肖國宏，鐘錫華 ,劉 萍

(1. 西安交通大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710049；2. 北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100871)

光柵是一種廣泛應(yīng)用的光學(xué)器件。由兩個(gè)相距一定距離的光柵所構(gòu)成的雙光柵器件則拓展了光柵的應(yīng)用領(lǐng)域[1]. 2108年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)授予的激光脈沖放大技術(shù)，先后在實(shí)驗(yàn)中使用了兩對雙光柵，先后起到壓縮譜寬和擴(kuò)展譜寬的作用，從而為超快超強(qiáng)激光提供了技術(shù)支持[2].

本文以基元光柵即余弦光柵為研究對象，運(yùn)用波前相因子分析方法，給出了具有一定距離的雙余弦光柵衍射光斑的強(qiáng)度公式，從中可以看出衍射場之間的干涉效應(yīng)，乃是兩列或三列衍射平面波之間的相干疊加結(jié)果. 進(jìn)而，當(dāng)兩個(gè)光柵之一作縱向或橫向微振動(dòng)時(shí)，由于衍射場內(nèi)在的干涉效應(yīng)，導(dǎo)致0級、±1級衍射斑的強(qiáng)度信號呈現(xiàn)出復(fù)合余弦型函數(shù)變化規(guī)律.通過數(shù)學(xué)分析得出光柵在微諧振動(dòng)的一個(gè)周期時(shí)段內(nèi)，信號強(qiáng)度極值點(diǎn)出現(xiàn)的時(shí)間與微諧振動(dòng)振幅的函數(shù)關(guān)系. 這種關(guān)系奠定了利用雙光柵測量和研究微振動(dòng)理論基礎(chǔ). 也為研究其他雙光柵異化結(jié)構(gòu)及其運(yùn)動(dòng)的衍射場，提供了一種可以借鑒的理論工具.

1 理論推演

設(shè)有兩個(gè)相同的一維余弦光柵G1、G2平行放置，如圖1所示.

圖1 雙光柵衍射示意圖(每一個(gè)箭矢代表一列衍射平面波)

兩個(gè)光柵的空間周期均為d1,其縱向間隔為z0，設(shè)其屏函數(shù)分別為：

(1)

(2)

其中f1=1/d1，為光柵的空間頻率.現(xiàn)用一束單色平面波正入射到第一個(gè)光柵G1，該平面波的振幅為A，波長為λ，其波數(shù)k=2π/λ. 這束平面波通過光柵G1后，其波函數(shù)變?yōu)?/p>

(3)

運(yùn)用波前相因子分析法[3-5],便可判定上述波前包含3列平面波成分，即

(4)

(5)

代表一列正出射平面波：

(6)

代表一列沿θ1方向斜出射平面波：

(7)

代表一列沿-θ1方向斜出射平面波.這里

(8)

這3列平面波向前傳播z0距離到達(dá)第二個(gè)光柵G2，此時(shí)3列平面波的波前分別為：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

2.1 各方向平面波的相干疊加強(qiáng)度

在上述式(14)—式(22)中所展示的9列衍射平面波如圖1所示，沿θ=0方向有3列平面波，它們合成的復(fù)振幅為

(24)

沿θ=θ1方向有2列平面波，其合成的復(fù)振幅為

(25)

同理，沿θ=-θ1方向也有2列平面波，其合成復(fù)振幅為

(26)

沿θ=θ2和θ=-θ2方向各有一列平面波

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

δ(z0)≡kz0(1-cosθ1)

(32)

當(dāng)利用凸透鏡匯聚這5個(gè)方向的衍射平面波，在透鏡的焦平面上會(huì)得到5個(gè)衍射斑，稱為夫瑯禾費(fèi)衍射斑.但是只有I0和I±1是平面波相干疊加的結(jié)果.換言之，雙光柵縱向間隔的變化只會(huì)反映在式(29)和(30)所表示的0級和±1級衍射斑中，這是實(shí)驗(yàn)上可以觀測到的有變化的相對光強(qiáng).

2.2 光柵G2作縱向微諧振動(dòng)時(shí)衍射斑的強(qiáng)度

(33)

衍射光強(qiáng)式(29)和(30)中余弦項(xiàng)的相位可表示為

(34)

其中

β≡(1-cosθ1)

(35)

由式(29)、(30)可得0級和±1級衍射斑的光強(qiáng)為

(36)

(37)

式(36)和(37)中的相對光強(qiáng)變化均為一個(gè)復(fù)合余弦函數(shù)，記為

(38)

由式(8)可知，當(dāng)光柵常數(shù)遠(yuǎn)大于光波波長時(shí)

(39)

(40)

(41)

2.3 光柵G2作橫向微諧振動(dòng)時(shí)衍射斑的強(qiáng)度

當(dāng)光柵G2相對于G1沿x軸的橫向位移量為x0，于是，G2的屏函數(shù)被改寫為

t0+t1cos(2πf1x-δx)=

(42)

這里，相移量：

δx≡2πf1x0

(43)

這表明G2的橫向位移，導(dǎo)致其屏函數(shù)的相移，從而會(huì)導(dǎo)致通過它后面的衍射斑會(huì)有等量的相移δx.

