朱子文，賈山虎，何聲馨，張二亮

(鄭州大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，鄭州 450001)

0 引言

現(xiàn)代機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)中，齒輪是最重要的部件之一，由于其恒定的傳動(dòng)比、大功率及高效率等特點(diǎn)，在生產(chǎn)制造中被廣泛使用。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)是一種復(fù)雜的彈性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)特性研究一直備受關(guān)注[1]。然而，齒輪箱的動(dòng)力學(xué)建模是機(jī)械工程領(lǐng)域公認(rèn)的極具挑戰(zhàn)性的課題之一。從系統(tǒng)辨識(shí)理論的角度，開展齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的建模研究具有重要的意義。

齒輪箱動(dòng)態(tài)特性或其參數(shù)辨識(shí)得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。Wang J G等[2]針對(duì)單級(jí)齒輪箱模型存在的非線性動(dòng)態(tài)特性，提出了一種單級(jí)齒輪箱的偽線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)方法。Sawalhi N等[3]通過對(duì)齒輪箱振動(dòng)加速度信號(hào)的測量，辨識(shí)了齒輪的齒數(shù)及其轉(zhuǎn)速。Ankur S等[4]基于模態(tài)分析理論，研究了健康齒輪和裂紋齒輪的嚙合剛度對(duì)齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率、模態(tài)振型和頻響函數(shù)的影響。Rune P等[5]應(yīng)用時(shí)變模態(tài)分析方法對(duì)具有周期性時(shí)變嚙合剛度的齒輪系統(tǒng)進(jìn)行理論分析，得到了齒輪的基頻和參數(shù)共振頻率隨轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律。Ericson T M等[6]運(yùn)用經(jīng)典實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析技術(shù)對(duì)行星齒輪的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了表征，得到了行星齒輪的固有頻率、振型和頻響函數(shù)。綜上所述，齒輪傳動(dòng)過程中表現(xiàn)出典型的(周期)時(shí)變特性尚沒有得到系統(tǒng)建模和研究。

齒輪(動(dòng)態(tài))傳動(dòng)誤差是表征齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的主要指標(biāo)之一。眾多學(xué)者在傳動(dòng)誤差的仿真計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測量方面做了大量的工作。汪中厚等[7]基于有限元理論和瑞利阻尼數(shù)學(xué)模型，在不同阻尼條件下，對(duì)螺旋錐齒輪的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差進(jìn)行了仿真。袁勇超等[8]基于光柵測量方法，建立了傳動(dòng)誤差測試平臺(tái)以及數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，提高了齒輪動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差檢測精度。李福洋等[9]通過非接觸式光學(xué)測量方法，對(duì)齒輪副的傳動(dòng)誤差進(jìn)行了高精度的測量。另外，傳動(dòng)誤差與加工制造誤差之間的關(guān)系也得到了深入研究[10-11]。

本文以齒輪箱傳遞的扭矩為輸入，視動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差為齒輪系統(tǒng)響應(yīng)，采用系統(tǒng)與控制領(lǐng)域中周期時(shí)變辨識(shí)理論，建立了齒輪系統(tǒng)的時(shí)變頻響函數(shù)辨識(shí)方法。進(jìn)一步通過齒輪系統(tǒng)時(shí)變動(dòng)力學(xué)數(shù)值模型，驗(yàn)證了該方法的有效性。本文為齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)研究提出數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)建模新方法，這可為齒輪系統(tǒng)的減振降噪、故障診斷及智能控制提供基礎(chǔ)。

1 齒輪時(shí)變動(dòng)力學(xué)模型

1.1 三自由度齒輪集中質(zhì)量模型

齒輪系統(tǒng)是一種參數(shù)激勵(lì)和非線性并存的彈性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，如果齒輪傳遞較大的載荷，齒輪的嚙合表面始終處在接觸狀態(tài)，輪齒間的齒側(cè)間隙不會(huì)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性產(chǎn)生影響[12]。本文忽略齒輪側(cè)隙，運(yùn)用集中質(zhì)量法建立了經(jīng)典的三自由度齒輪集中質(zhì)量模型，該模型在重載工況條件下較符合工程實(shí)際，如圖1所示。

