文|鮑莉麗 陳楚楚

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版六年級(jí)上冊(cè)第50 頁(yè)。

【教學(xué)過(guò)程】

一、知識(shí)關(guān)聯(lián)，引發(fā)猜想

1.回憶比的各部分名稱，尋找知識(shí)關(guān)聯(lián)點(diǎn)。

師：我們前面學(xué)習(xí)了比，關(guān)于比，你有哪些了解？

生：比有前項(xiàng)、后項(xiàng)，前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商是比值。

生：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)是除法中的被除數(shù)和除數(shù)，比值等于商。

生：比的前項(xiàng)相當(dāng)于分子，后項(xiàng)相當(dāng)于分母，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值。

2.回憶所學(xué)“基本性質(zhì)”，類比猜想“比的基本性質(zhì)”。

師：今天繼續(xù)學(xué)習(xí)比的知識(shí)：比的基本性質(zhì)?！盎拘再|(zhì)”不是第一次見(jiàn)了，你還記得哪些“基本性質(zhì)”？

生：商不變性質(zhì)。被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)不為0 的數(shù)，商不變。

生：分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。分子和分母同時(shí)乘或除以一個(gè)不為0 的數(shù)，分?jǐn)?shù)大小不變。

師：猜想一下，比的基本性質(zhì)會(huì)是怎樣的？

生：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以一個(gè)不為0 的數(shù)，比值不變。

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回憶，充分喚醒比的相關(guān)知識(shí)，主動(dòng)和除法、分?jǐn)?shù)建立聯(lián)系，幫助學(xué)生順利地進(jìn)行類比遷移，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的自然生長(zhǎng)，同時(shí)也為后續(xù)驗(yàn)證猜想、推理得出“比的基本性質(zhì)”做了有效鋪墊?！?/p>

二、自主探究，證明猜想

1.追疑猜想，設(shè)法求證。

師：比值真的不變嗎？請(qǐng)你通過(guò)寫(xiě)一寫(xiě)、算一算，把道理寫(xiě)在《學(xué)習(xí)單》上。

2.求比值驗(yàn)結(jié)果，“不完全歸納”得結(jié)論。

生：把1∶2 的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘2 得到了2∶4，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)1∶2 的比值是，2∶4 的比值也是，比值相等。舉例發(fā)現(xiàn)，比的前后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)，比值大小相等，說(shuō)明猜想是正確的。

師：從嚴(yán)格意義上講，只能驗(yàn)證你們舉的例子是成立的，這些例子能說(shuō)明所有的比都成立嗎？

生：不夠。要很多例子。

師：舉得完嗎？

生：舉不完。

師：那還有其他方法說(shuō)明這個(gè)結(jié)論一定成立嗎？

3.找內(nèi)部關(guān)聯(lián)，演繹推理證結(jié)論。

生：比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù)，比的后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù)，比值就是商，因?yàn)槌ㄖ杏猩滩蛔冃再|(zhì)，所以比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以一個(gè)不為0 的數(shù)，比值不變。

師：這位同學(xué)是依據(jù)什么來(lái)驗(yàn)證的？

生：根據(jù)比和除法的關(guān)系及商不變性質(zhì)來(lái)驗(yàn)證的。

師：除了用除法，還可以聯(lián)系什么來(lái)說(shuō)理？

生：分?jǐn)?shù)。

生：（上臺(tái)連線并說(shuō)理）比的前項(xiàng)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)中的分子，后項(xiàng)相當(dāng)于分母，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)中有分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)（分子和分母同時(shí)乘或除以一個(gè)不為0 的數(shù)，分?jǐn)?shù)大小不變），所以比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以一個(gè)不為0 的數(shù)，比值也是不變的。

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)自主探究、暴露思維，展現(xiàn)不同的推理過(guò)程：1.反饋常見(jiàn)方法，“不完全歸納”求值。采用舉例子的方式，明確并體會(huì)不完全歸納法只能證明已有的例子成立，有其局限性。2.聯(lián)系前知促思考，開(kāi)展演繹推理轉(zhuǎn)換推理思路，展現(xiàn)更能確認(rèn)結(jié)論的推理方式，凸顯演繹推理的價(jià)值。3.回顧驗(yàn)證過(guò)程，加深對(duì)推理方法的理解。在回顧“猜想——驗(yàn)證——結(jié)論”的過(guò)程中，使學(xué)生明白兩種推理方式的不同，演繹推理的結(jié)論更為可靠?！?/p>

