文 尹 力 郭修瑾

在學習數(shù)學或用數(shù)學解決問題的過程中，會面對千變?nèi)f化的對象，需要在這些變化中找到不變的性質(zhì)和規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì)就是變中不變的思想。變中不變思想是數(shù)學抽象派生出的數(shù)學思想，從變化中尋找不變是舍棄非本質(zhì)因素，聚焦本質(zhì)特征的過程。滲透變中不變思想有利于學生體會變化的生活現(xiàn)象和數(shù)學問題中蘊含不變的規(guī)律，啟發(fā)學生感知數(shù)學學科的特點，形成透過表象看本質(zhì)的意識，進而促進學生數(shù)學抽象能力的發(fā)展。因此，教師要在課堂教學中有意識地挖掘并滲透變中不變思想。

一、概念深化時滲透變中不變思想

學習概念時，首先借助典型例證幫助學生形成初步認識。接著，運用各種形式豐富的非典型例證將概念精致化，促使學生深化概念。可見，概念的例證多變，但概念的本質(zhì)不變，引導學生從不同例證中悟到它們所共有的本質(zhì)特征是學習概念時變中不變思想。這一過程中，多樣的例證會首先刺激學生的感官，吸引學生注意，甚至對新概念的建構(gòu)造成干擾，教師若能將不同的例證進行比較分析，提問學生“什么變了，什么沒變”“變與不變哪個更重要”等，將助力學生深入認識概念，感悟變中不變思想。

比如《認識一個物體的幾分之一》教學中，教師先結(jié)合主題圖認識二分之一，隨后讓學生用正方形紙折一折，涂出其中的二分之一。集體交流時，將不同的折法進行比較，提問學生“為什么折法不同，卻都能表示二分之一”，引導學生體會雖然折與涂的方法不同，但“平均分成兩份，涂其中一份”不變，因而都能表示二分之一。進一步，我們還可以讓學生用不同形狀的紙折一折、涂一涂表示二分之一。反饋時則聚焦“紙的形狀可以隨意變化”，但“平均分成兩份，表示其中一份”的特點不變。經(jīng)歷以上環(huán)節(jié)，學生能明顯體會到表示分數(shù)時什么是重要的、什么是不重要的、什么可以變化的、什么不能變的，從而“變中不變”的思想也能順勢點明。

再如《認識三角形的高》教學中，教師先引導學生認識豎直方向的高，在糾錯或畫高等練習中接觸任意方向的高，深化高的概念教學。顯然，這一過程中不論高的方向如何變化，“頂點到對邊的垂直線段”的本質(zhì)特征不變。隨后，將各種三角形羅列在一起，提問學生“觀察這些三角形的高，什么變了，什么不變”，引導學生舍棄形式、發(fā)現(xiàn)本質(zhì)、體會思想。當然，學生還可能注意并提及其他變化的方面，但高的本質(zhì)內(nèi)涵總是不變的，這樣的“節(jié)外生枝”將有利于學生感悟變中不變思想。

二、公式推導時滲透變中不變思想

公式推導是從已有經(jīng)驗演繹出新結(jié)論的過程。學生的已有經(jīng)驗往往是具體的、個別的，公式推導正是需要從這些具體經(jīng)驗開始，經(jīng)過相同的演繹過程，獲得普遍性的認識。不難發(fā)現(xiàn)，這一過程中學生的經(jīng)驗多變，而推導的過程與結(jié)論不變，變中不變思想便蘊含其中。教學時要將個體經(jīng)驗激發(fā)出來，充分體現(xiàn)變化的因素，再聚焦推導過程，關(guān)注不變的特點，最后引導學生回顧反思公式推導的過程就能從中提煉出變中不變的思想。

