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        例談解析幾何中的非對稱問題

        2021-12-26 08:34:36李文東
        數(shù)理化解題研究 2021年34期
        關(guān)鍵詞:利用

        李文東

        (廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué) 528454)

        解析幾何問題主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想、推理論證能力、運算求解能力,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng),其中尤其對于運算求解能力要求較高,因此怎樣計算以及怎樣優(yōu)化解析幾何的運算是一個很重要的問題,下面我們談?wù)劷馕鰩缀沃蟹菍ΨQ問題的處理策略.

        (1)求橢圓C的方程;

        (2)過點M(0,1)的直線l與橢圓C交于不同兩點P,Q(異于頂點),記橢圓與y軸的兩個交點分別為A1,A2,若直線A1P與A2Q交于點S,證明:點S恒在直線y=4上.

        結(jié)合目標(biāo),消去x得:(y2+2)x1(y-2)=(y1-2)x2(y+2),此表達(dá)式中左右結(jié)構(gòu)不對稱,想要直接運用韋達(dá)定理比較困難.對此問題,我們有以下求解策略:

        一、利用韋達(dá)定理進(jìn)行齊次化

        進(jìn)一步將(y2+2)x1(y-2)=(y1-2)x2(y+2)整理得:(3x1+x2)y=4kx1x2+6x1-2x2,結(jié)合韋達(dá)定理知2kx1x2=3(x1+x2),代入前式可得:(3x1+x2)y=4kx1x2+6x1-2x2=6(x1+x2)+6x1-2x2=4(3x1+x2),依題意:3x1+x2≠0,否則此時A1P∥A2Q,故得y=4,即點S恒在直線y=4上.

        評注本題的目標(biāo)很明確,就是要證明交點S的縱坐標(biāo)為定值,因此首先聯(lián)立直線A1P和A2Q的方程,消去x,得到(3x1+x2)y=4kx1x2+6x1-2x2,但是此式中的x1,x2不對稱,無法直接運用韋達(dá)定理.這里的想法是利用韋達(dá)定理得到2kx1x2=3(x1+x2),其本質(zhì)是將二次表達(dá)式x1x2化為一次表達(dá)式x1+x2,從而實現(xiàn)齊次化的目的.

        二、利用韋達(dá)定理進(jìn)行消元

        三、利用橢圓方程實現(xiàn)對稱化

        下面我們給出這類問題的幾個變式題.

        (1)求橢圓的方程;

        (2)當(dāng)|AP|=2|PB|,如圖1,求直線l的方程.

        圖1

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