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

其模的平方給出0級衍射光斑強(qiáng)度：

γ2cos(2πf1x0)cos(kz0-kz0cosθ1)]

(54)

在θ=θ1和θ=-θ1方向各有兩列平面波，其合成復(fù)振幅分別為

(55)

(56)

其模平方分別給出±1級衍射光斑的強(qiáng)度

(57)

(58)

當(dāng)光柵G2作橫向簡諧微振動(dòng)時(shí)

x0(t)=acosω0t

(59)

將式(59)代入式(54)、(57)、(58)，即可得到0級和±1級衍射斑的強(qiáng)度信號：

γ2cos(2πf1acosω0t)cosα]

(60)

(61)

(62)

這里

α≡kz0(1-cosθ1)

(63)

當(dāng)光柵常數(shù)遠(yuǎn)大于光波波長時(shí)，由式(39)可得

(64)

對于式(60)所表示的0級衍射斑光強(qiáng)已有很明確的分析了[6].而±1級衍射斑相對光強(qiáng)的變化仍然是一個(gè)復(fù)合余弦函數(shù)，只是多了一個(gè)初相位.這里選擇+1級中的復(fù)合余弦函數(shù)作為分析對象，可表示為一般的函數(shù)形式：

(65)

這個(gè)函數(shù)與表示縱向微諧振動(dòng)相對光強(qiáng)變化的式(41)具有相同形式.

顯然這是一個(gè)周期函數(shù)，當(dāng)x在[0,2π]范圍內(nèi)變化時(shí)，復(fù)合余弦函數(shù)值y關(guān)于x=π點(diǎn)是對稱的.因此將此函數(shù)定義域設(shè)定在[0，π].在這個(gè)區(qū)域中，函數(shù)y的極值點(diǎn)可由下式

(66)

得到 sinx=0

(67)

(68)

求解這兩個(gè)方程可以得到y(tǒng)取極值的坐標(biāo)點(diǎn)為

x=k′π,k′=0,1

(69)

(70)

由式(70)確定k的取值范圍為

(71)

(72)

其中N、M為正整數(shù)，n、m為正純小數(shù). 式(71)就可寫為

-N+(m-n)≤-k-M≤N+(m+n)

(73)

k值的個(gè)數(shù)可以分為以下4種情況:

當(dāng)m-n>0,m+n<1,k可取2N個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)m-n>0,m+n≥1,k可取2N+1個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)m-n≤0,m+n<1,k可取2N+1個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)m-n≤0,m+n≥1,k可取2N+2個(gè)極值點(diǎn).

考慮到內(nèi)余弦函數(shù)cosx在[0，π]區(qū)間內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，由式(70)確定的第一個(gè)極值點(diǎn)發(fā)生在

k=-M+N，當(dāng)m-n>0；

k=-M+N+1，當(dāng)m-n≤0.

設(shè)第1個(gè)極值點(diǎn)的坐標(biāo)為x1，第r個(gè)極值點(diǎn)的坐標(biāo)為xr，由式(70)可得

(74)

由此式就可以計(jì)算出光柵G2的振幅了.考慮到在實(shí)驗(yàn)中觀測到的極值點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)間量，所以設(shè)

(75)

T0為光柵G2諧振動(dòng)的周期，它和T1、Tr都是可觀測量.由這些量可以計(jì)算得到光柵振幅的表達(dá)式：

(76)

以上所提到的極值點(diǎn)不包含式(69)所定義的兩個(gè)端點(diǎn)極值.對于-1級衍射斑極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)和光柵振幅的計(jì)算公式是相同的. 式(76)就是利用雙光柵測量微諧振動(dòng)振幅的基本公式.

由式(72)可以看到

(77)

(78)

式(78)給出了利用雙余弦光柵測量微諧橫向振動(dòng)的最小振幅，即測量的精度.

同理可由式(41)分析出光柵G2做縱向微諧振動(dòng)時(shí)，振幅的計(jì)算公式為

(79)

與式(72)、(77)同理可得

(80)

此式說明了利用雙余弦光柵測量縱向微諧振動(dòng)的振幅應(yīng)不小于亞毫米.很明顯對于一對相同的雙余弦光柵，測量縱向振動(dòng)的精度要遠(yuǎn)小于測量橫向振動(dòng)的精度，而且振幅的測量與所使用光的波長有關(guān).

3 數(shù)值計(jì)算

設(shè)光柵G2固定在一個(gè)驅(qū)動(dòng)頻率約為500 Hz的音叉上，數(shù)值計(jì)算參數(shù)如下：兩個(gè)余弦光柵常數(shù):d1=0.01 mm；所使用的半導(dǎo)體激光器波長:λ=635×10-6mm；雙光柵的間距z0=5.00mm.

