章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

計數(shù)問題在日常生活、生產(chǎn)中普遍存在.例如，幼兒會通過一個個數(shù)的方法，計算自己擁有的玩具數(shù)量；學校要舉行班際籃球比賽，在確定賽制后，體育老師要算一算共需舉行多少場比賽；用紅、黃、綠三面旗幟組成航海信號，顏色的不同排列表示不同的信號，也需知道一共可以組成多少種不同信號；……數(shù)量很少時，一個一個數(shù)也不失為一種好方法；但如果數(shù)量很大，這種方法不僅效率低而且容易出錯.所以，需要研究高效且準確的計數(shù)方法.

實際上，自然數(shù)系就是人類在生產(chǎn)、生活中，通過長期的“數(shù)個數(shù)”實踐而逐漸發(fā)展起來的數(shù)學工具，自然數(shù)是人類的發(fā)明創(chuàng)造，其對人類文明的貢獻可以與火的使用相媲美.為了使自然數(shù)系在計量中更加有用、好用，人們定義了具有交換律、結(jié)合律和分配律的加法、乘法，這是將若干個“小的數(shù)”結(jié)合成“較大的數(shù)”的最基本方法.這兩種方法經(jīng)過推廣就成了本單元的分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.這兩個原理是解決計數(shù)問題的最基本、最重要的方法，應(yīng)用它們，還可以得到兩類特殊計數(shù)問題的計數(shù)公式，即排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，應(yīng)用公式就可以方便地解決一些計數(shù)問題；應(yīng)用計數(shù)原理與計數(shù)公式，還可以推出二項式定理，這是一個在數(shù)學的許多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用的定理.

下面對本單元的課程內(nèi)容和教學進行概要討論.

1 課程定位

課程標準指出，分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的基礎(chǔ)，稱為基本計數(shù)原理；排列與組合是兩類特殊且重要的計數(shù)問題；二項式定理是重要的代數(shù)公式，在數(shù)學中有重要的應(yīng)用，可以通過兩個基本計數(shù)原理進行推導.本單元的學習可以幫助學生理解兩個基本計數(shù)原理，學會運用計數(shù)原理探索排列、組合、二項式定理等問題.本單元內(nèi)容包括兩個基本計數(shù)原理，排列與組合，二項式定理.課程標準要求學生通過本單元學習，能結(jié)合具體實例，識別和理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理及其作用，并能運用這些原理解決簡單的實際問題；能結(jié)合具體實例，理解排列、組合、二項式定理與兩個計數(shù)原理的關(guān)系，能運用兩個計數(shù)原理推導排列、組合、二項式定理的相關(guān)公式，并能運用它們解決簡單的實際問題，特別是概率中的某些問題.

分析上述內(nèi)容和要求，可得如下認識：

首先，就像加法、乘法是所有運算的基礎(chǔ)一樣，兩個計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的基礎(chǔ)，課程標準將它們稱為基本計數(shù)原理.高中階段被冠以“基本”二字的定理只有基本不等式、向量基本定理等少數(shù)幾個，足見其重要性.

其次，排列與組合是兩個特殊的計數(shù)問題，可以利用兩個基本計數(shù)原理推導出計數(shù)公式.事實上，研究一類數(shù)學對象時，往往要在研究一般性問題后考察特例，由此得出的結(jié)論也具有特殊作用.例如各種乘法公式就是特殊多項式相乘的結(jié)果，它們在代數(shù)學中具有重要地位；等腰三角形和直角三角形的相關(guān)結(jié)論在幾何學中也有特殊的重要性；等等.

第三，二項式定理是有廣泛應(yīng)用的代數(shù)公式，二項式定理的推導就是兩個計數(shù)原理、組合數(shù)公式的重要應(yīng)用.

順便指出，兩個基本計數(shù)原理近乎常識，容易理解，但具有極大的靈活性，所以要熟練掌握并不容易.

2 本單元的內(nèi)容與要求

課程標準對本單元提出了如下內(nèi)容與要求.

(1)兩個基本計數(shù)原理

通過實例，了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.

(2)排列與組合

通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.

(3)二項式定理

能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.

