郝志峰 王 丹* 陳兆英

（濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 山東·濟(jì)南 250022）

0 引言

“轉(zhuǎn)化”思想也稱為化歸思想，它在《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中具有重要作用，貫穿教與學(xué)的始終。因此，在教學(xué)設(shè)計中，教師有必要強化“轉(zhuǎn)化”思想的運用，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想的傳播，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效果。

1 《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)設(shè)計中的“轉(zhuǎn)化”思想

《高等數(shù)學(xué)》相較于初等數(shù)學(xué)發(fā)生了質(zhì)的變化，由以函數(shù)和幾何為基礎(chǔ)的常量運算問題轉(zhuǎn)換到了以極限為基礎(chǔ)以微積分為核心內(nèi)容的變量分析中來。因此，教師在講授相關(guān)知識時，有必要從思想、方法認(rèn)識角度揭示《高等數(shù)學(xué)》學(xué)習(xí)的技巧，從而突破對重、難點的認(rèn)識。本文將探析《高等數(shù)學(xué)》“轉(zhuǎn)化”思想的引導(dǎo)性設(shè)計。

1.1 “特殊”與“一般”的轉(zhuǎn)化

兩個重要極限和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在《高等數(shù)學(xué)》學(xué)習(xí)中具有重要地位。教師在教學(xué)過程中必然會強調(diào)兩個重要極限和導(dǎo)數(shù)公式對后續(xù)微積分學(xué)習(xí)的作用。但更為重要的是應(yīng)指出二者之間的聯(lián)系：“特殊”的重要極限是推導(dǎo)求導(dǎo)公式“一般”結(jié)論的工具。學(xué)生往往會對洛必達(dá)法則和重要極限公式之間的關(guān)系存在誤區(qū)：認(rèn)為洛必達(dá)法則可以得到重要極限公式。但是，如果沒有導(dǎo)數(shù)公式，洛必達(dá)法則就無法使用。因此，該例子表明，“特殊”與“一般”相輔相成，存在完備性。

1.2 “離散”和“連續(xù)”的轉(zhuǎn)化

定積分和二重積分的幾何意義分別是曲邊梯形的面積和曲頂柱體的體積。以定積分和二重積分為例，可以很好地闡明“離散”和“連續(xù)”之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，如圖1(a)和(b)所示。

圖1：(a)曲邊梯形的離散化，(b)曲頂柱體的離散化

以定積分為例，見圖1(a)，曲邊梯形的曲邊是光滑曲線，初等數(shù)學(xué)無法得到曲邊梯形的面積，但可以通過將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來處理。例如，將曲邊梯形先分割成離散的有限個可求面積的小矩形，以小矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積，然后，對小矩形的面積求和，得到曲邊梯形面積的近似值。通過無限細(xì)分，得到曲邊梯形的精確值，這正是極限思想：無限細(xì)分，化“直”為“曲”。應(yīng)該指出，曲邊梯形的分割不僅可以化成小矩形，也可化成梯形等規(guī)則形狀（“不規(guī)則”轉(zhuǎn)化為“規(guī)則”的情形），這是積分?jǐn)?shù)值計算的基礎(chǔ)。

高等數(shù)學(xué)中也有“離散”問題連續(xù)化處理的情形。例如，數(shù)列f(n)可以轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)f(x)，而變量n→∞可以寫成x→+∞，從而用處理函數(shù)極限的方法處理數(shù)列的問題，這正是《高等數(shù)學(xué)》中的“歸結(jié)原則”。

1.3 “復(fù)雜”和“簡單”的轉(zhuǎn)化

《高等數(shù)學(xué)》中存在大量“復(fù)雜”問題“簡單”化的例子。例如，高階微分方程降階為一階微分方程求解，多元函數(shù)求極限的方法，直角坐標(biāo)系下特殊被積函數(shù)或積分區(qū)域的二、三重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)進(jìn)行計算，二重積分和三重積分轉(zhuǎn)化為累次積分，曲面積分、曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分計算，等等。本文將以二重積分計算為例簡要闡明復(fù)雜問題簡單化的問題。

二重積分的計算是重點內(nèi)容，主要涉及兩方面，直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下二重積分的計算。首先，應(yīng)該指明二重積分的計算需要轉(zhuǎn)化為累次積分，實質(zhì)上就是進(jìn)行兩次定積分的計算；其次，對具有特定被積函數(shù)(一般含有“x2+y2”的形式)或者特定積分區(qū)域(區(qū)域邊界含有圓弧等)的積分，需要通過簡化成極坐標(biāo)形式，從而避免直角坐標(biāo)系下不可計算或較難計算積分問題的出現(xiàn)。

1.4 “抽象”和“形象”的轉(zhuǎn)化

“抽象”概念的教學(xué)往往是大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點，經(jīng)常困擾學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，甚至讓學(xué)生倍感苦惱、望而生畏。因此，在教學(xué)設(shè)計中，教師應(yīng)該提供形象化的教學(xué)方法，例如，圖形化分析、動畫演示、例題示范等，從而將抽象問題形象化。下面將以極限和冪級數(shù)展開為例，對形象化教學(xué)進(jìn)行簡要的討論。

