武 婷

(四川師范大學(xué)附屬中學(xué) 610066)

數(shù)學(xué)與哲學(xué)是兩門獨(dú)立的學(xué)科,同時又是兩門聯(lián)系緊密的學(xué)科.正如數(shù)學(xué)家Demollins所指出的那樣：“沒有數(shù)學(xué)，我們無法看透哲學(xué)的深度；沒有哲學(xué)，人們也無法看透數(shù)學(xué)的深度；若沒有二者，人們就什么也看不透.”恩格斯也指出：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù).有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，……”.在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》修訂的基本原則中也要求：“堅(jiān)持正確的政治方向……充分體現(xiàn)馬克思主義的指導(dǎo)地位和基本立場……”.課程標(biāo)準(zhǔn)全書的表述中也滲透了辯證法的很多觀點(diǎn)，比如：具體與抽象、一般與特殊、現(xiàn)象與本質(zhì)以及普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)等等，所以在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師要結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)潛移默化的給學(xué)生滲透辯證法的基本思想，堅(jiān)持用“辯證觀點(diǎn)分析和解決數(shù)學(xué)問題”，逐步培養(yǎng)高中學(xué)生運(yùn)用辯證思維解決數(shù)學(xué)問題的能力.

一、對立統(tǒng)一規(guī)律

對立統(tǒng)一規(guī)律是唯物辯證法的三大規(guī)律之一.根據(jù)對立統(tǒng)一規(guī)律，矛盾雙方既相互依賴，又相互排斥,并在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.在笛卡爾之前的數(shù)學(xué)，“數(shù)”與“形”就是一對矛盾.數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺少形時少直觀，形缺少數(shù)時難入微”.數(shù)形結(jié)合的解題方法就是對立統(tǒng)一的辯證思維在解題中的具體體現(xiàn).

以形助數(shù)，可以充分利用形的直觀性來揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)屬性；以數(shù)輔形，有助于尋找運(yùn)動規(guī)律.數(shù)形結(jié)合，促成矛盾雙方順利轉(zhuǎn)化，創(chuàng)造條件使對立雙方達(dá)到統(tǒng)一，從而培養(yǎng)學(xué)生對立統(tǒng)一觀點(diǎn).

二、量變質(zhì)變規(guī)律

唯物辯證法認(rèn)為：量變是質(zhì)變的必要準(zhǔn)備，沒有一定的量變,就不會發(fā)生質(zhì)變.質(zhì)變是量變的必然結(jié)果，單純的量變不會永遠(yuǎn)持續(xù)下去,量變達(dá)到一定的程度必然引起質(zhì)變.

例2 已知動點(diǎn)P與兩個定點(diǎn)A(0,0),B(3,0)的距離比為k，求動點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形.

當(dāng)k=0,P點(diǎn)軌跡退縮為點(diǎn)A；

本題的數(shù)學(xué)背景就是著名的阿波羅尼斯圓：設(shè)A,B是平面內(nèi)兩個定點(diǎn)，平面內(nèi)的動點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)B的距離比為定值λ(λ>0且λ≠1)，則點(diǎn)C的軌跡為圓.在對k的分析中，我們充分體現(xiàn)了辨證法中由量變到質(zhì)變的過程.

三、否定之否定規(guī)律

否定之否定規(guī)律表明事物自身發(fā)展的整個過程是由肯定、否定和否定之否定諸環(huán)節(jié)構(gòu)成的，揭示了事物發(fā)展的全過程和總趨勢.事物都有肯定方面和否定方面，當(dāng)肯定方面居于主導(dǎo)地位時，事物保持現(xiàn)有的性質(zhì)、特征和傾向，當(dāng)事物內(nèi)部的否定方面戰(zhàn)勝肯定方面時，舊事物就需要轉(zhuǎn)化為新事物.

高中數(shù)學(xué)的解題思想中有一種叫“補(bǔ)集思想”，也就是“正難則反”，充分反映了否定之否定的辯證思想.有些問題如果從正面入手，情況復(fù)雜，毫無頭緒，若從問題的反面去想，有可能“峰回路轉(zhuǎn)，柳暗花明”，所以掌握正與反的辯證思想它可以幫助學(xué)生從不同的側(cè)面去思考問題，進(jìn)而解決問題.

例3已知直線l過定點(diǎn)P(3,0)且斜率為k，試求k的取值范圍使得曲線C：y=x2的所有弦都不能被直線l垂直平分.

分析要使得曲線C的所有弦都不能被直線l垂直平分，正面考慮就得分三種情況：

l與C沒有交點(diǎn)；

l與C雖然有交點(diǎn)但曲線C的所有弦都與l不垂直；

l與C的弦垂直但中點(diǎn)不在l上.

