陳愛欽

（福州高新區(qū)第二中心小學(xué)，福建 福州 350109）

數(shù)學(xué)建模即把復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題概括抽象成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)內(nèi)容，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題。如概念、公式定律等內(nèi)容，都可以算是數(shù)學(xué)模型［1］，很多問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型進(jìn)行教學(xué)，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。而最后留在學(xué)生腦海中的，也一定是這些數(shù)學(xué)模型，這些模型將成為學(xué)生解決生活問(wèn)題的方法，對(duì)今后的學(xué)習(xí)起到重要的作用。數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的內(nèi)涵是極其豐富的，不僅體現(xiàn)在解決一個(gè)數(shù)學(xué)應(yīng)用的問(wèn)題，還蘊(yùn)涵著內(nèi)容、方法、步驟、手段、策略，乃至數(shù)學(xué)的精神。無(wú)論是課程標(biāo)準(zhǔn)還是教材的編寫，都對(duì)數(shù)學(xué)模型思想給予足夠的重視，讓學(xué)生在學(xué)到知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力。如何讓學(xué)生向建模思維的深處行，落實(shí)建模的目標(biāo)設(shè)定與實(shí)施，從而提高學(xué)生的建模能力呢？課堂的總結(jié)和反思是關(guān)鍵。

一、反思問(wèn)題類型，形成建模目標(biāo)

例如，教學(xué)“簡(jiǎn)單的周期”一課，設(shè)計(jì)以下練習(xí)活動(dòng)和反思環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)一：我是設(shè)計(jì)師：你能用○△□設(shè)計(jì)一組周期規(guī)律的圖形序列嗎？并且要讓第28 個(gè)圖形是△。畫完想一想，在小組里說(shuō)一說(shuō)，你是怎么畫的。

問(wèn)題一出來(lái)，學(xué)生有的做沉思狀，遲遲不動(dòng)筆，有的拿出練習(xí)紙寫寫畫畫。不一會(huì)兒，就有學(xué)生舉手示意完成題目，陸陸續(xù)續(xù)的，全部學(xué)生都有成果了。顯然，這些設(shè)計(jì)圖來(lái)得并不容易，從學(xué)生明顯的擦拭痕跡能看出，應(yīng)該是在反復(fù)試了畫、畫了擦的基礎(chǔ)上，才得到最后的設(shè)計(jì)圖的。不管過(guò)程有多曲折，結(jié)果都是對(duì)的，說(shuō)理都是通的。

環(huán)節(jié)二：回顧剛才你是怎么畫的，怎么做才能又快又好？剛才的題目是哪個(gè)類型的問(wèn)題，以后遇到這種類型的問(wèn)題時(shí)應(yīng)該怎么做呢？先想一想，再和同桌說(shuō)一說(shuō)。

生1：我先用這三個(gè)圖形畫一組，共五個(gè)，又畫了同樣的五組，發(fā)現(xiàn)還要畫3 個(gè)，就是28 個(gè)，三角形要排在第三個(gè)，所以把前面的每一組第三個(gè)都改成三角形。

生2：我認(rèn)為做這道題目，一開始先不要?jiǎng)邮之?。要先?jì)算，只要看余數(shù)，余數(shù)是幾，就把△排在每組第幾個(gè)；如果沒有余數(shù)，就把△排在每組最后一個(gè)，計(jì)算完再畫就會(huì)簡(jiǎn)單一些。

教師適時(shí)抓住重點(diǎn)追問(wèn)：“是哪個(gè)類型的問(wèn)題，以后遇到這種類型的問(wèn)題應(yīng)該怎么做呢？”學(xué)生迫不及待地補(bǔ)充：“這是周期問(wèn)題，這種問(wèn)題其實(shí)就是確定每組幾個(gè)后，先列一道除法算式，然后看余數(shù)，再來(lái)畫圖?！敝链?，學(xué)生不僅能說(shuō)出邏輯清楚的話，更重要的是思維不再局限于問(wèn)題的表面，已然觸及一種重要的數(shù)學(xué)思想——模型思想。上述活動(dòng)設(shè)計(jì)，教師放手讓學(xué)生嘗試，他們最終也能設(shè)計(jì)出各種方案。相當(dāng)一部分最終的結(jié)果，是在反復(fù)試錯(cuò)的過(guò)程中逐漸調(diào)整而來(lái)的，是缺乏方向性指導(dǎo)的。相對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的標(biāo)準(zhǔn)而言，這樣帶有僥幸心理的嘗試和成功顯然并不是我們所期待的。