以平行四邊形面積公式的推導為例，教師先結(jié)合一個平行四邊形講解公式推導的過程，隨后要求學生自己設(shè)計一個平行四邊形，試著像剛才那樣推導出它的面積公式。學生自主設(shè)計平行四邊形的環(huán)節(jié)十分關(guān)鍵，能讓學生充分展示個體經(jīng)驗，使得集體交流時有豐富的素材。反饋時，先要求學生根據(jù)自己的平行四邊形試著寫一寫、說一說推導過程，確保學生對公式的推導過程形成意義建構(gòu)。然后選擇并呈現(xiàn)幾則案例提問：推導公式時什么變化？什么沒變？引導學生發(fā)現(xiàn)，全班學生會設(shè)計出不同的平行四邊形，它們的形狀是變化的，但我們可以將任意平行四邊形剪一剪、拼一拼得到面積相等的長方形，再發(fā)現(xiàn)平行四邊形的高與長方形的寬、平行四邊形的底與長方形的長的相等關(guān)系，由長方形的面積公式推出平行四邊形的面積公式。也就是說，平行四邊形的形狀變化，但推導過程與結(jié)論不變，順勢提煉變中不變思想。

實際上，數(shù)學法則、定理的提煉過程與公式推導類似，也能滲透變中不變思想。因為提煉法則與定理時，我們總是從具體案例開始，對一個案例進行詳細研究，再轉(zhuǎn)向其他案例進行驗證與提煉。這一過程中法則、定理不斷由特殊向一般發(fā)展，不斷由多變的形式向不變的本質(zhì)聚合。提煉出一般的法則與定理后再引導學生回顧整個過程，變與不變的關(guān)系會突顯出來，變中不變的思想便躍然紙上。

三、問題變式時滲透變中不變思想

問題變式是指將習得的新問題變換形式，但本質(zhì)特征不變，驅(qū)動學生從不同角度、立足不同情境解決問題，深化學生理解，提高靈活運用的水平。問題變式有三種層次，分別是數(shù)據(jù)變式、情境變式與結(jié)構(gòu)變式。數(shù)據(jù)變式是問題變式的最低層次，因問題情境未發(fā)生變化，學生能輕易關(guān)聯(lián)解決問題的方法，但這種運用只停留于模仿水平。情境變式真正考驗學生對問題的理解水平，因為缺乏相似情境的刺激，學生只有深刻理解問題，掌握解決問題方法的本質(zhì)，才能順利解決問題。前兩者變化的是數(shù)據(jù)、情境等非本質(zhì)因素，解決問題的方法未變。結(jié)構(gòu)變式則是問題的基本結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，相應(yīng)解決問題的方法也變了，但仍然蘊含不變的東西，即解決問題的思想。這是變式的最高層次，最具有啟發(fā)的力量，能將看似完全不相干的問題聯(lián)系起來。教學最后引導學生感受這類問題中無論數(shù)據(jù)、情境、方法如何變化，總能發(fā)現(xiàn)不變的東西，滲透變中不變思想。

如蘇教版四年級上冊的一則實際問題：小明買了3 本筆記本用了18 元，5 本筆記本需要多少元？數(shù)據(jù)變式：小明買了7 本筆記本用了42 元，15 本筆記本需要多少元？情境變式：15 本字典摞在一起是168 毫米，27 本字典摞在一起有多高？先要求學生解決問題，明確解決問題的思路，再提問學生“三道問題相比，什么變了，什么不變”，體會情境與數(shù)據(jù)在變，但都是先求“一倍量”，即解決問題的方法未變，初步感悟變中不變思想。隨后呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)變式：原來一本字典15 元，降價后原來買20 本的錢現(xiàn)在能買30 本，現(xiàn)在一本字典多少元？解決結(jié)構(gòu)變式問題后繼續(xù)提問“與前三道問題相比，它們有什么相同點”。顯然，該問題的結(jié)構(gòu)也發(fā)生了變化，學生不能再沿用先前的思路解決，難以發(fā)現(xiàn)彼此間的聯(lián)系，不妨繼續(xù)啟發(fā)：找找看，這幾道問題都是先求什么？為什么先求這些量？經(jīng)過分析，學生發(fā)現(xiàn)，前三道問題都是先求“一倍量”，第四題先求“總量”。在各自問題中，“一倍量”與“總量”都是確定的、不變的量。進而，我們可以啟發(fā)學生體會，盡管第四道問題的結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，但解決問題的思路與之前相同，即先求出確定的量，再根據(jù)確定的量求出其他量。在結(jié)構(gòu)變式中學生能挖掘出看似毫不相關(guān)的問題之間的聯(lián)系，引發(fā)學生強烈的情感共鳴，學生對變中不變思想的體會也更加深刻。