圖1 齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

由牛頓定律可推導(dǎo)出圖1所示三自由度齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程：

(1)

式中，ygi和θgi分別為第i個(gè)齒輪(i=1,2)的平動(dòng)位移以及扭轉(zhuǎn)振動(dòng)位移，Ig1和Ig2為齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，mg1和mg2為齒輪平移質(zhì)量，dg1和dg2為基圓直徑，cb1、cb2和ch(t)分別為主、從動(dòng)輪的支撐阻尼和輪齒嚙合阻尼，kb1、kb2和kh(t)分別為主、從動(dòng)輪的支撐剛度和輪齒時(shí)變嚙合剛度。

(2)

(3)

式中，mc1為齒輪副等效質(zhì)量。

Fm=2Tg1m/dg1=2Tg2m/dg2

(4)

FaT(t)=mc1Tg1a(t)/2Ig1

(5)

式中，F(xiàn)m為由扭矩的平均分量(Tg1m)引起的輪齒嚙合力，F(xiàn)aT(t)為由扭矩的變動(dòng)分量(Tg1a(t))引起的輪齒嚙合力，F(xiàn)m和FaT(t)之和為扭矩引起的廣義力。

齒輪動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差為：

p(t)=x(t)+yg1(t)-yg2(t)-e(t)

(6)

式中，e(t)為靜態(tài)傳動(dòng)誤差。通常假設(shè)靜態(tài)傳動(dòng)誤差以嚙合頻率呈周期性變化，其Fourier級(jí)數(shù)展開為：

(7)

式中，ei為靜態(tài)誤差的i階諧波幅值，ω為嚙合頻率，φi為i階諧波初相位。

本文采用勢能法[13]對(duì)kh(t)進(jìn)行計(jì)算，角位移周期函數(shù)計(jì)算結(jié)果如圖2所示。

圖2 齒輪嚙合剛度

ch(t)一般由嚙合剛度kh(t)計(jì)算：

(8)

式中，ζ為阻尼比。

1.2 理論周期時(shí)變傳遞函數(shù)

以扭矩引起的廣義力為輸入，動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差為輸出，兩者之間的傳遞函數(shù)模型推導(dǎo)如下。

(9)

式中，

C=[0 0 0 0 1 0],D=0

式中，T為轉(zhuǎn)置運(yùn)算符。

對(duì)上述狀態(tài)方程進(jìn)行拉氏變換，負(fù)載扭矩引起的廣義力和動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差之間的理論傳遞函數(shù)為：

G(s,t)=C(sI-A(t))-1B

(10)

可見，齒輪動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的理論傳遞函數(shù)是時(shí)變的，在勻速工況下為一類周期時(shí)變系統(tǒng)。

2 周期時(shí)變系統(tǒng)辨識(shí)方法

在勻速工況條件下，以扭矩廣義力和動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差分別為系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，采用周期時(shí)變系統(tǒng)辨識(shí)理論[14]，開展齒輪系統(tǒng)時(shí)變頻率響應(yīng)函數(shù)的建模與辨識(shí)。

2.1 周期時(shí)變系統(tǒng)的輸入輸出模型

線性周期時(shí)變系統(tǒng)G可以由無限多個(gè)加權(quán)線性時(shí)不變系統(tǒng)組成的并行結(jié)構(gòu)很好地描述，該結(jié)構(gòu)如圖3a所示。在實(shí)際中，采用有限個(gè)(如Nb)加權(quán)線性時(shí)不變系統(tǒng)組成的分支結(jié)構(gòu)就可以較好近似系統(tǒng)G，即：

(11)

式中，G(ω,t)稱為瞬時(shí)傳遞函數(shù)，Gl(ω)為諧波傳遞函數(shù)，ωsys為系統(tǒng)的時(shí)變頻率，即齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的嚙合頻率。