模型的構(gòu)建重在體驗(yàn)和探究，學(xué)生的學(xué)習(xí)也是體驗(yàn)和探究科學(xué)知識(shí)的過(guò)程。［2］然而，經(jīng)歷體驗(yàn)后，學(xué)生是否發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含在問(wèn)題解決過(guò)程中的豐富的數(shù)學(xué)思想，并主動(dòng)總結(jié)？答案顯然是否定的。此時(shí)，需要教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行反思，在反思中總結(jié)問(wèn)題類型，掌握解決此類問(wèn)題的一般方法，形成建模目標(biāo)。模型思想揭示的是數(shù)學(xué)對(duì)象內(nèi)在的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，它直接指向數(shù)學(xué)本質(zhì)，抓住數(shù)學(xué)最核心的部分。細(xì)細(xì)分析，學(xué)生嘗試畫出的圖其實(shí)是一種直觀模型，接著要處理好直觀與抽象的關(guān)系，充分發(fā)揮畫圖對(duì)除法模型的直觀詮釋作用。比如，除法算式中，“被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)”分別表示什么意思，幫助學(xué)生弄清除法模型的實(shí)際意義，感受到除法模型表示規(guī)律的一般性和高度的概括性，由此建立起具有統(tǒng)攝性、符號(hào)化的除法模型，這就是周期問(wèn)題的建模目標(biāo)。通過(guò)反復(fù)反思問(wèn)題類型，形成建模目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的內(nèi)在架構(gòu)，突出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的形式化表達(dá)［3］，對(duì)學(xué)生而言，就是一種簡(jiǎn)約化的理性思維訓(xùn)練。再遇到類似問(wèn)題，相信學(xué)生就能有章可循。

二、反思思考方法，學(xué)會(huì)建模手段

“怎樣計(jì)算？”“為什么這樣計(jì)算？”“有多少種計(jì)算方法？”一直是計(jì)算教學(xué)繞不開的話題。抽象的算理、枯燥的算法，往往讓學(xué)生厭煩。如何把算理和算法模型變得直觀、生動(dòng)、深刻呢？以《小數(shù)加減法》研討課為例，設(shè)計(jì)以下環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)一：及時(shí)反思計(jì)算過(guò)程的思考方法，形成建立計(jì)算模型的手段。

師：小數(shù)計(jì)算2.75+1.4 算式的結(jié)果是多少？把你計(jì)算思考的過(guò)程記錄下來(lái)?？梢詫懸粚懟虍嬕划?。

師：誰(shuí)愿意和我們分享你的思考過(guò)程？

生1：把2.75 和1.4 看作用元做單位，通過(guò)換算，得到415 分，就是4.15 元。

生2：把2.75 當(dāng)作2.75 米，1.4 當(dāng)作1.4 米，再化成厘米做單位。

生3：我是用2 元加1 元，7 角加4 角，還剩一個(gè)5分，這樣一眼就看出結(jié)果是4.15 元。（見圖1）

圖1

師：這三位同學(xué)的方法有沒有相同之處？

生4：都用了單位換算法，把兩個(gè)小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)。

師：還有其他的解法嗎？

生5：2.75 表示2 個(gè)1，7 個(gè)0.1 和5 個(gè)0.01，1.4 表示1 個(gè)1，4 個(gè)0.1 合在一起就是3 個(gè)1+11 個(gè)0.1+5 個(gè)0.01，也就是4 個(gè)1+1 個(gè)0.1+5 個(gè)0.01=4.15。我的方法雖然有點(diǎn)麻煩，但是容易理解，我是把每個(gè)小數(shù)拆開來(lái)計(jì)算的。

師：你明白他的意思嗎？這里的11 個(gè)0.1 是怎樣得到的？

生6：是7 個(gè)0.1 加4 個(gè)0.1 得到的。

師：把兩個(gè)小數(shù)分別拆成幾個(gè)1、幾個(gè)0.1 和幾個(gè)0.01 來(lái)思考，這種方法的依據(jù)是什么？

生7：小數(shù)的組成。

師：同學(xué)們不僅理解方法，還知道方法的依據(jù)。

上述活動(dòng)中，教師拋出“他們的方法有沒有相同之處？”“這種方法依據(jù)是什么？”等問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生歸納思考方法，積累計(jì)算算理的經(jīng)驗(yàn)，形成建構(gòu)。僅“單元換算”的方法，學(xué)生的計(jì)算過(guò)程就各有不同，且視角不同，有繁有簡(jiǎn)。正是這種不同，才使得學(xué)習(xí)素材更加多元，方法更加多樣。由于每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)是不同的，思維方法是豐富多彩的，教師要讓個(gè)性化的思維路徑得以展現(xiàn)。

生8：我是用方格圖來(lái)表示。（見圖2）

圖2

師：同學(xué)們創(chuàng)造了這么多的作品圖。無(wú)論是圖形圖、計(jì)數(shù)器圖還是方格圖，都特別關(guān)注到什么？

生9：滿十進(jìn)一。

生10：把相同數(shù)位上的數(shù)相加。

學(xué)生用各種數(shù)學(xué)圖形來(lái)呈現(xiàn)解題思路。通過(guò)對(duì)思考方法的相互評(píng)價(jià)，質(zhì)疑創(chuàng)新、實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)互補(bǔ)，在思維碰撞中加深對(duì)小數(shù)加減法算理的理解。思考方法越豐富，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解就越全面、越豐盈，越接近其算理本質(zhì)。