3 內(nèi)容的理解與教學思考

3.1 對內(nèi)容的整體分析

我們知道，兩個基本計數(shù)原理是處理計數(shù)問題的兩種基本思想方法.面對一個復雜的計數(shù)問題時，通過分類或分步將它分解為若干個簡單計數(shù)問題，在解決這些問題的基礎(chǔ)上，將它們整合起來得到原問題的解，這在日常生活中也被經(jīng)常使用.通過對復雜計數(shù)問題的分解，將綜合問題分解為單一問題的組合，再對單一問題各個擊破，可以達到以簡馭繁、化難為易的效果.

返璞歸真地看兩個計數(shù)原理，它們實際上是加法與乘法的推廣，是解決計數(shù)問題的理論基礎(chǔ).

由于兩個計數(shù)原理的這種基礎(chǔ)地位，并且在應(yīng)用它們解決問題時具有很大的靈活性，是訓練學生邏輯推理的好素材，所以需要在教學中給予充分重視.另外，學生還不習慣用它們來分析和解決問題，所以需要通過具體實例概括出兩個計數(shù)原理，并通過由易到難、由單一到綜合的解題訓練，使學生有較多機會來熟悉原理及其基本應(yīng)用.

排列、組合是兩類特殊而重要的計數(shù)問題，解決它們的基本思想和工具就是兩個計數(shù)原理，其內(nèi)容安排可以按如下思路展開：從簡化運算的角度提出排列與組合的學習任務(wù)，通過具體實例的概括得出排列、組合概念；應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理得出排列數(shù)公式；應(yīng)用分步計數(shù)原理和排列數(shù)公式推出組合數(shù)公式.對于排列與組合，有兩個基本想法貫穿始終，一是根據(jù)一類問題的特點和規(guī)律尋找簡便計數(shù)方法，就像算術(shù)運算中乘法作為加法的簡便運算一樣；二是注意應(yīng)用兩個計數(shù)原理思考和解決問題.

二項式定理的研究是應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決問題的典型過程，其基本思路是“先猜后證”.“猜想”是直接應(yīng)用兩個計數(shù)原理對展開式項的特征進行分析得出的，這個分析過程不僅是學生認識二項式展開式與兩個計數(shù)原理之間內(nèi)在聯(lián)系的基礎(chǔ)，而且也為證明猜想提供了基本思路.

兩個計數(shù)原理幾乎是一種常識，這樣簡單樸素的原理易學、好懂、能懂、好用，但要達到會用的境界，則需要經(jīng)過一定的應(yīng)用性訓練.所以，需要選擇恰當?shù)膽?yīng)用問題，引導學生用兩個計數(shù)原理進行分析、推理和論證，使學生在應(yīng)用中加深對原理的理解，提高思維的縝密性.

用排列、組合概念解決問題的過程中，困難在于問題背景不易把握而導致重復或遺漏，為此需要讓學生掌握一些基本類型的計數(shù)技巧.

猜想二項式定理的主要困難在于學生很難想到把“展開式”與“計數(shù)”聯(lián)系起來，因此用計數(shù)原理對(a+b)2的展開過程進行細致分析非常重要，需要加強引導.

3.2 關(guān)于兩個基本計數(shù)原理

在思想方法上，用分類加法計數(shù)原理解決問題就是將一個復雜問題分解為若干“類別”，然后各個擊破，分類解決；用分步乘法計數(shù)原理則是將一個復雜問題的解決過程分解為若干“步驟”，先分析每個步驟，再組合為一個完整的過程.其目的都是為了分解問題、簡化問題.因為排列、組合及二項式定理的研究都是作為兩個計數(shù)原理的典型應(yīng)用而設(shè)置的，所以理解和掌握兩個計數(shù)原理是學好本章內(nèi)容的關(guān)鍵.

1. 如何幫助學生理解“完成一件事情”

兩個基本計數(shù)原理都是討論“完成一件事情”所有不同方法種數(shù)的問題.“完成一件事情”是一個比較抽象的概念，它比“完成一件工作”“完成一項工程”等的含義要廣泛得多.某些問題的實際背景以及文字表達中一些關(guān)鍵詞的語義往往會引起學生的困惑，造成理解困難，需要在教學中結(jié)合實例加強辨析.例如：

從甲地到乙地；從甲地經(jīng)丙地再到乙地.

從所有教科書中任取一本；從所有教科書中任取數(shù)學書、語文書各一本.

從1～9這九個數(shù)字中任取兩個組成沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)；2160的正因數(shù).

排列、組合中的“確定一個滿足條件的排列”“確定一個滿足條件的組合”也是指“完成一件事情”.

