趙 林

(江蘇省句容中等專業(yè)學(xué)校 212400)

動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是解析幾何的重要知識(shí)點(diǎn)，也是高考數(shù)學(xué)中的常見題型，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程需要運(yùn)用代數(shù)、幾何、三角等有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，本人結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，將動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般解法歸納如下.

一、直接法

根據(jù)題目中的已知條件直接找到動(dòng)點(diǎn)所滿足的等量關(guān)系，從而寫出含有變量x,y的等式，這種求軌跡方程的方法叫做直接法.

例1已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線x=4的距離是它到點(diǎn)Q(1,0)的距離的2倍，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

變式1已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A(-2,0),B(2,0)連線的斜率的積為4.求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

圖1

變式2在△ABC中，已知點(diǎn)B(-3,0)和C(3,0)，動(dòng)點(diǎn)A滿足∠ACB=2∠ABC，求動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程.

點(diǎn)評(píng)這一類題目比較簡(jiǎn)單，可以直接根據(jù)題目中的等量關(guān)系寫出含有x,y的等式，然后兩邊再進(jìn)行化簡(jiǎn)，就能得到所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

二、定義法

若動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合我們所學(xué)過某種已知曲線的定義，則可以利用曲線的定義寫出其方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法.

例2已知圓P經(jīng)過點(diǎn)N(2,0)，且與圓M：(x+2)2+y2=36相內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程.

圖2

變式1若點(diǎn)M到點(diǎn)F(2,0)的距離比它到直線x=-3的距離小1，求點(diǎn)M的軌跡方程.

點(diǎn)評(píng)有些軌跡方程用直接法來做計(jì)算比較繁瑣，可根據(jù)條件推導(dǎo)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是所學(xué)過的已知曲線，這樣就可以把軌跡問題轉(zhuǎn)化為求曲線方程的問題.

三、幾何法

根據(jù)平面幾何的有關(guān)定理和性質(zhì)推出動(dòng)點(diǎn)所滿足的等量關(guān)系，然后寫出其軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做幾何法.

例3已知圓C：x2+y2+4x-12y+24=0，過點(diǎn)P(0,5)的直線與圓C交于M、N兩點(diǎn)，求弦MN中點(diǎn)D的軌跡方程.

圖3

圖4

變式2已知圓O：x2+y2=16與x軸的正半軸交于P點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O的切線l，在l上任取一點(diǎn)A，AB切圓O于點(diǎn)B，求ΔPAB的垂心的軌跡方程.

解設(shè)OA交PB于點(diǎn)Q，作BC⊥PA于點(diǎn)C，交OA于點(diǎn)G，則點(diǎn)G為△PAB的垂心.由切線長(zhǎng)定理得：AB=AP，且OA垂直平分PB，由此得到GB=GP，∵OP∥BC，∴∠OPB=∠GBP=∠GPB，可以證明：Rt△OPQ≌Rt△GPQ，∴GP=OP=4，∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4,0)，所以△PAB的垂心的軌跡方程是(x-4)2+y2=16(與x軸交點(diǎn)除外).

點(diǎn)評(píng)用幾何法來求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程需要畫圖來進(jìn)行觀察和思考，經(jīng)過推理和證明找到題目中動(dòng)點(diǎn)所隱藏的等量關(guān)系，這樣就可以避免一些復(fù)雜的計(jì)算.

四、代入法

若動(dòng)點(diǎn)P與已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)Q存在著某種關(guān)系，則可以把點(diǎn)Q的坐標(biāo)用點(diǎn)P的坐標(biāo)來表示，然后代入曲線的方程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法.

例4已知點(diǎn)A在圓x2+y2=9上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(6,0)，點(diǎn)P分AB之比為2∶1，求點(diǎn)P的軌跡方程.

圖5

變式2過雙曲線x2-y2=4上一點(diǎn)A作直線l：x+y=4的垂線，垂足為點(diǎn)B，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

點(diǎn)評(píng)若動(dòng)點(diǎn)P所滿足的條件難以表達(dá)或求出，但卻隨著已知曲線上另一動(dòng)點(diǎn)Q作有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，這時(shí)可以利用點(diǎn)P和點(diǎn)Q坐標(biāo)之間的關(guān)系，求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

五、參數(shù)法

有些題目可以借助參數(shù)，找到動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y之間的等量關(guān)系，再?gòu)牡玫降牡仁街邢?shù)，就能得到軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法.

變式1已知圓C：x2+y2+2(m-1)x-4my+5m2-m-3=0，求圓心C的軌跡方程

圖5

點(diǎn)評(píng)有些動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y之間的關(guān)系不太容易發(fā)現(xiàn)，也很難判斷動(dòng)點(diǎn)符合某種已知曲線的定義，這時(shí)就可以引入?yún)?shù)，建立x,y之間的等式，從而使問題得到解決.