江守福 章 飛 顧繼玲

(1.青島市教育科學研究院 266023；2.江蘇第二師范學院科研處 211200；3.南京師范大學教師教育學院 210079)

推理是數(shù)學的基本思維方式，為此，《義務教育數(shù)學課程標準(2011版)》要求[1，7],推理能力的發(fā)展應貫穿在整個數(shù)學學習過程中，并在教材編寫建議中指出[1，65],無論是“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”還是“統(tǒng)計與概率”的內容編排中，都要盡可能地為學生提供觀察、操作、歸納、類比、猜測、證明的機會，發(fā)展學生的推理能力.但，高中教師反映，初中生代數(shù)領域的推理能力難以應對高中階段代數(shù)學習的要求.這固然更多地是由于初中有關代數(shù)運算學習要求與高中銜接不夠所致，但在現(xiàn)有的課程框架下，也有必要重新審視初中代數(shù)教學中是否切實重視了學生的推理能力發(fā)展.而從一線實踐和教學研究看，對于初中階段代數(shù)領域發(fā)展學生推理能力的研究確實很少.為此，有必要再次梳理代數(shù)領域發(fā)展學生推理能力的具體著力點，分析教材編寫和教學中如何外顯數(shù)學推理，從而更好地指導一線教師在代數(shù)領域加強數(shù)學推理的教學.

1 代數(shù)領域推理能力發(fā)展的著力點分析

推理分為演繹推理和合情推理(包括歸納、類比、統(tǒng)計推斷等).演繹是從一般到特殊的推理，歸納是從特殊到一般的推理，類比則是特殊的具體到另一個具有某種類似特殊性的具體.因此，代數(shù)里面的推理也包括演繹推理、歸納推理和類比推理.例如，從若干運算結果中歸納出有關運算規(guī)律，就是歸納；根據(jù)運算法則推演出運算的規(guī)律或者公式，就是演繹；而根據(jù)有理數(shù)的運算法則得到無理數(shù)的運算法則、實數(shù)的運算法則等就是類比.

分析代數(shù)領域推理能力發(fā)展的著力點，需要分析整個代數(shù)學習的結構.代數(shù)的學習內容，大致是這樣一個二維的結構(如圖1).對于一個具體的研究對象(如有理數(shù)、實數(shù)、整式、分式、方程等)，縱向上大致依次研究三個方面的問題：概念、運算(包括運算法則、運算規(guī)律或公式等)、應用.橫向上，則從一個對象的研究拓廣到另一個對象的研究，如從有理數(shù)到實數(shù)的延拓、從數(shù)到式的延拓、從式到“式與式之間關系”(函數(shù)、方程、不等式)的延拓.整個初中階段的代數(shù)學習就是這樣，從現(xiàn)實背景出發(fā)，按縱、橫兩個方向生長，教科書也是基本按照這樣的邏輯生長起來的.圖中以序號①-⑦表示了不同的知識生長過程.下面分別分析這些生長過程中蘊含的數(shù)學推理.

①基于現(xiàn)實抽象代數(shù)概念，具體過程如下：從現(xiàn)實中抽象出有關概念的若干原型，接著對這些原型進行歸納，歸納其共性，最終概括出概念及其定義.例如，通過現(xiàn)實抽象出若干具體的一元二次方程，接著歸納這些方程的共同特征：含有一個未知數(shù)的整式方程，未知數(shù)的最高次數(shù)是二次，進而概括出一元二次方程的概念：形如ax2+bx+c=0這樣含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的整式方程.其中對若干原型共性的歸納過程，具有歸納推理的成分.

②在代數(shù)概念的基礎上建立該概念相關的運算法則，常見的作法也是從現(xiàn)實背景中抽取若干算式，根據(jù)算式歸納法則.例如，有理數(shù)的運算法則，可能是從生活背景中兩個相反方向的連續(xù)運動得到若干算式，并根據(jù)現(xiàn)實意義得到算式的結果，基于這些結果歸納運算法則，當然，歸納完畢，還可進一步進行有關生活的解釋.總體而言這個過程中，多為歸納推理.

圖1 代數(shù)知識的生長示意圖

③基于運算規(guī)律探析運算規(guī)律或者運算公式.這里可能兩條思路.一是，完全基于法則進行推演，如基于多項式乘法法則推演乘法公式，這里側重的是演繹推理；二是，基于具體算式的歸納，通過對若干具體算式計算之后的觀察歸納出有關公式，這里側重的是歸納推理.