學生容易把“完成一件事情”與“計算完成這件事情的方法總數(shù)”混同.例如：

在分析“從1～9這九個數(shù)字中任取兩個，共可組成多少沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)”時，學生容易把要完成的“一件事情”理解成“求滿足條件的兩位數(shù)的個數(shù)”；“求2160有多少個不同的正因數(shù)”要完成的“一件事情”是“計算2160正因數(shù)的個數(shù)”；在解決“求(a1+a2+a3) (b1+b2+b3+b4)·(c1+c2+c3+c4+c5)展開式的項數(shù)”時，大多數(shù)學生都不清楚這里要完成的是“得到展開式的一項aibjck(i∈{1，2，3}，j∈{1，2，3，4}，k∈{1，2，3，4，5})”.

2. 兩個計數(shù)原理的區(qū)別

分類計數(shù)原理與“分類”有關(guān)，類與類之間互不相容，用任何一類中的任何一種方法都可以完成這件事；

分步計數(shù)原理與“步驟”有關(guān)，只有依次完成每一個步驟，才能完成這件事情.

利用集合進行抽象表示，可以得到如下結(jié)果：

設(shè)完成一件事的方法的集合是U，且

card(U)=N.

如果完成這件事的方法可以區(qū)分為互不相同的A，B兩類，即A∪B=U，A∩B=?.記

card(A)=m，card(B)=n，則

N=card(U)=card(A∪B)

=card(A)+card(B)=m+n.

如果完成這件事需要分成A，B兩個步驟，即U=A×B={(a,b)|a∈A，b∈B}.記

card(A)=m，card(B)=n，那么

N=card(U)=card(A×B)

=card(A)×card(B)=m×n.

分類要做到不重不漏：分類加法計數(shù)原理中的“完成一件事有兩類不同方法”，是指完成這件事的所有方法可以分為兩類，即任何一類中的任何一種方法都可以完成任務(wù)，兩類中沒有相同的方法，且完成這件事的任何一種方法都在某一類中.

分步要做到步驟完整：分步乘法計數(shù)原理中的“完成一件事需要兩個步驟”，是指完成這件事的任何一種方法都要分成兩個步驟，在每一個步驟中任取一種方法，然后相繼完成這兩個步驟就能完成這件事，即各個步驟是相互依存的，每個步驟都要做完才能完成這件事情.

3. 兩個基本計數(shù)原理的教學

基本計數(shù)原理看似簡單，但要真正把握其本質(zhì)并不容易，教學中應(yīng)注意使學生充分經(jīng)歷通過具體實例概括計數(shù)原理的過程，特別是要在分析問題的本質(zhì)特征上多給學生一些時間和空間.為了使學生更好地概括和領(lǐng)悟計數(shù)原理，教學中要注意使用典型例子，例如從A地到B地的不同路線問題、參加某項活動的人員組合問題等，也可以讓學生自己舉一些例子.

兩個計數(shù)原理的教學應(yīng)該在同一課時中進行，這樣可以讓學生進行對比，在比較中加深認識.一般地，學生在剛剛接觸一個概念時所留下的印象是最深刻的，這里進行對比學習，可以讓學生先入為主地明白兩個計數(shù)原理的差異及其相互聯(lián)系.

這里再次強調(diào)，關(guān)鍵是要讓學生分析清楚要完成的“一件事情”是什么.為此，教學中應(yīng)當采取一些措施，例如“樹狀圖”的使用可以使思路的梳理更加清晰，應(yīng)要求學生學會使用“樹狀圖”分析問題.

3.3 排列

數(shù)學研究中，大致都會經(jīng)歷這樣的過程：先在一般意義上定義研究對象(問題)，再研究關(guān)鍵性的特例.“一般性寓于特殊性之中”，通過特例的研究，達到對研究對象(問題)的基本認識，獲得相應(yīng)的數(shù)學模型，并在解決具體問題時，設(shè)法將問題化歸為能應(yīng)用模型加以解決的形式.例如，一般意義上研究函數(shù)的概念與性質(zhì)后，研究基本初等函數(shù)，在給出數(shù)列的一般概念后再研究等差數(shù)列、等比數(shù)列，在一般性地討論空間基本圖形位置關(guān)系后重點研究直線、平面的平行與垂直等等.

排列、組合是兩個基本計數(shù)模型，在解決計數(shù)問題時有非常重要的作用.