環(huán)節(jié)二：一步一思，由表及里，理解運(yùn)算法則。

生11：我是用豎式來(lái)計(jì)算的。

師：為什么要把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊？而不把末尾對(duì)齊？

生12：因?yàn)樾?shù)點(diǎn)對(duì)齊了，數(shù)位才能對(duì)齊。

教師總結(jié)促反思：“同學(xué)們用文字表述、畫圖理解、單位換算、豎式計(jì)算等多種方法，把新知轉(zhuǎn)化成舊知，這就是數(shù)學(xué)能力，這些不同的方法，有什么共同的特點(diǎn)？相互之間有什么聯(lián)系呢？”

生13：相同點(diǎn)在于計(jì)數(shù)單位相同的數(shù)才能相加。

生14：這些方法是有聯(lián)系的。無(wú)論哪種方法，都可以在豎式計(jì)算中找到過(guò)程，其實(shí)這幾種方法，計(jì)算的道理都是一樣的。

師：你們認(rèn)為哪種方法最簡(jiǎn)潔呢？

生15：豎式計(jì)算最簡(jiǎn)潔。

教師結(jié)合對(duì)算理思考方法的梳理反思，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同方法進(jìn)行比對(duì)，發(fā)現(xiàn)異同，歸納概括。抽象的程度由淺入深，通過(guò)思維加工，使新舊知識(shí)模型構(gòu)架融為一體，內(nèi)化為學(xué)生自己的認(rèn)知模型結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生從不同的視角理解算理的內(nèi)涵，完成對(duì)算理的本質(zhì)建構(gòu)。在梳理反思進(jìn)程中，教師要關(guān)注思考方法，引導(dǎo)學(xué)生勾連各種表征之間的聯(lián)系，并透過(guò)這種聯(lián)系，全面理解數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，透過(guò)多元表征透視知識(shí)內(nèi)核，在習(xí)得方法的同時(shí)，促進(jìn)思維向縱深發(fā)展，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的多元建構(gòu)、經(jīng)驗(yàn)的多元積累、數(shù)學(xué)思維的多元發(fā)展。加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成穩(wěn)固的知識(shí)體系，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維拔節(jié)生長(zhǎng)，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

三、反思解決過(guò)程，掌握建模步驟

滲透模型思想，培養(yǎng)建模能力，反思解決過(guò)程，形成建模步驟，人教版教材也是有意如此編排的。在教材解決問(wèn)題的教學(xué)中，低年級(jí)教材編排呈現(xiàn)解決問(wèn)題的三個(gè)步驟：“知道了什么？”“怎樣解答？”“解答正確嗎？”中高年級(jí)則凝練成三部曲：閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思。教師要按照三個(gè)步驟組織教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力、提出問(wèn)題的能力以及分析并解決問(wèn)題的能力。

例如，低年級(jí)“解決問(wèn)題”教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生把“解決問(wèn)題”中敘述的生活語(yǔ)言抽象成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力和習(xí)慣。把“應(yīng)用題”先轉(zhuǎn)化為“文字題”后，再進(jìn)行列式解答，同時(shí)彌補(bǔ)了新教材中沒有“文字題”例題的缺陷。如分析“15 人做游戲，平均每組5 人，可以分成幾組？”的解題思路后，要寫出“15 里面有幾個(gè)5”，再列式解答。及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生回顧反思，在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)歷了哪些步驟？又如，在具體教學(xué)中，可通過(guò)專項(xiàng)練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生述說(shuō)思路。如根據(jù)哪些信息可以解決什么問(wèn)題；要解決這個(gè)問(wèn)題，需要什么信息；補(bǔ)信息補(bǔ)問(wèn)題；畫示意圖或線段圖等。讓學(xué)生在講述解題思路的過(guò)程中，引發(fā)自我反思，明確解題步驟，提高建模能力。

從核心素養(yǎng)角度來(lái)看數(shù)學(xué)建模能力，就是教學(xué)時(shí)，在現(xiàn)實(shí)情境的基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，在數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，除了讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—提出問(wèn)題—分析問(wèn)題—解決問(wèn)題”這四個(gè)過(guò)程，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的四種能力：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題能力、提出問(wèn)題能力、分析問(wèn)題能力、解決問(wèn)題能力，更應(yīng)引導(dǎo)反思解決問(wèn)題過(guò)程，以此達(dá)到“四會(huì)”：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看生活、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維想問(wèn)題、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表述世界、會(huì)用模型思想解決問(wèn)題。［4］教師適時(shí)把解決問(wèn)題的幾個(gè)步驟在回顧與反思環(huán)節(jié)讓學(xué)生反思梳理，學(xué)生自然在每次梳理中，加深解決問(wèn)題步驟的認(rèn)識(shí)，形成自己的建模步驟。同理，每一次課堂教學(xué)中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生反思解決問(wèn)題的過(guò)程，得出解決此類問(wèn)題的一般步驟。

總之，在課堂教學(xué)中及時(shí)反思，讓學(xué)生在反思中形成建模目標(biāo)，學(xué)會(huì)建模手段，掌握建模步驟，才能切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。