上述①-④,反映了代數(shù)對象的縱向生長，但，日常教學中常有前期類似的學習經(jīng)驗，因此，代數(shù)學習中?？赡墚a(chǎn)生橫向的類比拓廣，例如從有理數(shù)的概念延拓到實數(shù)的概念，從有理數(shù)加法法則延拓到實數(shù)的加法法則，從有理數(shù)的運算律(如交換律、結合律)延拓到實數(shù)的運算律，這就是⑤⑥⑦.⑤⑥⑦的學習多為類比延拓，側重的是類比推理.如由正數(shù)加法法則到有理數(shù)加法法則，原來參與運算的數(shù)是正數(shù)，現(xiàn)在延拓到了負數(shù)，自然正數(shù)部分的運算法則要保持一致，正數(shù)加正數(shù)仍是正數(shù)，還是按照原來的法則，結果變大；類似地，可以類比，負數(shù)加上負數(shù)，應該仍是負的，而且負得更多，結合現(xiàn)實情境，可以類比得出它們的絕對值相加；負數(shù)與正數(shù)，那自然可以適當?shù)窒?再如，有理數(shù)運算到實數(shù)運算，對于初中生而言，沒有必要也沒有可能仔細介紹實數(shù)運算法則的探究推理過程，教學中一般直接點出可以類比得到：實數(shù)與有理數(shù)一樣，可以進行加、減、乘、除、乘方運算，而且有理數(shù)的運算法則與運算律對實數(shù)仍然適用.

綜上，初中代數(shù)學習中，歸納推理主要體現(xiàn)在①②③三個環(huán)節(jié)，類比推理主要體現(xiàn)在⑤⑥⑦三個環(huán)節(jié)，演繹推理主要體現(xiàn)在④這一環(huán)節(jié)，部分學習對象的③這一環(huán)節(jié)也可體現(xiàn)演繹推理.

2 代數(shù)領域推理能力發(fā)展的現(xiàn)狀分析

2.1 演繹推理過程簡略，師生難能體會

正如上述分析，代數(shù)領域的演繹推理主要體現(xiàn)在運算的應用環(huán)節(jié)，應該說，這本是代數(shù)學習中十分重要的環(huán)節(jié)，在代數(shù)學習中占有很大的篇幅.但與一線教師的交流表明，師生并未感受到其中豐富的演繹推理.這一方面是由于師生多將運算過程簡單地等同于代入公式或利用法則運算，并沒有把其視為演繹推理的過程.當然，深層次的原因是，教材設計和教學實施中，全部采用了簡化的過程，師生難能體會到其中的演繹推理.

2.2 合情推理素材豐富，但明確性不夠

正如上述分析，歸納、類比等合情推理體現(xiàn)在上圖中①②③⑤⑥⑦這些環(huán)節(jié)，顯然，合情推理在代數(shù)學習中同樣占據(jù)了較大的篇幅，特別是運算法則和運算規(guī)律的探究環(huán)節(jié)，但很多地方對于合情推理的過程體現(xiàn)尚顯不夠,很多地方多直接點明“類似地，×××同樣具有×××性質”，而缺少較為充分的探析過程.

2.3 合情推理與演繹推理的融合不夠

一個嚴格的推理過程，一般應包括從合情到演繹的全過程.但教材設計和教學實施中，這一閉環(huán)并未形成.很多法則、公式的探究僅僅停留在合情推理的層面，在歸納、類比得到有關法則、規(guī)律之后沒有進行較為嚴格的演繹推理.誠然，部分法則、規(guī)律(如實數(shù)的運算法則和運算規(guī)律)的嚴格證明確實超出了初中生的學力水平，教學中可以適度滑過，但即便如此，也可以具體案例的解釋和驗證使得學生形成更為豐富的體驗；另外，也有不少法則、規(guī)律的嚴格證明，并未超出學生的學力水平，但教材設計和教學實施中，并未進一步引導學生開展相關演繹推理活動.

2.4 未將推理能力發(fā)展作為明確的目標

教材設計和教學實施中，多將推理作為知識學習的具體工具，通過歸納、類比等得到代數(shù)的運算法則、運算規(guī)律，通過演繹等進行代數(shù)運算，但代數(shù)學習中，很少有例習題專門訓練或考查學生推理能力的發(fā)展.

3 代數(shù)領域加強推理能力發(fā)展的建議

3.1 外顯推理過程，讓推理的過程“看得見”

很多師生未能很好地“感受到”代數(shù)學習過程中的推理，部分原因是教材設計和教學實施中，代數(shù)推理的過程展開不夠.為此，需要將代數(shù)學習中的推理過程更好地展現(xiàn)出來，讓推理過程“看得見”.具體地，讓忽略的、壓縮掉的推理過程恢復過來，讓不完整的推理過程恢復完整.下面僅以演繹推理過程的外顯化和推理閉環(huán)的外顯為例加以說明.