1.排列的定義

排列的定義包含兩個步驟：取出元素，按一定順序排列.這里，“元素”的意義是非常廣泛的，通?？梢猿橄鬄榧险Z言進行表示，即從集合{a1，a2，…，an}中取出m個元素，再按一定順序排列.因此，確定一個排列要完成的“一件事情”是：取出m個元素，再按順序排列.

學生可能對“一定順序”的理解會有困難，可以結(jié)合具體實例進行解釋.例如：

(1)甲、乙、丙3人中選2人，一人參加上午的活動，一人參加下午的活動，“甲上午、乙下午”與“乙上午、甲下午”是不同的，這樣，“上午在前、下午在后”就是“一定的順序”；

(2)1，2，3，4，5中選3個數(shù)字組成三位數(shù)，盡管123與132，213，231，312，321有相同的數(shù)字，但卻是互不相同的數(shù)，因為其中數(shù)字的順序不同，這樣，“百位、十位、個位”就是“一定的順序”.

所以，元素不同或元素相同但順序不同的排列都是不同的排列，當且僅當兩個排列的元素和順序都相同才是同一個排列.

2.排列數(shù)公式

從n個不同元素中取出m個元素作成一個排列要完成的“一件事情”包含兩個動作，一是“取”二是“排”.完成這兩個動作可以用兩種方法，一種是“取一個排一個”，另一種是“取出m個，再將這m個元素按順序排成一列”，就是把m個元素全排列.

按前一種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可以得到

按后一種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可以得到

3.排列數(shù)公式的變式

對排列數(shù)公式進行一些變形，可以得到一些變式，這些變式往往蘊含了一定的實際意義.例如：

……

4.帶有限制條件的排列問題

對于有限制條件的計數(shù)問題，由于對限制條件的處理不同，通常有兩種計數(shù)方法：一種是直接計數(shù)，即根據(jù)限制條件分解問題(往往是進行分類)，把符合限制條件的排列數(shù)直接計算出來；另一種是先不考慮限制條件而計算出所有排列數(shù)，再從中減去不符合條件的排列數(shù)，從而得出符合條件的排列數(shù).

如果不符合限制條件的情況較少，那么往往采用第二種方法，這有點“正難則反”的味道.

3.4 組合

1.組合的概念

組合要完成的“一件事情”是“從n個不同元素中取出m個”，所以，組合可以看成是排列的一個步驟.用集合的語言表達，就是從集合{a1，a2，…，an}中取出m個元素，得到它的一個子集.

排列與組合都要“從n個元素中，任取m個元素”，所不同的是，排列要“按照一定的順序排成一列”，而組合卻是“不管順序地并成一組”.因為集合的元素具有無序性，所以用集合的語言解釋組合是非常恰當?shù)?由此也可以想到，排列、組合概念的理解與用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實問題有緊密的關(guān)聯(lián)，是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的良好載體.

教學中可以通過具體問題的比較，啟發(fā)學生抓住“順序”這個關(guān)鍵來區(qū)分排列問題與組合問題.

2.組合數(shù)

要提醒學生注意公式推導過程中蘊含的“算兩次”思想——一個故事用兩種方式講解，由此可以發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.

3.組合數(shù)的性質(zhì)

首先，對于一個代數(shù)等式，本質(zhì)上反映了“一個事物的兩種等價形式”.解決計數(shù)問題，往往可以用不同的方案，而不同計數(shù)方案得出的結(jié)果應(yīng)該相同，其數(shù)學表達也就是相應(yīng)的組合等式.所以，證明組合恒等式可以從純粹的代數(shù)運算進行，也可以通過構(gòu)建實際背景給出解釋.

3.5 排列與組合的教學

排列與組合是有內(nèi)在聯(lián)系的兩類特殊計數(shù)問題，教學時應(yīng)加強對比.“從n個不同元素中取出m個元素”，這是最簡單也是基本而重要的，取出的元素是互不相同的，與概率中的不重復抽取樣本對應(yīng)；其變式是“可重復排列”，例如“學校食堂的一個窗口共賣5種菜，3名同學每人從中選一種，共有多少種不同的選法？”

排列、組合的問題，困難在于對問題背景的理解，這是一個數(shù)學化的過程，需要通過不同情境加強訓練(有時還需要一定的有迷惑性的問題進行辨析).

