鄧仕超，梅 楓，高興宇，楊 龍，梁晨光

(桂林電子科技大學a.機電工程學院;b.廣西制造系統(tǒng)與先進制造技術(shù)重點實驗室，廣西 桂林 541004)

0 引言

機械手的手眼標定基本任務(wù)是計算機器手末端抓手坐標系與視覺傳感器坐標系之間的相對齊次變換矩陣，實現(xiàn)通過視覺傳感器識別目標并計算出目標在機械手基坐標系下的三維坐標，最終實現(xiàn)機械手對目標的抓取、焊接等操作。本文利用視覺傳感器與機器手相結(jié)合，估計機器手末端工具坐標系到視覺傳感器坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣。視覺傳感器主要是由相機構(gòu)成，通過相機來確定被測物的二維坐標，實現(xiàn)對物體坐標的測量。機械手手眼標定通常使用的“AX=XB”模型是Koide K等[1]在1989年首次提出的。在過去的30年里，出現(xiàn)了大量求解手眼標定方程AX=XB的方法。一般來說求解方法可以分為兩大類：①分步法，先求解旋轉(zhuǎn)矩陣，再求解平移矩陣。如Wu J等[2]提出的基于四元數(shù)的求解手眼標定轉(zhuǎn)換矩陣方法；Daniilidis K[3]提出的對偶四元數(shù)方法；Andreff N等[4]提出的基于希爾維斯特方程的求解方法。②同步法，同時求解旋轉(zhuǎn)和平移矩陣。如Gwak S等[5]提出的梯度/牛頓法；Wu J等[6]提出的線性矩陣不等式法。

每種算法都有不同的優(yōu)點和缺點，分步法在平移矩陣的精度比旋轉(zhuǎn)矩陣的精度高時，會把旋轉(zhuǎn)矩陣的誤差代入平移矩陣中，影響整體的手眼標定精度。同步法可以得到很好的結(jié)果，但在數(shù)據(jù)迭代上會花費大量的時間。同時不同的數(shù)學方法來求解手眼標定方程過程中，由于機器正運動學建模、線結(jié)構(gòu)光視覺傳感器標定等引入誤差，使得求解機械手末端坐標系到視覺傳感器坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣較為復(fù)雜。為使手眼標定的復(fù)雜度降低，本文基于四元數(shù)法提出了一種單位八元數(shù)方法來估計視覺傳感器到機械手的轉(zhuǎn)換矩陣，通過實驗使用該方法使得手眼標定的求解過程相對簡單，計算效率提高。

1 手眼標定矩陣方程式的求解

單目機械手手眼標定模型如圖1所示，為了方便手眼標定，現(xiàn)建立如下坐標系:機械手基坐標和世界坐標系重合Ow-xwywzw，機械手末端坐標系Oe-xeyeze，攝像頭坐標系Oc-xcyczc，標定板坐標系OG-xgygzg，手眼標定方程式AX=XB化為齊次矩陣[7]為：

(1)

式中，Ra、Rb分別為機械手末端和相機坐標系的3×3旋轉(zhuǎn)矩陣；Ta、Tb分別為對應(yīng)的3×1平移矩陣；Rx、Ta是代求解的機械手末端和相機坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣。解耦得到旋轉(zhuǎn)公式、平移公式分別為：

Ra×RX=RX×Rb

(2)

Ra×TX+Ta=Rb×Tb+TX

(3)

圖1 手眼標定結(jié)構(gòu)簡圖

1.1 基于3-D旋轉(zhuǎn)的最優(yōu)估計

使用ai、bi來表示機械手和相機在僅做旋轉(zhuǎn)運動時的一組轉(zhuǎn)換矩陣，由旋轉(zhuǎn)公式(2)，可得：

(4)

其中，

ai=[log(Rai)]^

(5)

bi=[log(Rbi)]^

(6)

通過對式(4)使用SVD(Singular Value Decomposittion)來求解可以得到旋轉(zhuǎn)矩陣RX，再把RX反代入式(3)可以得到平移矩陣TX，但使用分步求解的方法，會把旋轉(zhuǎn)矩陣的誤差代入到平移矩陣中[8]。因此，也可以使用迭代的方法，同時得到TX、RX。