由以上參數(shù)可計(jì)算出

當(dāng)x=2π·500t的變化范圍為0到2π時(shí)，由式(65)得到+1級衍射光斑強(qiáng)度相對變化如圖2實(shí)線所示.圖中虛線為音叉在一個(gè)周期的歸一化簡諧振動(dòng)曲線，即內(nèi)余弦函數(shù). 基于我們對N，n,m的分析，顯然光柵在一個(gè)周期的振動(dòng)過程中，+1級衍射相對光強(qiáng)在(0,π)區(qū)間內(nèi)有6個(gè)極值點(diǎn).

圖2 雙光柵相對橫向振動(dòng)時(shí)+1級衍射斑光強(qiáng)變化曲線y=cos(3.2πcos x-31.75π),虛線表示內(nèi)余弦函數(shù)cos x

在實(shí)驗(yàn)中探測到的+1級衍射光強(qiáng)的變化在示波器上如圖3所示。只要測量第1個(gè)極值點(diǎn)的坐標(biāo)為x1和第r個(gè)極值點(diǎn)的坐標(biāo)為xr所對應(yīng)的時(shí)間量T1和Tr，以及光柵振動(dòng)的一個(gè)周期T0，就可以利用(76)式計(jì)算出光柵的振幅.

圖3 雙光柵相對橫向諧振動(dòng)時(shí)+1級衍射斑光強(qiáng)變化實(shí)測曲線

如果設(shè)雙光柵的襯度比γ=t1/t0=1，可由式(60)得到0級衍射光斑強(qiáng)度變化，如圖4所示.

圖4 雙光柵相對橫向振動(dòng)時(shí)0級衍射斑光強(qiáng)變化曲線y=0.25cos2(3.2πcos x)+cos(3.2πcos x)cos31.74π,點(diǎn)劃線表示復(fù)合余弦函數(shù)cos(3.2πcos x)，虛線表示內(nèi)余弦函數(shù)cos x

在圖4中可以看出，復(fù)合余弦函數(shù)平方項(xiàng)又四分之一的存在改變了復(fù)合余弦函數(shù)(點(diǎn)劃線所示)的起伏，但沒有改變極值點(diǎn)的位置和圖形分布的對稱性.所以仍然可以用來測量光柵的橫向振幅，但由于cosα項(xiàng)和復(fù)合余弦函數(shù)相乘的關(guān)系，可能降低0級光斑強(qiáng)度變化的幅度，所以不建議使用0級衍射光斑探測雙光柵的相對橫向振動(dòng).

對于光柵G2做縱向微諧振動(dòng)的數(shù)值模擬和橫向微諧振動(dòng)的情況有相同的結(jié)論.所不同的是式(80)對縱向振動(dòng)振幅的要求較式(78)要大的多.如果縱向微振動(dòng)的振幅不能滿足式(80)，由式(41)得到的縱向微振動(dòng)0級和±1衍射斑相對光強(qiáng)變化則如圖5所示.

圖5 雙光柵相對縱向諧振時(shí)衍射斑光強(qiáng)變化曲線虛線表示內(nèi)余弦函數(shù)cos x

此時(shí)從觀測到計(jì)算已不再適合利用雙余弦光柵研究縱向微諧振動(dòng)了.這也就是利用雙余弦光柵衍射測量微諧振動(dòng)精度限制的原因了.

當(dāng)雙光柵既有橫向振動(dòng)又有縱向振動(dòng)時(shí)，可將式(33)代入到式(65)，得到

(81)

當(dāng)光柵在縱、橫方向同時(shí)做簡諧振動(dòng)時(shí)，+1級衍射光斑強(qiáng)度變化如圖6所示. 實(shí)線為同頻率且初相差θ=0時(shí)的曲線；虛線表示同頻率但初相差θ=0.1π的曲線.顯然波形對初相是很敏感的.

圖6 光柵同時(shí)做縱、橫向同頻諧振動(dòng)時(shí)+1級的相對光強(qiáng)變化,實(shí)線為初相差θ=0時(shí)的曲線,虛線為初相差θ=0.1π的曲線

當(dāng)兩種振動(dòng)的頻率不同而初相差為0時(shí)，+1級的相對光強(qiáng)變化曲線如圖7所示.

圖7 光柵同時(shí)做縱、橫向不同頻諧振時(shí)+1級的相對光強(qiáng)變化,此時(shí)x=0.5x′,θ=0

在以上兩種情況中，縱、橫方向的振動(dòng)是沒有辦法分開討論的.

4 結(jié)論

運(yùn)用波前相因子法，分析雙余弦光柵衍射場的干涉是方便而有效的.尤其在分析中考慮到了雙光柵之間的間距，避免了雙光柵密接情況下橫向振動(dòng)分析結(jié)論的局限性[6].利用雙余弦光柵衍射光斑強(qiáng)度所展現(xiàn)的復(fù)合余弦函數(shù)的特點(diǎn)，可以用來研究微諧振動(dòng)的振幅和頻率，如式(76).并明確給出了縱、橫向諧振振幅測量精度的限度，如式(78)，(80).對于非余弦型光柵，可以利用傅里葉級數(shù)展開為多個(gè)余弦函數(shù)之和，本文中的結(jié)論仍然是可以利用的.

對于雙光柵之間的非諧振情況的分析將是我們進(jìn)一步研究的內(nèi)容.