四、整理回顧時滲透變中不變思想

數(shù)學知識是普遍聯(lián)系的，整理回顧時應(yīng)該把每堂課教學的知識置于整體知識體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體結(jié)構(gòu)的聯(lián)系，關(guān)聯(lián)已有知識，進行比較與區(qū)分、建構(gòu)與深化，將點狀經(jīng)驗連成線、織成網(wǎng)、結(jié)成塊，使學生感受數(shù)學的整體性。這一過程中，能夠彼此關(guān)聯(lián)的數(shù)學知識必然具有共性特征，不同內(nèi)容蘊含同一本質(zhì)，體現(xiàn)著變與不變兩個方面，為變中不變思想的滲透創(chuàng)設(shè)了契機。教學時，教師要有全局觀點，挖掘出學生的相關(guān)經(jīng)驗，能準確地洞悉本質(zhì)，建構(gòu)相關(guān)經(jīng)驗的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。在此基礎(chǔ)上，引導學生體會什么變化，什么不變，提煉變中不變思想。

如《異分母分數(shù)加、減法》是小學階段加減法運算的最后一課，學完后及時引導學生整理復習，與以往學習的整數(shù)、小數(shù)、同分母分數(shù)和量的計量進行比較，就能從不同內(nèi)容中挖掘共同的運算本質(zhì)并滲透變中不變思想?！懂惙帜阜謹?shù)加、減法》教畢，筆者結(jié)合具體案例引導學生回顧和反思：整數(shù)加、減法（32＋54），小數(shù)加、減法（3.2＋5.4），同分母分數(shù)加、減法（，異分母分數(shù)加、減法以及量的加、減法（5 米＋6 分米），它們有什么不同點？有什么相同點？使學生逐步發(fā)現(xiàn)：計算32+54 就是3 個十加5 個十等于8 個十，2 個一加4 個一等于6 個一，所以和是86；計算3.2+5.4 是3 個一加5 個一等于8 個一，2 個0.1 加4 個0.1 等于6 個0.1，所以和是8.6；計算就是2 個加3 個等于5 個，所以和是；計算異分母分數(shù)加、減法，如時，要先通分成，再用3 個加2個等于5 個，和就是；計算5 米+6 分米時，也要先把計量單位統(tǒng)一，然后再相加，要么把5 米+6 分米轉(zhuǎn)化為50 分米+6 分米=56 分米，要么把5米+6 分米轉(zhuǎn)化為5 米+0.6 米=5.6 米等。體會到雖然運算的對象不同，但算理相同，也就是計數(shù)（計量）單位相同時，可以把計數(shù)（計量）單位的個數(shù)直接相加、減，如果不同，就要設(shè)法先把計數(shù)（計量）單位轉(zhuǎn)化成相同的，然后再加、減。至此，學生不難回答先前的問題：整數(shù)、小數(shù)、同分母分數(shù)、異分母分數(shù)和量的加減法什么不同，什么相同，從而教師能進一步引導學生體會其中蘊含的變中不變思想。

不管是“概念深化”“公式推導”“問題變式”還是“整理回顧”，都能體現(xiàn)“一”與“多”的關(guān)系，“一”是內(nèi)在的、本質(zhì)的、不變的，“多”是外在的、形式的、多變的。教學時要列舉形式、挖掘本質(zhì)，由多樣的形式突顯唯一的本質(zhì)，加強對比、深化體驗，變中不變的思想才會深入學生心里。課堂教學中廣泛滲透變中不變思想的契機，緊扣以上核心思想，我們就能在課堂中自主挖掘、適時滲透，促進學生數(shù)學抽象能力的發(fā)展。