(7)

但式(6)也不能達到局部最優(yōu)解[9]。我們使用一種新的視角去對手眼標定方程AX=XB進行4-D分析。

1.2 基于4-D旋轉(zhuǎn)優(yōu)化估計

旋轉(zhuǎn)矩陣R可以使用兩個四元數(shù)qL=(a,b,c,d)T,qR=(p,q,r,s)T來表示[10]。R、qL、qR的關(guān)系可以表示為：

R=RL(qL)×RR(qR)

(8)

式中，RL、RR使用四元數(shù)乘積來表示：

(9)

(10)

旋轉(zhuǎn)矩陣R通過式(8)進行參數(shù),σ由單位八元數(shù)統(tǒng)一表示，通過求解其的封閉解來求出旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移矩陣T。

(11)

由式子(11)的旋轉(zhuǎn)矩陣R可以表示為：

R=(c1,c2,c3,c4)

(12)

對矩陣R進行列c1,c2,c3,c4建立相似的因式分解，則有：

(13)

根據(jù)式(11)、式(13)可以得到P1(σ),P2(σ),P3(σ),P4(σ)是4×8的矩陣，并滿足：

(14)

同理R也可以被分解為行并進行因式分解

R=(σTQ1(σ)σTQ2(σ)σTQ3(σ)σTQ4(σ))T。

(15)

為了解決式(7)不能達到局部最優(yōu)解，把手眼標定模型AX=XB從SO(3)轉(zhuǎn)到SO(4)上，進行對手眼標定方程的求解。由于AX=XB在SO(4)的求解與之前用于求解旋轉(zhuǎn)四元數(shù)分解的四元數(shù)旋轉(zhuǎn)分解QDR (quaternion decomposition from rotation ) 非常相似，所以可以在QDR的基礎(chǔ)上對旋轉(zhuǎn)八元數(shù)分解。

1.3 手眼標定方程求解

設(shè)Ei、Zi為機械手和攝像機視覺傳感器的坐標系在4-D下轉(zhuǎn)換矩陣，由式(2)，可得：

(16)

式中，Ei∈SO(4),Zi∈SO(4)其指數(shù)映射為6×6的斜對稱矩陣。

文中定義Ei、Zi如下所示：

Ei=(ei,1,ei,2,ei,3,ei,4)
Zi=(zi,1,zi,2,zi,3,zi,4)

(17)

將式(17)代入EiRx-RxZi，由矩陣的性質(zhì)可得：

(18)

由式(18)可以得到EiRx-RxZi=(Mi,1σ,Mi,2σ,Mi,3σ,Mi,4σ)，則有：

(19)

式中，每一個Gjk,i,j,k=1,2,3,4如下：

(20)

其中，參數(shù)矩陣Jjk,i∈R4×8。由式(17) ～ 式(20)可以求解最優(yōu)單位八元數(shù)。

(21)

式中，

(22)

式(21)中的σ是矩陣F的最小特征值對應(yīng)的特征向量，特征值與特征向量的關(guān)系有：

Fσ=λF,minσ

(23)

(24)

(25)

(26)

假設(shè)經(jīng)過測量得到Ei、Zi，構(gòu)建手眼標定模型，由式(22)得到特征向量qL和qR，代入到式(8)進而可以確定機械手末端與視覺傳感器坐標系之間的轉(zhuǎn)換矩陣R。

1.4 手眼標定方程SO(4)參數(shù)化

確定了手眼標定模型AX=XB在SO(4)下的求解方法，下面在來考慮得到的坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣如何從SO(3)轉(zhuǎn)到SO(4)的求解。Thomas F[11]提出了矩陣從SO(3)到SO(4)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

(27)

