南師附中秦淮科技高中高二(2)班 陳思成
在假期“刷題”時,我遇到了這樣一題:
引例已知圓O:x2y2+=9,P為直線x+y2?9=0 上一動點,過點P向圓O引兩條切線PA,PB,A,B為切點,求證:直線AB恒過定點.
經(jīng)過分析,不難發(fā)現(xiàn)兩種思路:
其一,切點弦AB可以看作圓O和以O(shè)P為直徑的圓相交所得的弦.兩圓方程相減即可獲得直線AB的方程,那么解決直線AB過定點就自然而然.
其二,不妨設(shè)A(x1,y1),尋求A的軌跡(直線).由,由圓的切線的性質(zhì)易得設(shè)P(x0,y0),則于是有即x0x1+y0y1?(x12+y12)=0.又因為點A坐標滿足方程x2+y2=9,點P坐標滿足方程x+2y?9=0,于是x0=9?2y0,從而y0(y1?2x1)+9x1?9=0.要使得y0“失效”,可得直線AB過定點D(1,2),當PA斜率不存在時,經(jīng)驗證其也過D.得證.
引例分析完了,我心中難以平靜:既然引例中圓的切點弦過定點,那么與圓形狀上相似的橢圓,它的切點弦是否也過定點?
例1已知橢圓C:P為直線x+2y?9=0 上一動點,過點P向C引兩條切線PA,PB,A,B為切點,則直線AB是否過定點?
引例中的解題方法是否可用?
結(jié)論是:在橢圓中,不能再利用兩圓方程求公共弦方程,只能從思路二入手:即設(shè)A(x1,y1),求點A的軌跡方程.設(shè)P(x0,y0),則有直線AP的斜率為那么,直線AP的斜率可否用另一種形式表示?如類似引例中的思路二“由圓中切線的性質(zhì)得
當前的主要問題就變成了:
有三種思路可以解決該問題.
思路一:由圓類比橢圓,如果題干中的曲線是圓x2+y2=r2,則過A的切線方程為x1x+y1y=r2,可以看作將圓方程中的“x2”寫成“x?x”,將其中一個x替換為x1,同理一個y替換為y1.通過類比推理,可以得到過A點的橢圓的切線方程為所以
思路二:判別式法,設(shè)過A的橢圓切線方程為y?y1=k(x?x1),與橢圓聯(lián)立得到方程令?=0,解得
思路三:隱函數(shù)求導,將y視為關(guān)于x的函數(shù),對橢圓方程兩邊同時求導,于是有所以
回到例1,解題過程如下:
解法一設(shè)A(x1,y1),P(x0,y0),則
又因為A(x1,y1)滿足橢圓方程同時P(x0,y0)滿足直線方程x+2y?9=0,于是x0=9?2y0?y0(3y1?2x1)+9x1?9=0.
要使得y0失效,可求直線AB過定點
當PA斜率不存在時,驗證其也過點D.
綜上,直線AB恒過定點D.
在例1 中,曲線由圓變?yōu)闄E圓,由于橢圓和圓具有相似性質(zhì),于是嘗試將例1 化歸為引例,筆者想到了“換元”,這樣就有了:
解法二令于是橢圓方程轉(zhuǎn)化為x′2+y′2=1.
直線方程x+2y?9=0 對應(yīng)轉(zhuǎn)化為
橢圓的切點弦問題便化歸為圓的切點弦問題,解得圓的切點弦過定點
當PA斜率不存在時,驗證其也過點D.
綜上,直線AB恒過定點D.
回顧反思:左邊的過程,其實是將原坐標系中x,y分別變?yōu)樵瓉淼谋逗捅?,得到x′,y′,也就是將坐標系進行伸縮,將橢圓變換為圓,這樣的變換,稱作平面直角坐標系中的伸縮變換.
研究了橢圓,筆者不由聯(lián)想到另一種圓錐曲線——拋物線,其切點弦是否也與圓和橢圓具有相似性質(zhì)呢?
例2已知拋物線C:y2=4x,P為直線y=3x+2上一動點,過點P向C引兩條切線PA,PB,A,B為切點,則直線AB是否過定點?
解析“照葫蘆畫瓢”,設(shè)A(x1,y1),尋求A的軌跡(直線),設(shè)P(x0,y0),則根據(jù)判別式或隱函數(shù)求導等方法,可求得過點A的切線斜率為
又因為點A滿足方程y2=4x,同時點P滿足方程y=3x+2,其切點弦方程為:2x1?2y1+x0(2?3y1)=0,易求弦AB過定點
當AP斜率不存在時,驗證其也過點D.
綜上,直線AB恒過定點D.
可見對于拋物線也是有類似結(jié)論的.
當然,在以上研究的問題中,直線與曲線都無公共點,否則直線上的動點移動到曲線內(nèi)部時,無切線,也就談不上切點弦過定點.
在探究了圓、橢圓和拋物線的相關(guān)問題后,不由讓人猜想:雙曲線是否也有上述性質(zhì)呢?利用例2 的方法,可以判斷當直線上的點在雙曲線外部(不在漸近線上)時,切點弦過定點;直線上的點在雙曲線外部(漸近線上)時,只有一條切線,沒有切點弦.
回顧本次研究,完全是我做完了引例后自然的聯(lián)想,我想這就是老師常說的“生長”的數(shù)學觀,對提升我的數(shù)學素養(yǎng)與能力水平有重大意義.
研究看上去是“慢步暢思”,但從長遠看,必然超越“奔跑的先鋒”,由此可見,快和慢,在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的.慢下來,是為了更快.我想我們要有企鵝的秉性,抗拒嚴寒,沉下去,潛入水中,聚精會神地積蓄能量.遠大前程,又怎是一蹴而就的呢?