要讓學生掌握一定的技巧.例如：先分類，后分步；特殊元素、特殊位置先排；“插空法”、“捆綁法”……

3.6 二項式定理

二項式定理源于解決高次冪開方的問題，當帕斯卡建立了正整數(shù)次冪的二項式定理之后，這個定理又應(yīng)用到了自然數(shù)冪和、組合理論及概率計算等方面；牛頓則把指數(shù)從整數(shù)推廣到了有理數(shù)，而他的弟子泰勒則將其進一步推廣到泰勒定理，這個定理是引進多項式的微分學的一個重要起點.

中學階段，二項式定理安排在計數(shù)原理、排列組合之后，隨機變量及其分布之前，可以讓學生感受到二項式定理作為聯(lián)系不同領(lǐng)域數(shù)學知識的紐帶作用.二項式定理的課程定位是既作為計數(shù)原理和組合知識的應(yīng)用，也為解決有關(guān)概率問題奠定基礎(chǔ).

1.二項式定理的起源

在古代，解方程是重大問題，這就必然需要解決開方問題.

古代的開方算法中，二項式系數(shù)扮演著重要角色.為了發(fā)現(xiàn)各項系數(shù)所遵循的規(guī)律，人們將這些系數(shù)按n的取值順次排成三角形，我國稱為“楊輝三角”，西方稱為“帕斯卡三角”.經(jīng)過長期觀察，人們從這個算術(shù)三角形中發(fā)現(xiàn)了二項式展開式系數(shù)的各種性質(zhì)，乃至一般規(guī)律，由此建立了二項式定理.

2.二項式系數(shù)取值規(guī)律的發(fā)現(xiàn)

首先，二項式定理是一個數(shù)學公式.歸根到底，它是一個多項式乘法問題.所以，多項式乘法法則是推導二項式定理的“本源”之一.結(jié)合組合數(shù)公式可以得出每一項的系數(shù)，但從多項式乘法問題聯(lián)系到組合問題，跨度很大，難.

其次，這是一個特殊的多項式乘法問題.“特殊”在其因式都是相同的“二項式”，由此而決定了其展開式的規(guī)律性.

第三，因為多項式乘多項式的結(jié)果是多項式，所以分析展開式的規(guī)律，應(yīng)從多項式概念的要素出發(fā)：項、次數(shù)、項數(shù)，其中最關(guān)鍵的是各項的系數(shù).

第四，對于“項”的規(guī)律，關(guān)鍵看結(jié)構(gòu)特征，具體表現(xiàn)在系數(shù)、a的次數(shù)、b的次數(shù)各有什么規(guī)律，因此這一分析也包含了展開式各項次數(shù)的規(guī)律.

第五，如果不合并同類項，那么展開式有2n項，其中有(n+1)類同類項an-kbk(k=0，1，2，…，n)，所以合并同類項后有(n+1)項.而an-kbk的個數(shù)，就是相應(yīng)的二項式系數(shù)，可以根據(jù)多項式乘法法則和組合數(shù)公式而得到.

3.二項式定理的教學設(shè)計

背景引入：前面學習了排列組合知識，下面我們運用這些知識推導一個用途很廣的公式——二項式定理，即(a+b)n的展開式，它是初中學過的乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2的推廣.

請大家先回顧多項式概念，多項式乘法法則，以及我們是如何推出乘法公式的.

設(shè)計意圖：讓學生明確要研究的問題，提取長時記憶中關(guān)于多項式乘法的相關(guān)概念.

問題1： 代數(shù)公式往往是從具體實例中歸納共性而發(fā)現(xiàn)的.為了得到二項式定理，我們可以先分析n=2，3，4時二項式(a+b)n展開式的共同特征.

你能從(a+b)2=a2+2ab+b2出發(fā)，得到(a+b)3、(a+b)4的展開式嗎？

預設(shè)：希望學生能想到如下方法

(a+b)3=(a+b)(a+b)2

=(a+b)(a2+2ab+b2)

=a3+2a2b+ab2+ba2+2ab2+b3

=a3+3a2b+3ab2+b3；

(a+b)4=(a+b)(a+b)3

=(a+b)(a3+3a2b+3ab2+b3)

=a4+3a3b+3a2b2+ab3+ba3+3a2b2+3ab3+b4

=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

追問：(1)根據(jù)多項式的概念，你認為應(yīng)從哪些角度觀察三個公式的共同特征？(2)由此你能得到(a+b)n展開式的哪些猜想？(3)你能用上述遞推方法得到(a+b)n的展開式嗎？

設(shè)計意圖：引導學生有目的地觀察、有邏輯地思考，而不是“撞大運”.在概念的指引下，觀察多項式的“要素”即項數(shù)、次數(shù)、項及其系數(shù)的規(guī)律，教師要在“項的特征”上加強引導，如每一項的次數(shù)都是n，a的次數(shù)從n到0降冪排列，b的次數(shù)從0到n升冪排列等等.

