩切點(diǎn)所在的直線方程.

師：很好！我們把這條直線叫做切點(diǎn)弦所在的直線，那我們應(yīng)該如何求出切點(diǎn)弦所在的直線的方程呢？

生10：用前面求切線方程相對(duì)應(yīng)的方法求解，運(yùn)用“設(shè)而不求”思想.

師：你愿意將你的思考與同學(xué)們分享一下嗎？

生10：經(jīng)過點(diǎn)M作圓的切線有兩條，設(shè)切點(diǎn)分別是A(x1,y1),B(x2,y2)，則經(jīng)過點(diǎn)A的切線為x1x+y1y=r2，因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)M,所以x0x1+y0y1=r2；經(jīng)過點(diǎn)B的切線為x2x+y2y=r2，因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)M,所以x2x0+y2y0=r2，于是直線x0x+y0y=r2經(jīng)過點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，由于兩點(diǎn)確定一條直線，所以直線AB的方程為x0x+y0y=r2.

師：生10真聰敏，利用“設(shè)而不求”思想求出了切點(diǎn)弦所在的直線方程.同學(xué)們還有其它思考嗎？

生11:我的想法與生10的解法不同，請(qǐng)老師與同學(xué)們看看我的解法是否可行？

師：那我們就一起來欣賞一下學(xué)生11的想法，等一會(huì)請(qǐng)同學(xué)們給出評(píng)價(jià).

生11：以O(shè)M為直徑的圓的方程是x(x-x0)+y(y-y0)=0,即x2+y2-x0x-y0y=0,

所以圓x2+y2-r2=0與圓x2+y2-x0x-y0y=0相交的交線AB的方程是x0x+y0y=r2，所以x0x+y0y=r2就是切點(diǎn)弦所在的直線AB的方程.

師：生11利用兩個(gè)圓C1:x2+y2+d1x+e1y+f1=0,C:x2+y2+d2x+e2y+f2=0相交，得它們的交線所在直線的方程是(d1-d2)x+(e1-e2)y+f1-f2=0正確嗎？哪位同學(xué)給予評(píng)價(jià)？

師：同學(xué)們交流一下，看看生11的做法是否正確？ 同學(xué)們思考一下，是否還有其它解法？

師：同學(xué)12的解法也是利用兩個(gè)相交圓的方程相減得到切點(diǎn)弦所在的直線方程，雖然他們尋找的兩個(gè)圓不同，但是卻殊途同歸，非常好！同學(xué)們還能將這個(gè)結(jié)論進(jìn)行推廣嗎？

生13:如果點(diǎn)M(x0,y0)在圓C:(x-m)2+(y-n)2=r2③外，那么方程(x0-m)(x-m)+(y0-n)(y-n)=r2就是經(jīng)過點(diǎn)M作圓的切線的切點(diǎn)弦所在的直線方程.

師：這個(gè)推廣的結(jié)論對(duì)嗎？誰會(huì)證明這個(gè)結(jié)論？誰能給予解釋？

生14:結(jié)論推廣正確，我是這樣來證明的：

以線段MC為直徑的圓的方程是：(x-m)(x-x0)+(y-n)(y-y0)=0，

即(x-m)[(x-m)+(m-x0)]+(y-n)[(y-n)+(n-y0)]=0，

即(x-m)2+(x-m)(m-x0)+(y-n)2+(y-n)(n-y0)=0④，

④-③得兩個(gè)圓的公共弦所在的直線的方程是(x0-m)(x-m)+(y0-n)(y-n)=r2.

師：生14很善于思考，回答得非常好.前面生10提出了“設(shè)而不求”思想.“設(shè)而不求”是我們研究解析幾何問題時(shí)經(jīng)常用的一種重要策略，哪位同學(xué)能談一談什么叫“設(shè)而不求”思想？

生10：“設(shè)而不求”就是在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),先設(shè)定一些未知數(shù)(未知的點(diǎn)的坐標(biāo))，然后把它們當(dāng)成已知數(shù)(已知點(diǎn)),然后根據(jù)題設(shè)本身各個(gè)量之間的制約關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，但是不需要求出未知數(shù)(點(diǎn)的坐標(biāo)),而根據(jù)題目本身的特點(diǎn),將未知數(shù)消去或代換掉,從而使問題的解決變得簡(jiǎn)捷、明快.由于在數(shù)學(xué)尤其是解析幾何的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常使用，為了便于使用，我把它叫做“設(shè)而不求”法.

師：很好，生10是一位有心人，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，不僅注重解決數(shù)學(xué)問題，同時(shí)也關(guān)注學(xué)習(xí)方法，難能可貴！還有其它解法嗎？

生15：可以利用前面求經(jīng)過圓O:x2+y2=r2外一點(diǎn)M(x0,y0)作圓O切線的切點(diǎn)弦類似的各種方法求出切點(diǎn)弦所在的直線方程.

師：生15說得對(duì)，前面相應(yīng)的方法都可以求出直線的方程.請(qǐng)同學(xué)思考一下：“經(jīng)過圓C：x2+y2+dx+ey+f=0外一點(diǎn)M(x0,y0)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)弦所在的直線方程是什么？”

如經(jīng)過點(diǎn)(-1，-3)作圓：x2+y2-4x-6y+12=0的兩條切線的切點(diǎn)弦所在的直線的方程是-x-3y-2(x-1)-3(y-3)+12=0，即3x+6y-23=0.