式中，ε滿足ε2=0，為了滿足等式，實際我們設(shè)ε=1/d，當d>>1時，可以滿足等式，經(jīng)過實際的實驗[12]我們?nèi)=1×107。

2 實驗與結(jié)果

根據(jù)以上算法展開實驗，通過如圖2所示的機器手進行手眼標定實驗，六自由度機械手的重復(fù)定位精度優(yōu)于0.04 mm，相機的分辨率為2592～1944 ppi，相機工作時的焦距為12 mm，按上述方法進行手眼標定實驗，實驗的步驟為：

(1)通過移動機械手獲取N組機械手末端和視覺傳感器坐標系的坐標，六自由度機械手的重復(fù)定位精度優(yōu)于0.04 mm，為了保證穩(wěn)定性和實驗準確度，應(yīng)使N>3。

(2)將得到Ai、Bi代入式(27)，將數(shù)據(jù)從SO(3)轉(zhuǎn)到SO(4)上。

(3)通過式(16)～式(26)對AX=XB方程進行求解，并將計算得到R通過式(27)轉(zhuǎn)到SO(3)上。

(4)把計算得到R進行實際的應(yīng)用，計算精度。手眼標定實驗采用11×8棋盤格作為相機標定和手眼標定的固定靶標。在實驗過程中，先對攝像頭使用棋盤格標定，內(nèi)參和畸變系數(shù)如表1所示，再進行手眼標定實驗，通過標定板固定不動，機器手移動，分別記錄相機、機械手在不同位置下的外參和基坐標到機械手末端的末端坐標，為簡要描述手眼標定的過程，本文摘取6個機器手位姿和相機外參數(shù)據(jù)如表2所示。

圖2 AX=XB手眼標定實驗場景

表1 相機內(nèi)參系數(shù)和畸變系數(shù)

表2 手眼標定數(shù)據(jù)

從表2可知，任區(qū)2組可構(gòu)成一個手眼標定方程，通過本文算法得到手眼關(guān)系矩陣為：

為了驗證手眼關(guān)系矩陣的可靠性，重復(fù)進行10組完全獨立的實驗，通過機械手末端坐標，手眼轉(zhuǎn)換矩陣，相機位姿公式計算得到該點在機械手基坐標下的坐標，通過與真實值進行比較，其結(jié)果的三維坐標對比，如圖3～圖5所示。

圖3 X軸坐標比較

圖4 Y軸坐標比較

圖5 Z軸坐標比較

從圖中觀察根據(jù)手眼關(guān)系轉(zhuǎn)換矩陣計算的結(jié)果與實際點的X、Y的坐標誤差在視覺傳感器對的工作范圍內(nèi)可以達到0.5 mm以內(nèi)，基本滿足要求，而Z軸的誤差較大的原因是為了避免機器手碰到實驗臺，在測量實際值時引入一定的誤差導致的。誤差主要是由于實際點坐標在使用機器手測量時不能百分百的保證對準測量點的人為誤差，該誤差不可以避免但可以盡可能減少。另一方面，相機標定的內(nèi)參、畸變系數(shù)、外參求解和手眼標定模型的求解，在計算過程中會產(chǎn)生誤差，這對測量點的坐標產(chǎn)生誤差，但標定產(chǎn)生的誤差非常小，這樣的計算誤差是可以接受的。綜合上述實驗分析，本文的算法具有精度高、魯棒性好的能力。

3 結(jié)論

本文構(gòu)建以一種基于單目機械手手眼關(guān)系標定的測量系統(tǒng)，利用棋盤靶標作為參考物，使用單位八元數(shù)方法來求解手眼標定模型AX=XB，來確定相機和機械手末端之間相對姿態(tài)的轉(zhuǎn)換方法。本算法最大限度避免了旋轉(zhuǎn)矩陣誤差代入到平移矩陣中，該算法比手眼標定傳統(tǒng)四元數(shù)算法的速度快，且魯棒性好。最后通過測量棋盤格板定板進行精度驗證，實驗結(jié)果表明系統(tǒng)具有良好的識別能力、較高精度和穩(wěn)定性，滿足實際的應(yīng)用要求。但單相機對檢測物體三維空間坐標的精度不高，需要配合更多的傳感器，后續(xù)將繼續(xù)開展相關(guān)工作。