戴德文

(安徽省含山中學 238100)

解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何，但是用代數(shù)方法處理解析幾何題有時運算量比較大.高中學生在學習過程中數(shù)學運算能力普遍不太好，學生不想算，特別是含有字母和式子比較多，只要在運算過程中出現(xiàn)符號或者字母的次數(shù)以及式子等價變形等一點差錯就導致整個題目出錯.教師在教學過程中要引導學生盡可能多思會算，在處理過程中有時要引導學生善于畫圖，觀察圖像從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，以圖助思，有時也要根據(jù)題意在求解過程中及時調(diào)整運算方向、追根溯源、優(yōu)化運算，不斷提高自己的綜合思維和運算求解能力.

一、整體把握，突破難點

(1)求橢圓C的方程；

(2)設Q為ΔPF1F2的內(nèi)心，①當x0=-3時，求點Q的坐標；②求證：點Q在定橢圓上.

直線PF1：y0x-(x0+3)y+3y0=0，直線PF2：y0x-(x0-3)y-3y0=0，則點Q到ΔPF1F2三邊距離相等，即

由于點Q在直線PF1：y0x-(x0+3)y+3y0=0的右上方，又在直線PF2：y0x-(x0-3)y-3y0=0的左下方，根據(jù)我們所學的線性規(guī)劃知識，能夠判斷出一個為正，一個為負，結合圖形(圖1)我們可以知道上面的為正，下面的為負.所以

圖1

二、利用性質(zhì)，減少運算

對于例題1根據(jù)圖2我們利用切線長相等得到

圖2

|PF1|-|PF2|=(|PR|+|RF1|)-(|PS|+|SF2|)=|F1T|-|F2T|=(x+3)-(3-x).

圖3

本題減少運算還可以這樣處理(參見圖2)設|PR|=|PS|=m，|F1R|=|F1T|=x+3，|F2T|=|F2S|=3-x,因為|PF1|+|PF2|=2m+x+3+3-x=10，所以m=2.

三、目標明確，不怕運算

圖4

證明：線段OQ,OR,BC能構成一個直角三角形.

從而線段OQ，OR，BC能構成一個直角三角形.

證明過程目標明確，思路清楚，不畏困難，這種通性通法就是要求學生直面困難，逢山開路遇水搭橋，一步一步往下算直到成功，不回避繁瑣的運算，有利于學生邏輯推理和運算能力的提高.

四、深度思考，盡量少算

對于例題2我們也可以換一個角度去思考，這對學生的要求較高，學生必須掌握好書中的閱讀材料，同時對放射變換的相關知識也應該有所理解.

證明2：構造一個以原點為圓心，半徑為a的圓，如圖5滿足OQ∥AP，M是線段AP的中點，射線OM與圓O交于點R.設OQ與x軸所成的角為θ，則∠AOR=90°-θ.

圖5

經(jīng)過放射變換后得出：

∴(OQ′)2+(OR′)2=a2cos2θ+b2sin2θ+(-asinθ)2+b2cos2θ=a2+b2=(B′C′)2.

所以線段OQ,OR,BC能構成一個直角三角形.

證明2：主要是利用放射變換的性質(zhì)，通過放射變換橢圓順利變成了一個圓，放射變換過程中直線的平行關系保持不變，通過設θ角進行運算求解，利用圓中的幾何性質(zhì)垂直平分弦，從而得出結論.

五、思維嚴謹，防止漏算

例3已知A(-1,0),B(5,0),圓M：(x-4)2+(y-m)2=4上存在唯一的點P使得直線PA,PB在y軸上的截距的乘積為5.求m的值.

圖6

六、先算數(shù)值，再推一般

例4 已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線l:y=2x+a與拋物線C交于A,B兩點.

(1)若a=-1，求△FAB的面積；

(2)已知圓M：(x-3)2+y2=4，過點P(4,4)作圓M的兩條切線，與曲線C交于另外兩點D,E,求證:直線DE也圓M相切.

圖7

解得：x1=4(m-1)2.

不妨設D(4(m1-1)2，4(m1-1))，E(4(m2-1)2，4(m2-1)),

總之解析幾何要想學生在考試過程中得到較好的成績，在平時教學過程中應該引導學生多思會算，不畏困難，以圖助思，善于總結，在教學的實踐中不斷提高學生的思維品質(zhì)，最終提升學生的數(shù)學學科素養(yǎng).