在頻域中對(duì)瞬時(shí)傳遞函數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，以下為辨識(shí)中需要的基本假設(shè)。

假設(shè)1(激勵(lì)信號(hào))：輸入信號(hào)為隨機(jī)相位多正弦信號(hào)。

(12)

式中，ωexc=2πfexc表示多正弦信號(hào)的基頻，且Uk≠0，相位φk在[-π,π]區(qū)間內(nèi)均勻分布，Kexc為激勵(lì)頻率的集合(整數(shù)的子集)，式(12)中滿足Uk≠0的頻率線(k∈±Kexc)被稱為激勵(lì)線。Nexc等于激勵(lì)線的數(shù)量。

假設(shè)2(同步性)：輸入應(yīng)與系統(tǒng)時(shí)間變化同步，即：

(13)

式中，Q為有理數(shù)的集合。此外，多正弦信號(hào)的ωexc=qω0，且ω0=2π/T為信號(hào)的頻域分辨率。

假設(shè)3(穩(wěn)態(tài)響應(yīng))：輸入u0(t)和輸出y0(t)應(yīng)在穩(wěn)定狀態(tài)下被觀測。輸入u0(t)和輸出y0(t)具有相同的周期性，且周期T=pTsys。

在不改變系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的前提下，可將圖3a中的時(shí)變?cè)鲆婺K和線性時(shí)不變模塊進(jìn)行交換，得到圖3b所示的模型。該模型可視為多輸入單輸出的線性時(shí)不變系統(tǒng)，則其頻域的輸入輸出關(guān)系可以表示為：

(14)

式中，U0(k)、Y0(k)為輸入、輸出向量的離散傅里葉變換的頻譜，Hl(ωk)為圖3b中模型對(duì)應(yīng)的諧波傳遞函數(shù)，p=ωsys/ω0，且ωk=kω0。

圖3 線性周期時(shí)變系統(tǒng)原理圖

2.2 瞬時(shí)傳遞函數(shù)的局部多項(xiàng)式估計(jì)

本文采用非參數(shù)辨識(shí)方法中的局部多項(xiàng)式法對(duì)系統(tǒng)的瞬時(shí)傳遞函數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。局部多項(xiàng)式法為一種常用于多輸入多輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)的非參數(shù)辨識(shí)方法，該方法基于光滑頻率特性，在局部區(qū)間內(nèi)利用多項(xiàng)式對(duì)頻率響應(yīng)函數(shù)和瞬態(tài)項(xiàng)建模，采用最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)[15]。

假設(shè)噪聲模型是可加的，根據(jù)式(14)，輸出含噪聲的線性周期時(shí)變系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系可以表示為：

Y(k)=H(ωk)U(k)+W(k)U(k)=U0(k)

(15)

式中，U(k)為輸入向量。

U(k)=[U(k-pNb)…U(k)…U(k+pNb)]T

(16)

多輸入U(xiǎn)0(k)與單輸出Y0(k)之間的頻率響應(yīng)函數(shù)為：

H(ωk)=[HNb(ωk)…H0(ωk)…H-Nb(ωk)]

(17)

另外，誤差項(xiàng)W(k)=NY(k)+Ys(k)，其中，NY是輸出噪聲；YS是輸出隨機(jī)非線性擾動(dòng)。

在一個(gè)局部頻帶內(nèi)，即在頻率線k+l上(l=-n,-n+1,…,0,…,n)，頻率響應(yīng)函數(shù)H(ωk)可以被一個(gè)低階多項(xiàng)式局部近似，

(18)

式中，R為多項(xiàng)式的階數(shù)。

忽略式(18)中的偏差項(xiàng)，在頻率線k+l上，式(15)可以表示為：

Y(k+l)=Θ(k)K(k+l)+V(k+l)

(19)

其中，

Θ(k)=[H(ωk),h1(k),h2(k),…,hR(k)]

