光學(xué)動(dòng)態(tài)問題是初中物理教學(xué)難點(diǎn)。在日常習(xí)題教學(xué)中，教師主要通過PPT結(jié)合板書講解，無法即時(shí)進(jìn)行動(dòng)態(tài)探究，難以有效幫助學(xué)生培養(yǎng)動(dòng)態(tài)思維能力。當(dāng)今信息技術(shù)快速發(fā)展，越來越多的教學(xué)工作者將適合的教育軟件引入初中物理課堂進(jìn)行教學(xué)探索。下面，筆者以凸透鏡成像動(dòng)態(tài)問題為例，借助教育技術(shù)軟件GeoGebra從動(dòng)態(tài)演示、數(shù)學(xué)驗(yàn)證、問題拓展三方面，展現(xiàn)教育技術(shù)軟件在初中物理動(dòng)態(tài)問題中的應(yīng)用^[1]，引導(dǎo)學(xué)生思考，突破難點(diǎn)。

一、例題展示

題目：如圖1所示，凸透鏡豎直放置，凸透鏡焦距為，現(xiàn)有一點(diǎn)光源在凸透鏡左側(cè)，以凸透鏡兩倍焦距處為圓心，在經(jīng)過主光軸的豎直平面內(nèi)做順時(shí)針圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為，且<，則在下列關(guān)于點(diǎn)光源所成的像的運(yùn)動(dòng)軌跡的各圖中，正確的是（ ）^[2]。

在日常初中物理教學(xué)中，對(duì)于該種問題教師往往較難處理。學(xué)生腦海中也很難想象相關(guān)動(dòng)態(tài)情景。問題難在動(dòng)態(tài)，教師需要用一個(gè)有力的工具進(jìn)行動(dòng)態(tài)展示。GeoGebra是一款學(xué)科教學(xué)軟件，具有開源免費(fèi)、簡(jiǎn)單易學(xué)、交互性好、動(dòng)態(tài)展示、化抽象為形象、數(shù)形結(jié)合等優(yōu)點(diǎn)，是初中物理動(dòng)態(tài)教學(xué)實(shí)施的有力工具^[3]。如光學(xué)部分的反射定律、折射定律、凸透鏡成像規(guī)律等，教師借助GeoGebra可以進(jìn)行很好的動(dòng)態(tài)演示。如圖2所示，在GeoGebra界面中，教師點(diǎn)擊按鈕“GO”或拖動(dòng)左側(cè)的箭頭（代表蠟燭），可讓學(xué)生清晰地觀察凸透鏡成像變化情況。

二、動(dòng)態(tài)演示

不妨設(shè)凸透鏡焦距=2，在GeoGebra中繪制好題目所需要的凸透鏡、焦點(diǎn)和半徑為的圓（<），在圓上取一動(dòng)點(diǎn)代表移動(dòng)的光源。教師根據(jù)凸透鏡成像規(guī)律確定像的位置，移動(dòng)點(diǎn)即可觀察到像的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而破解該題。具體操作如下。

第一步，繪制凸透鏡：在菜單欄中選擇工具“描點(diǎn)”，在（0，0）處描出點(diǎn);選擇工具“向量”，從點(diǎn)出發(fā)繪制、兩個(gè)向量來代替凸透鏡。點(diǎn)即為凸透鏡的光心。

第二步，繪制焦點(diǎn)和二倍焦距點(diǎn)：選擇工具“描點(diǎn)”分別在（-2，0）（-4，0）（2，0）（4，0）描出焦點(diǎn)和二倍焦距點(diǎn)。

第三步，繪制點(diǎn)光源所在軌跡圓：選擇工具“圓（圓心與半徑）”，以（-4，0）為圓心，為半徑，做出圓1。界面中會(huì)出現(xiàn)滑動(dòng)條，操作者通過調(diào)節(jié)滑動(dòng)條可以改變圓的半徑。選擇工具“對(duì)象上的點(diǎn)”，在圓1上點(diǎn)出光源。該點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)。

第四步，繪制像：選擇工具“垂線”，過點(diǎn)作凸透鏡的垂線，交點(diǎn)為。選擇工具“直線”連接（2，0）與點(diǎn)，連接點(diǎn)與點(diǎn)，兩條直線的交點(diǎn)即為。

第五步，繪制軌跡：右擊點(diǎn)，選擇“顯示蹤跡”。則當(dāng)光源運(yùn)動(dòng)時(shí)，像隨之也會(huì)顯示出對(duì)應(yīng)的軌跡（如圖3）。

