張 慶

(江蘇省徐州市侯集高級中學(xué) 221300)

按導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)能否求精確解可以分為兩類：一類是數(shù)值上能精確求解的，稱之為“顯零點(diǎn)”；另一類是能夠判斷其存在但無法直接表示的，稱之為“隱零點(diǎn)”.對于隱零點(diǎn)問題，由于涉及靈活的代數(shù)變形、整體代換、構(gòu)造函數(shù)、不等式應(yīng)用等技巧，對學(xué)生綜合能力的要求較高，成為考查的難點(diǎn).

一、分離函數(shù)法

例1 已知函數(shù)f(x)=ax+xlnx(a∈R).

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[e，+∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)當(dāng)a=1且k∈Z時(shí)，不等式k(x-1)

解析(1)∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[e，+∞)上為增函數(shù)，

∴f′(x)=a+lnx+1≥0在區(qū)間[e，+∞)上恒成立，

∴a≥(-lnx-1)max=-2.

∴a≥-2.

∴a的取值范圍是[-2，+∞).

(2)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x+xlnx，k∈Z時(shí)，不等式k(x-1)

令h(x)=x-lnx-2(x>1).

∴h(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，

∵h(yuǎn)(3)=1-ln3<0，h(4)=2-2ln2>0，

存在x0∈(3，4)，使h(x0)=0，

即當(dāng)1

當(dāng)x>x0時(shí)，h(x)>0，即g′(x)>0，

g(x)在(1，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，+∞)上單調(diào)遞增.

令h(x0)=x0-lnx0-2=0，即lnx0=x0-2，

k

∴kmax=3.

點(diǎn)評變量分離是數(shù)學(xué)中最常見的一類求解方法，本例中除了采用分離變量的方法外，還需要通過函數(shù)構(gòu)造進(jìn)行求解，這類求解方法的好處在于不需要對問題進(jìn)行分類討論，從而使得對問題的求解更加的簡便.

二、整體代換法

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

當(dāng)a>0時(shí)，方程g(x)=a有一個(gè)根，即f′(x)存在唯一零點(diǎn)；

當(dāng)a≤0時(shí)，方程g(x)=a沒有根，即f′(x)沒有零點(diǎn).

(2)證明由(1)可設(shè)f′(x)在(0，+∞)上的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(x0，+∞)時(shí)，f′(x)>0.

故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，+∞)上單調(diào)遞增，所以[f(x)]min=f(x0).

三、設(shè)而不求法

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

①若f′(x)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a=2，x=1時(shí)f′(x)=0，所以f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減.

(2)證明由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a>2.

由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2-ax+1=0，

所以不妨設(shè)x11.由于

又g(1)=0，從而當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)，g(x)<0.

點(diǎn)評利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題常與函數(shù)單調(diào)性的判斷有關(guān)，而函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)有著緊密的聯(lián)系，設(shè)而不求的方法一般在圓錐曲線中經(jīng)常遇到，其實(shí)在函數(shù)問題中，若遇到函數(shù)極值，零點(diǎn)問題時(shí)該方法也是處理該問題的一種常見處理方式.