極限是微積分的基礎(chǔ)，“－ (或N)”語言的描述較抽象。因此，對極限定義的理解可以從具體的實例入手，借助圖形分析，然后尋求數(shù)學(xué)語言的精確描述是必要的。劉徽提出的割圓術(shù)便是好的例子：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。其次，形象化的語言對提高學(xué)習(xí)興趣至關(guān)重要。講授中可引入距離的表述和“要多近有多近”之類的形象語言，加強學(xué)生對極限情感上的認(rèn)識，提高學(xué)習(xí)的積極性。

另一個例子便是級數(shù)。級數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中容易被抽象化思維主導(dǎo)的概念，因此，形象化教學(xué)是必要的。冪函數(shù)是一類形式簡單的級數(shù)，一些特殊的函數(shù)可以展成冪級數(shù)；冪級數(shù)在特殊函數(shù)的近似計算及處理梁、板、殼等振動結(jié)構(gòu)的大變形問題時具有廣泛應(yīng)用。引入實例，如正弦函數(shù)y=sinx展成冪級數(shù)，取前n項，記為y=Fn(x)。圖2(a)給出了正弦函數(shù)在x=0處展成冪級數(shù)的圖像，可以看到在一定范圍內(nèi)冪級數(shù)可以近似地代替正弦函數(shù)，且展開的冪次越高，其在更大范圍接近正弦函數(shù)。圖形展示不僅讓學(xué)生理解冪級數(shù)的用處，且能激發(fā)學(xué)生提出疑問：什么條件下函數(shù)可以展成冪級數(shù)，冪級數(shù)近似代替相應(yīng)函數(shù)的范圍又是什么？為了更好地激發(fā)學(xué)生的感性認(rèn)識，教師在教學(xué)設(shè)計中可以展示高階冪級數(shù)圖像，圖2(b)展示了F51(x)的函數(shù)圖像。

圖2：正弦函數(shù)的級數(shù)逼近

形象化教學(xué)的效果往往顯而易見，因此，對抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)盡可能思考形象化教學(xué)的形式，破解學(xué)生學(xué)習(xí)中的厭倦甚至畏懼心理，讓學(xué)生建立信心，變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)。

1.5 “未知”和“已知”的轉(zhuǎn)化

正如匈牙利數(shù)學(xué)家路莎·彼得所說，“數(shù)學(xué)家們往往不是對問題進(jìn)行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)變成已經(jīng)能夠解決的問題”。其中，中值定理應(yīng)用中輔助函數(shù)的構(gòu)造，洛必達(dá)法則求“0∞”、“∞－∞”等形式的極限，反常積分的計算，間接法求函數(shù)的冪級數(shù)展開形式及待定系數(shù)法求非齊次微分方程的解等是待解決問題向已解決問題轉(zhuǎn)化的典型案例。例如，“無限”和“有限”是大學(xué)數(shù)學(xué)中兩個重要概念?？紤]“無限”情形問題時往往可以轉(zhuǎn)化為“有限”情形的結(jié)論。例如，計算無窮積分和瑕積分，需要避開“無限”的因素，變化積分區(qū)間將問題轉(zhuǎn)化為區(qū)間有限和函數(shù)有界的定積分，并對積分限取極限得到結(jié)論。

1.6 數(shù)學(xué)語言的等價轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)的語言具有簡潔之美，而數(shù)學(xué)公式是數(shù)學(xué)語言的凝練，簡潔而清晰。因此，數(shù)學(xué)語言簡化為數(shù)學(xué)公式的表達(dá)，筆者認(rèn)為也是有益于學(xué)生抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)的必要的教學(xué)設(shè)計。以一元函數(shù)連續(xù)性的定義和判定方法為例，教學(xué)設(shè)計中可以強化如下轉(zhuǎn)化：

這樣可以促使學(xué)生分層次地細(xì)化對知識的理解，從極限的存在性、函數(shù)的定義域及連續(xù)性三個層次進(jìn)行分析，深化學(xué)生對抽象知識的認(rèn)識。

2 結(jié)語

本文簡析了“轉(zhuǎn)化”思想在教學(xué)設(shè)計中的引導(dǎo)性作用。強化“轉(zhuǎn)化”思想，可以引導(dǎo)和激發(fā)學(xué)生思考和學(xué)習(xí)興趣，養(yǎng)成認(rèn)識解決問題的能力。一個數(shù)學(xué)問題的“轉(zhuǎn)化”可能存在多種形式，教學(xué)設(shè)計應(yīng)以如何讓學(xué)生更好地接受新知識為目的，且從長遠(yuǎn)看，數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)比數(shù)學(xué)知識本身更能夠讓學(xué)生終身受益。