(20)

為1×(R+1)(2Nb+1)的行向量且向量K(k+l)被定義為：

K(k+l)=[(1l…lR)?UT(k)]T

(21)

式中，?為克羅內(nèi)克積運(yùn)算符。考慮所有的頻線l，將式(19)組合成矩陣方程，

Y(k)=Θ(k)K(k)+V(k)

(22)

其中，Y(k)，K(k)，和V(k)分別為1×(2n+1)，(R+1)(2Nb+1)×(2n+1)和1×(2n+1)的矩陣。

通過最小二乘法，可得：

(23)

S=KH(KKH)-1(I2Nb+1),0)H

(24)

式中為了簡化符號(hào)，忽略式(24)中的頻率參數(shù)k，xH為x的共軛轉(zhuǎn)置。

(25)

最后，瞬時(shí)傳遞函數(shù)的非參數(shù)估計(jì)為：

(26)

關(guān)于瞬時(shí)傳遞函數(shù)估計(jì)的不確定性分析以及如何確定最優(yōu)的模型階數(shù)，可參見文獻(xiàn)[14]。

3 算例分析

3.1 模型設(shè)置

以文中1.1節(jié)所述的三自由度齒輪集中質(zhì)量模型為算例驗(yàn)證本文方法的有效性。Tgla(t)采用隨機(jī)多正弦激勵(lì)，采樣頻率fs=215Hz，采樣點(diǎn)數(shù)N=217，周期P=4，相位R=100，幅值A(chǔ)=50 N·m。時(shí)變周期Tsys=0.5 s，Tglm=200 N·m。齒輪系統(tǒng)具體模型參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪系統(tǒng)基本參數(shù)

生成的模型輸入如圖4所示，利用四階龍格庫塔法求解式(1)，得到的模型響應(yīng)如圖5所示。

圖4 負(fù)載轉(zhuǎn)矩引起的廣義力 圖5 動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差

3.2 辨識(shí)結(jié)果

本文考慮0～8000 Hz頻帶上的數(shù)據(jù)信息，利用式(26)辨識(shí)得到的時(shí)變頻率響應(yīng)函數(shù)如圖6所示。

圖6 頻率響應(yīng)函數(shù)

可發(fā)現(xiàn)，隨著時(shí)間的變化，頻率響應(yīng)函數(shù)呈周期性變化。這是由于齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，單雙齒的交替嚙合導(dǎo)致齒輪系統(tǒng)固有頻率發(fā)生了改變。隨著時(shí)間的變化，其一階固有頻率、二階固有頻率分別在2385～3011 Hz、6938～7165 Hz范圍內(nèi)周期性變化。

同時(shí)，由式(10)計(jì)算得到理論時(shí)變傳遞函數(shù)，如圖7所示。

圖7 理論頻率響應(yīng)函數(shù)

與圖6的辨識(shí)結(jié)果比較可知，辨識(shí)得到的時(shí)變頻率響應(yīng)函數(shù)與理論傳遞函數(shù)吻合較好，能夠準(zhǔn)確地捕捉齒輪系統(tǒng)的時(shí)變特性。

4 結(jié)論

本文針對(duì)齒輪系統(tǒng)傳動(dòng)過程中典型的時(shí)變特性，提出了基于傳動(dòng)誤差的齒輪系統(tǒng)時(shí)變頻響函數(shù)辨識(shí)方法。以三自由度齒輪集中質(zhì)量模型作為算例，驗(yàn)證了該方法的有效性。本文方法表現(xiàn)出了較高的建模精度,能夠準(zhǔn)確刻畫齒輪系統(tǒng)的時(shí)變特性，可為齒輪系統(tǒng)的減振降噪、故障診斷及智能控制提供基礎(chǔ)。結(jié)合轉(zhuǎn)速測量技術(shù)，可直接拓展至處于變速狀態(tài)下齒輪系統(tǒng)的建模與辨識(shí)。