重復(fù)上述操作，可以得到當(dāng)取不同值時(shí)像的對(duì)應(yīng)軌跡圖（如圖4）。軌跡圖呈橢圓，凸透鏡左側(cè)的圓的半徑越小，橢圓的離心率越小，像越接近圓形。

三、數(shù)學(xué)驗(yàn)證

如前述的圖4所示，以光心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，主光軸為軸，透鏡豎直方向?yàn)檩S。設(shè)光源的坐標(biāo)為（，），所在圓的圓心坐標(biāo)為（，0），經(jīng)透鏡所成的像的坐標(biāo)為（，），則光源所在圓的方程為

（-）²+=² （1）

根據(jù)凸透鏡成像規(guī)律

可得： （2）

根據(jù)相似三角形得到

（3）

由（2）（3）兩式可得

將這兩式帶入（1）式，得

化簡(jiǎn)得

（（+）²-²）²-2（²+-²）+²²=²²-²²

令=（+）²-²，=（²+-²），=²²-²²

則上式可變?yōu)?/p>

²-2+²²=（4）

配方整理得

（5）

當(dāng)<時(shí)，像的軌跡為一中心在（ ，0），兩軸分別為 ， 的橢圓。

四、問題拓展

上述分析是基于<的條件來探究的。借助GeoGebra可以較方便地對(duì)問題進(jìn)行拓展分析，有利于學(xué)生深刻理解變化規(guī)律。

拓展一：光源軌跡是圓，=。

拖動(dòng)滑動(dòng)條，使=，得到的像是一條拋物線而非橢圓（如圖5）。

當(dāng)=時(shí)

=0，= ³，=-3 ⁴

代入（4）式可得

-2 +²+3 ²=0

=±2 -3 ²

因此，該軌跡確實(shí)為開口向右的拋物線。當(dāng)光源運(yùn)動(dòng)到一倍焦距時(shí)，不成像，所以右側(cè)開口，沒有對(duì)應(yīng)的像。

拓展二：光源軌跡是圓，<< 2 。

當(dāng)<< 2 時(shí)，在GeoGebra中滑動(dòng)條，使半徑=2.8，像是兩支雙曲線（如圖6）。

根據(jù)（5）式，當(dāng)<< 2 時(shí)， >0， <0，所以該軌跡確是兩條雙曲線。

當(dāng)光源運(yùn)動(dòng)到一倍焦距內(nèi)，成虛像，在凸透鏡左側(cè)（如圖7）。當(dāng)光源運(yùn)動(dòng)到一倍焦距外，在凸透鏡右側(cè)成實(shí)像。

拓展三：光源的運(yùn)動(dòng)軌跡是其他圖形。

用GeoGebra 軟件還可以較方便地得出結(jié)論：當(dāng)光源的運(yùn)動(dòng)軌跡為其他圖形時(shí)像的形狀。下面以正方形為例，借助GeoGebra軟件繪制出對(duì)應(yīng)的像（如圖8）。

從圖8中看出，像為一個(gè)等腰梯形。

筆者結(jié)合案例展現(xiàn)了GeoGebra在凸透鏡成像動(dòng)態(tài)問題中的應(yīng)用，并通過數(shù)學(xué)方法驗(yàn)證該動(dòng)態(tài)分析的正確性。對(duì)于此類教學(xué)難點(diǎn)，教師可以借助教學(xué)軟件將抽象、復(fù)雜的問題變得直觀、形象，使學(xué)生更好地建構(gòu)相關(guān)的物理概念和規(guī)律，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，在GeoGebra的演示過程中提高動(dòng)態(tài)想象能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 殷正徐，吳偉.GeoGebra軟件在高中物理課堂教學(xué)中的案例應(yīng)用分析——以簡(jiǎn)諧振動(dòng)和機(jī)械波為例[J].物理教師，2017，38（10）：70-73.

[2] 王玨，張瑩，桑芝芳.對(duì)一道凸透鏡成像習(xí)題的討論[J].物理教學(xué)，2019，41（8）：60-61.

[3] 陳林，桑芝芳.基于GeoGebra的電勢(shì)可視化研究——由一道電勢(shì)圖像題引發(fā)的思考[J].物理通報(bào)，2020（11）：104-107.

（作者陳林系蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院研究生;桑芝芳系蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院教授）

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