三、新舊聯(lián)系，遷移類比

1.梳理教材，方法遷移。

師：四年級(jí)時(shí)只通過(guò)“舉例子”得出了“商不變性質(zhì)”，五年級(jí)時(shí)增加了“聯(lián)系已有的商不變性質(zhì)”說(shuō)明“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，六年級(jí)我們不僅能通過(guò)“舉例子”驗(yàn)證，還掌握了通過(guò)“已有性質(zhì)推理”證明“比的基本性質(zhì)”。以后要繼續(xù)學(xué)習(xí)抓住內(nèi)部間的聯(lián)系進(jìn)行方法的遷移。

2.應(yīng)用性質(zhì)，概念類比。

師：你能不通過(guò)求比值快速判斷哪些比的大小一樣嗎？請(qǐng)快速思考，說(shuō)說(shuō)你的依據(jù)。

（1）用概念辨析。

生：60∶90 和120∶180 的比值是相等的。60∶90 的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘2 就是120∶180。依據(jù)比的基本性質(zhì)。

生：60∶90=2∶3，60 和90 同時(shí)除以30，比值不變，也是通過(guò)比的基本性質(zhì)。

小結(jié)：利用比的基本性質(zhì)可以快速判斷比值相等。

（2）遷移類比引出最簡(jiǎn)整數(shù)比。

師：剛剛得到了很多比值一樣的比，你覺(jué)得哪一個(gè)最簡(jiǎn)單？

生：2∶3。因?yàn)?∶3 都是整數(shù)，方便看，化簡(jiǎn)的話是整數(shù)中最小的一個(gè)。

生：主要因?yàn)槭且粚?duì)互質(zhì)數(shù)，不可以再約分化簡(jiǎn)。

生：就像最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)一樣。

小結(jié)：如果比的前項(xiàng)和后項(xiàng)互質(zhì)，它就叫做最簡(jiǎn)整數(shù)比。

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)梳理教材，使學(xué)生對(duì)性質(zhì)推理序列有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，有助于知識(shí)的結(jié)構(gòu)化。同時(shí)在應(yīng)用知識(shí)的過(guò)程中，通過(guò)和“最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)”的聯(lián)系，遷移內(nèi)化“最簡(jiǎn)整數(shù)比”的概念?！?/p>

【課后思考】

一、類比，打通關(guān)聯(lián)

類比，是由兩個(gè)對(duì)象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們?cè)谄渌再|(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，類比是一種很重要的推理方式。本課中，首先在引入部分通過(guò)學(xué)生對(duì)比的“點(diǎn)狀”回憶，形成了比的“知識(shí)塊”（包括比的組成、意義等），又通過(guò)與除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)它們?cè)跇?gòu)成、意義等方面都有其相似的地方，進(jìn)一步遷移類比出“比的基本性質(zhì)”。其次在“最簡(jiǎn)整數(shù)比”概念的構(gòu)建中，也存在著“最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)”的類比遷移。像這樣的類比，由已知推向未知，不僅促進(jìn)學(xué)生對(duì)新知的理解，同時(shí)形成了一張彼此關(guān)聯(lián)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

二、聯(lián)系，推及本質(zhì)

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，一般包括合情推理和演繹推理。兩種推理功能不同，相輔相成。合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論，兩者不可偏頗。在本課中，學(xué)生多會(huì)用舉例驗(yàn)證的方法（不完全歸納）發(fā)現(xiàn)結(jié)論，缺乏演繹推理的意識(shí)和能力。所以本課重點(diǎn)抓住尋找內(nèi)部聯(lián)系，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)演繹推理，豐富推理的路徑。主要落實(shí)在三處：一是聯(lián)系合情推理“例子舉不完”的缺陷，體會(huì)演繹推理的需求。二是聯(lián)系具體例子解釋說(shuō)理，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)與除法（分?jǐn)?shù)）之間的關(guān)聯(lián)說(shuō)理。三是聯(lián)系關(guān)系圖說(shuō)理，搭建相對(duì)直觀的關(guān)系圖，通過(guò)關(guān)系圖輔助學(xué)生說(shuō)理。在聯(lián)系的過(guò)程中，將知識(shí)間的內(nèi)部關(guān)系通過(guò)思維導(dǎo)圖的形式相互串聯(lián)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，以直觀的方式幫助學(xué)生內(nèi)化理解，從而化解演繹推理的難度。同時(shí)從特殊的“比”的例子到一般的“語(yǔ)義符號(hào)”，去偽存真，不僅使得推理更加科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，還培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維。