文／陳梅珍

我們知道二次函數(shù)的圖像是拋物線，在考查二次函數(shù)知識(shí)時(shí)，常常會(huì)出現(xiàn)一類由二次函數(shù)圖像即拋物線提供信息，利用二次函數(shù)性質(zhì)作推理判斷的題目。解決這類問題，我們必須熟悉二次函數(shù)表達(dá)式中的字母系數(shù)與拋物線之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)看二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像，具備從函數(shù)圖像中獲取信息的能力。

看拋物線與y軸的位置：由x=0時(shí)y=c，可知拋物線與y軸交于（0，c）。當(dāng)拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方時(shí)，c＞0；當(dāng)拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方時(shí)，c＜0；當(dāng)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，c=0。

看拋物線與x軸有無公共點(diǎn)：拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則b2-4ac＞0；拋物線與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，則b2-4ac=0；拋物線與x軸沒有公共點(diǎn)，則b2-4ac＜0。

還可以看看拋物線的對(duì)稱性、拋物線的增減性、某些特殊點(diǎn)的位置等，以此進(jìn)一步推理判斷。

圖1

【解析】看拋物線，開口向上，所以a＞0。

看拋物線的趨勢(shì)，拋物線與y軸相交于負(fù)半軸，所以c＜0。

由此分析出abc＜0，故①錯(cuò)誤。

因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于（-3，0），頂點(diǎn)是（-1，m），

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，可知拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（1，0）。

因?yàn)閽佄锞€開口向上，所以橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)在x軸上方，所以當(dāng)x=2 時(shí)，y=4a+2b+c＞0，故②正確。

綜合上述，正確的是②③。

例2 如圖2，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n）。結(jié)合圖像分析下列結(jié)論：①8a+c＜0；②關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=n-1 有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；③拋物線上有兩點(diǎn)P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2；④m（am+b）≤a+b（m為實(shí)數(shù)）。正確的是（填序號(hào)）。

圖2

因?yàn)辄c(diǎn)A（-1，0）關(guān)于直線x=1 的對(duì)稱點(diǎn)為（3，0），所以9a+3b+c=0。

將b=-2a代入9a+3b+c=0，得3a+c=0，所以8a+c=5a＜0，故①正確。

因?yàn)轫旤c(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），所以拋物線ax2+bx+c=n有唯一解。

當(dāng)y=n-1 時(shí)，與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，故②正確。

拋物線關(guān)于x=1 對(duì)稱，x＜1 時(shí)，y隨x的增大而增大，x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小，

所以y1＞y2，故③正確。

因?yàn)閽佄锞€y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），所以x=1時(shí)，函數(shù)值y取最大值。

因?yàn)閤=1 時(shí)，函數(shù)值y=a+b+c；x=m時(shí)，函數(shù)值y=am2+bm+c，

所以am2+bm+c≤a+b+c，所以am2+bm≤a+b，即m（am+b）≤a+b（m為實(shí)數(shù)）成立，故④正確。

綜合上述，正確的是①②③④。

利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像解決問題，我們需要仔細(xì)觀察題目所給出的圖像，認(rèn)真解讀圖像所反映出來的重要信息，然后根據(jù)解讀出來的圖像信息，結(jié)合圖像與性質(zhì)，逐條分析并推理判斷各個(gè)結(jié)論的正確性。