顯然要找出滿足條件的斜率正面入手相當(dāng)困難，那我們不妨從反面考慮，問題轉(zhuǎn)化為曲線C中至少有一條弦能被直線l垂直平分的斜率范圍，然后再取補(bǔ)集得解.解答如下：

四、普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)

事物的聯(lián)系具有普遍性，任何事物或現(xiàn)象之間以及事物的內(nèi)部要素之間都是相互影響，相互依賴，相互作用的.唯物辯證法要求我們用普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題.

五、矛盾分析的方法

1.運(yùn)動與靜止

在辯證唯物主義的自然觀中，運(yùn)動是絕對的，靜止是相對的.“運(yùn)動”是一個具有普遍意義的范疇.恩格斯是這樣描述的：“運(yùn)動”，就一般的意義來說，就它被理解為存在的方式，被理解為物質(zhì)固有的屬性來說，它包括宇宙中發(fā)生的一切變化和過程，從單純的位置移動起直到思維活動.動中有靜、靜中有動.“動”與“靜”在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.

在解析幾何的教學(xué)中理應(yīng)積極滲透運(yùn)動變化的思想，有目的、有計(jì)劃地展現(xiàn)數(shù)學(xué)對象運(yùn)動的基本過程，揭示數(shù)學(xué)對象運(yùn)動變化的本質(zhì)和規(guī)律，以利于培養(yǎng)學(xué)生唯物主義世界觀、掌握科學(xué)的辯證思維方法，提高分析問題和解決問題的能力.

例4教材上的一道例題：已知圓O:x2+y2=r2，求經(jīng)過圓O上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程.

賞析這條切線是確定的、靜止的，如何化靜為動呢？我們會以點(diǎn)P(x0,y0)為圓心作一個半徑為ε的充分小的圓，使它與圓O相交于A,B兩點(diǎn)，則圓P的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=ε2，兩圓方程作差即可求出相交弦AB:2x0x+2y0y=2r2-ε2，現(xiàn)在令ε不斷變小趨近于0時，直線AB就與過點(diǎn)P的切線重合，可得方程：x0x+y0y=r2.

本題運(yùn)用割線逼近思想求切線，化靜為動，把某些靜態(tài)問題轉(zhuǎn)化為動態(tài)研究，達(dá)到化靜為動，動中求靜的目的.

2.共性與個性

3.整體與局部

整體與局部既相互區(qū)別又相互聯(lián)系.整體居于主導(dǎo)地位，統(tǒng)率著局部，二者不可分割又相互影響.解決高中數(shù)學(xué)問題時我們既要立足整體，統(tǒng)籌全局，又要把握好局部，通過對用局部的研究去推動對的整體的研究.此所謂“滴水反映出太陽的光輝！”

顯然上述第二個方法通過對漸近線方程的整體把握，大大降低了運(yùn)算量，教師在教學(xué)當(dāng)中應(yīng)向?qū)W生滲透整體與局部的辯證思想，讓學(xué)生樹立整體觀念、全局思想，從整體出發(fā)，在整體上選擇最佳方案，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)目標(biāo)但同時也要搞好局部，使整體功能得到最大發(fā)揮.

4.現(xiàn)象與本質(zhì)

本質(zhì)與現(xiàn)象是揭示事物內(nèi)部聯(lián)系和外部表現(xiàn)相互關(guān)系的一對辯證法的基本范疇.本質(zhì)是事物的內(nèi)部聯(lián)系，是決定事物性質(zhì)和發(fā)展趨向的東西；現(xiàn)象是事物的外部聯(lián)系，是本質(zhì)在各方面的外部表現(xiàn).本質(zhì)與現(xiàn)象是對立統(tǒng)一的關(guān)系.在高中數(shù)學(xué)解題中我們一定要善于透過現(xiàn)象看清本質(zhì).

例6已知圓M:x2+(y-3)2=1，直線l:x-2y=0，點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P作圓M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B.求證：經(jīng)過A,P,M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn).

圖4

我們發(fā)現(xiàn)通過對圓上定點(diǎn)的分析，我們挖掘了圓與直線的位置關(guān)系以及圓中直徑所對的圓周角為直角的本質(zhì)快速的找到了定點(diǎn)，透過現(xiàn)象看動圓過定點(diǎn)問題的本質(zhì)，理解就更深入了.

唯物辯證法是辯證思想發(fā)展的高級形態(tài)，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中，教師如果能夠充分挖掘其中的辯證思維素材，有效的指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辯證思維，必將大大促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，提升學(xué)生看待問題的觀點(diǎn)和分析問題、處理問題的能力，也必將提高他們的思維品質(zhì)和科學(xué)素養(yǎng)！