演繹推理過程的外顯化學生能很好地感受幾何學習中的演繹推理，因為，幾何學習中很清楚地給出了三段論式的演繹推理過程，而代數(shù)中沒有給出三段論式的演繹推理過程.當然，如果所有代數(shù)運算中都完整地展現(xiàn)三段論式的演繹推理過程，過程較為拖沓，師生難免厭煩，而且算式也不連貫.面對這個兩難境地，可以適度簡化.實際上，幾何學習中，三段論式的演繹推理過程也做了一些簡化.完整的三段論式的推理模式是：大前提，小前提，小結論；這里的大前提實際上就是依據(jù)的原理、公理、定理等.但隨著學習的深入，新學習的定理(大前提)已經(jīng)深入人心，要求每次寫出大前提作為依據(jù)，學生難免厭煩，而且易于形成思維阻隔現(xiàn)象，因此，幾何學習中，僅僅在新學習一個定理時，要求將這一定理作為證明的依據(jù)寫出，后面會逐步刪去這個大前提.考慮到刪去大前提前后的推理表達形式的一致性，數(shù)學教育工作者“創(chuàng)造性”地將大前提放到括號中，為后續(xù)刪減提供了便利.也就是說，幾何演繹推理形式的演變如圖2.類似地，代數(shù)運算中，也可以采用類似的做法：新學一個運算法則或運算規(guī)律，利用它們進行運算時，要求學生說明道理，即每個等號一行，在每一行算式后面標注理由，等學生熟悉之后，不再作出類似要求.這樣做，并沒有增加學生太多的負擔(僅在新法則運用的初始階段，而且對于解方程而言僅僅是在初次學習時在每行等式后面標注理由)，而將重心放到幫助學生理解和盡快熟悉新學習的有關法則、規(guī)律上，更重要的是，讓學生充分感受到代數(shù)推理的嚴謹性，養(yǎng)成學生言之有據(jù)的習慣.

圖2 幾何推理形式的演變

圖3 某教科書中根式乘法探析過程

3.2 設計推理任務，讓推理的目標“能達成”

推理不僅是學習的手段、工具，更是學生發(fā)展的目標.代數(shù)學習過程中，學生在運用推理的過程中，順帶發(fā)展了推理能力，但仍需要進行專門的推理訓練，通過更為豐富的推理活動發(fā)展學生的推理能力.建議，設計更有針對性的推理任務，確保推理目標的達成.這樣的任務是多樣的，可以是明確要求的歸納、類比或證明活動，也可以是對有關推理過程的判斷、辨析、完善與改進等.例如，設計一個具體的活動，要求學生在活動中經(jīng)歷歸納、猜想與證明的過程，切實感受推理的全過程；再如，可以呈現(xiàn)一些推理的過程(如解方程、解不等式或者其他運算的過程)，要求學生判斷這樣的推理過程是否正確并加以完善、改進.茲舉幾例，與同行交流.

例1(1)嘗試用分數(shù)表示各分數(shù)的和(略).

(2)根據(jù)(1)的結果，有人說“兩個有理數(shù)的和還是一個有理數(shù)”，你認為這個說法正確嗎，請給出你的證明.

(3)一個有理數(shù)與一個無理數(shù)的和，是有理數(shù)還是無理數(shù)？

(4)*兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù)嗎？(*為選做題，根據(jù)學生學力靈活處理)

(5)*關于兩個數(shù)(有理數(shù)或者無理數(shù))的積，你有哪些猜想，你能證明你的猜想嗎？

例2下列解方程的過程是否正確(略)？正確的說明每一步的依據(jù)，錯誤的加以改正.

例3如圖4，8個相同的直角三角形和一個小正方形組成了一個大正方形.

圖4 某教科書中根式乘法探析過程

(1)不進行計算，僅觀察圖形，說說(a+b)2-(a-b)2的結果和理由.

(2)用代數(shù)方法證明(1)中發(fā)現(xiàn)的結論.

總之，推理能力的發(fā)展，同樣是初中代數(shù)學習的重要目標.為此，在教材編寫和教學設計中，應認真梳理代數(shù)學習中發(fā)展學生推理能力的著力點，審視代數(shù)教學中發(fā)展學生推理能力的薄弱環(huán)節(jié)，通過外顯推理過程和明確的推理任務等多種方式，切實發(fā)展學生的推理能力.