師：剛才我們知道如果點(diǎn)M(x0,y0)在圓x2+y2=r2內(nèi)，那么直線x0x+y0y=r2是與圓O相離的直線.其幾何意義是什么？

生17：我們的結(jié)論是：經(jīng)過點(diǎn)M任作圓O的弦,弦的端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.

證明如下：設(shè)AB是經(jīng)過點(diǎn)M的任意一條弦，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，對(duì)應(yīng)交點(diǎn)P(m,n),

則經(jīng)過A的切線的方程是：x1x+y1y=r2，因?yàn)樵撝本€經(jīng)過點(diǎn)P,所以mx1+ny1=r2.

同理可得mx2+ny2=r2，所以直線mx+ny=r2是經(jīng)過點(diǎn)A,B的直線的方程，而直線AB經(jīng)過點(diǎn)M,所以x0m+y0n=r2，所以點(diǎn)P的軌跡方程是x0x+y0y=r2.

師：生17用設(shè)而不求思想分析了直線x0x+y0y=r2的幾何意義.

3 教學(xué)反思

問題教學(xué)指的是以問題貫穿課堂教學(xué)全過程，讓學(xué)生在設(shè)問、釋問的過程中激發(fā)學(xué)習(xí)的欲望和動(dòng)機(jī)，逐漸養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，在教學(xué)實(shí)踐中不斷優(yōu)化教學(xué)方法，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.問題教學(xué)改變了傳統(tǒng)教學(xué)模式和教學(xué)方法，充分尊重學(xué)生的主體地位，能夠有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，提高課堂教學(xué)的效果.

問題是思維的源泉，數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)性學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)最終的目標(biāo)是通過發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，完成數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)和任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.在新課程理念下，對(duì)在數(shù)學(xué)教學(xué)中或者學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中面臨的一些難點(diǎn)、重點(diǎn)問題，教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行微探究教學(xué)，能有效改進(jìn)高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式，優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建高效課堂，促使學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升與學(xué)習(xí)方法的變革，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí).

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師以問題組織課堂，教師的課堂教學(xué)，不僅是傳授知識(shí)的過程，更重要的是以一種獨(dú)特的思維藝術(shù)將教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的興趣結(jié)合起來，為學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)獨(dú)立思考的空間.問題教學(xué)為高中數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)造了一個(gè)具體的背景，營造了良好的問題情境，激發(fā)學(xué)生的問題意識(shí)，以增強(qiáng)學(xué)生的求知欲望.

數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的是數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng).從本質(zhì)上說，數(shù)學(xué)思維是一種趨于理性、抽象性的思維方式，是在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中逐漸形成的.問題是思維發(fā)展的強(qiáng)大的動(dòng)力，教師為學(xué)生提供了合適的思考方向，增強(qiáng)了學(xué)生的解決問題、思考問題的欲望，在這種循環(huán)解決問題的過程中，能夠加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.

在問題教學(xué)過程中，教師還應(yīng)重視問題設(shè)置的方式，努力構(gòu)建高效課堂.在問題設(shè)置時(shí)，需注意以下三個(gè)方面：

新奇性 教師在問題設(shè)置時(shí)，應(yīng)注意問題的獨(dú)特性與新穎性，以好奇心來調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生融入到課堂教學(xué)中.

層次性 在問題設(shè)置時(shí)，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，由易到難，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，層層推進(jìn)，在基礎(chǔ)知識(shí)積累到一定程度后，再解決更復(fù)雜的問題.

情境性 在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)與問題相應(yīng)的情境，通過變式訓(xùn)練逐步引申以達(dá)成最終目標(biāo)，讓學(xué)生在身臨其境中學(xué)習(xí)，在自主探究與合作交流中實(shí)現(xiàn)自主發(fā)展，豐富學(xué)生想象力，以吸引學(xué)生的注意力.

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)非常重要.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，隨著知識(shí)的積累，求知欲和好奇心會(huì)逐漸降低，學(xué)習(xí)的興趣也不斷減弱.因此，教師應(yīng)適時(shí)采取措施，以支持和引導(dǎo)學(xué)生的積極思考，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)必要的問題情境.同時(shí)，教師應(yīng)發(fā)揚(yáng)教學(xué)民主，鼓勵(lì)學(xué)生提出問題，不管問題的難易與否，教師都應(yīng)該進(jìn)行耐心解答，以增強(qiáng)學(xué)生的自信心.在問題深入方面，教師應(yīng)多進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生能夠深入思考，使學(xué)生從問題表面深入到問題的本質(zhì)上來.在問題教學(xué)過程中，教師應(yīng)容忍錯(cuò)誤，多加鼓勵(lì).數(shù)學(xué)學(xué)科自身的抽象性，對(duì)于學(xué)生來說也有一定的難度，教師如果不適當(dāng)引導(dǎo)，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的膽怯心理，不利于數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的順利開展.因此，教師應(yīng)不斷鼓勵(lì)學(xué)生，讓學(xué)生把問題提出來，在解決問題過程中提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果.