問題2： 用上述遞推的方法得出展開式的各項系數(shù)有困難.能否換個角度看問題呢？

追問1：對于(a+b)2=a2+2ab+b2，你能抽象出展開式各項的一般形式嗎？

預設(shè)：估計學生獨立得出a2-kbk(k=0，1，2)有困難，可以安排合作學習，必要時也可以由教師講解.

追問2：你能結(jié)合多項式乘法的過程，利用組合知識解釋ab項的系數(shù)為什么等于2嗎？

預設(shè)：這是本堂課的主要難點所在.教師可以通過如下追問引導學生思考：

追問2.1：這里要完成的“一件事情”是什么？——得到展開式的ab項.

追問2.3：類比上述分析，你能用組合數(shù)表示(a+b)2展開式各項的系數(shù)并寫出展開式嗎？

問題3： 仿照上述過程，你能給出(a+b)3，(a+b)4的展開式嗎？

預設(shè)：這個問題由學生獨立完成后再進行全班交流，因為有(a+b)2的研究經(jīng)驗，估計學生可以完成.

問題4： 歸納n=2，3，4時二項展開式的共性，你能得出(a+b)n展開式的猜想嗎？你能證明嗎？

設(shè)計意圖：課堂教學線索一定要反映學生的認知規(guī)律，這個規(guī)律也與數(shù)學公式的歸納過程一致.從具體到抽象而展開，也就是先對n=2，3，4時(a+b)n的展開式進行結(jié)構(gòu)分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律進而歸納出一般結(jié)論.對(a+b)2，(a+b)3，(a+b)4的觀察中，最容易得到的規(guī)律是展開式的項數(shù)、每一項的次數(shù).困難在于項的結(jié)構(gòu)和系數(shù)，教師要在從一般角度看特殊事例上加強引導，概括各項的共性得出結(jié)構(gòu)an-kbk，這里體現(xiàn)了代數(shù)的基本思想——從具體到抽象地歸納一般結(jié)論.

發(fā)現(xiàn)系數(shù)的取值規(guī)律是困難的.要回到運算的出發(fā)點，利用多項式乘法法則進行分析：

4.二項式系數(shù)的性質(zhì)

進一步的，可以研究一些組合恒等式.

3.7 關(guān)于楊輝三角的數(shù)學探究活動

人教A版以“楊輝三角性質(zhì)的探究”為數(shù)學探究活動的一個主題，一是楊輝三角的直觀性和性質(zhì)的豐富性，既有“一目了然”的性質(zhì)，也有“深藏不露”的性質(zhì)，所以它可以讓不同發(fā)展水平的學生都能探究，并有所收獲；二是楊輝三角的科學價值；三是對人的智慧的挑戰(zhàn)性，以及數(shù)學文化魅力.

教學中要加強探究方法的指導.例如在“如何觀察”上加強指導，要引導學生在數(shù)字三角形中通過圈一圈、連一連、算一算等嘗試發(fā)現(xiàn)；要加強觀察的目的性，以“行與行的二項式系數(shù)的關(guān)系”為導向，以運算為手段，對相鄰行之間、各行數(shù)字的和等進行觀察.

下面給出楊輝三角的一些性質(zhì).

(3)第n行，奇數(shù)項之和等于偶數(shù)項之和，即

(4)第n行數(shù)的和為2n，即

圖1

(5)如圖1，第n行各數(shù)平方和等于第2n-1行中間的數(shù)：

圖2

(6)如圖2，自腰上的某個1開始平行于腰的一條線上的連續(xù)n個數(shù)的和等于最后一個數(shù)斜右下方的那個數(shù)，即

(7)數(shù)列求和，如圖3，我們有：

……

圖3

(8)斐波那契數(shù)列：如圖4，按照這種方式，依次畫下去，并將各條虛線上的數(shù)分別相加，得到

圖4

1，1，2，3，5，8，13，21，34，…

這就是斐波那契數(shù)列.

如果記從第n行的“1”開始相加，得到的數(shù)為F(n)，那么根據(jù)楊輝三角，得到

于是有

F(n+1)+F(n)=F(n+2).

圖5