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        基本不等式在解題中的應用

        2021-12-26 08:34:52廖永福
        數(shù)理化解題研究 2021年34期
        關鍵詞:關鍵解題

        廖永福

        (福建省廈門第二中學 361009)

        基本不等式結構簡單,形式優(yōu)美,它是高中數(shù)學的重要內容,也是高考數(shù)學的重要考點.應用時要依次滿足條件:一正、二定、三相等,三者缺一不可.基本不等式是解決最值問題的有力工具,在解題中有著廣泛的應用.

        一、求最值

        例1 (2020·江蘇)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),則x2+y2的最小值是____.

        點評本題考查應用基本不等式求最值,考查轉化思想和運算能力.解法一思路樸實,過程直接.解題關鍵是消元.把目標代數(shù)式表示成關于y的函數(shù),直接應用基本不等式求解;解法二構思巧妙,方法靈活,解題關鍵是由條件等式構造出兩個正數(shù)5x2+y2與4y2之積為定值,進而可用基本不等式的變式求解,屬于中檔題.

        二、證明不等式

        應用基本不等式證明不等式,常常與分析法、綜合法、作差(商)法等結合使用,解題關鍵依然是構造兩個正數(shù)之和(積)為定值,使之符合基本不等式的三個條件.

        例2 (2020·全國卷Ⅲ(理))設a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.

        (1)證明:ab+bc+ca<0;

        解答(1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,

        ∵abc=1,∴a,b,c均不為0,則a2+b2+c2>0,

        (2)不妨設max{a,b,c}=a,由a+b+c=0,abc=1可知,a>0,b<0,c<0.

        點評本題主要考查不等式的性質以及基本不等式的應用,屬于中檔題.

        三、恒成立問題

        對于含參數(shù)的不等式恒成立問題,常常將它轉化為函數(shù)的最值問題求解.常用的結論有:(1)任意x∈D,f(x)>m恒成立?f(x)min>m;(2)對任意x∈D,f(x)

        點評本題考查絕對值不等式,考查不等式恒成立問題的解法,考查二次函數(shù)最值的求法,考查利用基本不等式求函數(shù)的最值.解題關鍵是如何把不等式恒成立問題轉化為函數(shù)的最值問題,屬中檔題.

        四、實際問題

        應用基本不等式解決實際問題時,一般把要求最值的變量定義為因變量,根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后,利用基本不等式求出函數(shù)的最值,注意檢驗解是否在定義域內.

        例4 (2017·江蘇)某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運費為6萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x的值是____.

        點評本題考查基本不等式的實際應用,考查推理與運算能力,屬中檔題.

        五、與其它知識點交匯的問題

        與其它知識點交匯的問題是高考的熱點,解決這類問題一般從這些知識點出發(fā),建立變量之間的等量關系,再選用適當?shù)姆椒ㄇ蠼?

        例5 (2018·江蘇)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為____.

        分析根據(jù)面積關系建立a,c的方程,再用基本不等式求解.

        點評本題考查三角形的面積公式,考查基本不等式的應用,利用常數(shù)代換法是解決本題的關鍵,屬中檔題.

        A.4 B.8 C.16 D.32

        分析根據(jù)雙曲線的漸近線方程求出點D,E的坐標,根據(jù)△ODE的面積為8,可得ab的值,再結合基本不等式,即可求得答案.

        點評本題主要考查雙曲線的性質和漸近線方程,考查基本不等式的應用,解題關鍵是應用a2+b2≥2ab建立雙曲線的焦距與△ODE的面積之間的關系,屬于中檔題.

        從上述例子可以看出,應用基本不等式解題要注意以下兩點:一是注意基本不等式成立的條件;二是合理構造基本不等式中的和或積.

        練習

        1.(2020·海南)已知a>0,b>0,且a+b=1,則( ).

        (1)如果不限定車型,l=6.05,則最大車流量為____輛/小時;

        (2)如果限定車型,l=5,則最大車流量比(1)中的最大車流量增加____輛/小時.

        5.(2020·全國卷Ⅱ(理))△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

        (1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周長的最大值.

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