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        用“圓心線的方法”解決帶電粒子在勻強磁場中的運動問題

        2021-12-23 06:36:10李建海
        數(shù)理化解題研究 2021年34期
        關(guān)鍵詞:方法

        李建海

        (河北省張家口市第四中學 075000)

        帶電粒子在有界勻強磁場中做勻速圓周運動的問題比較常見,是高考中的高頻考點.該題型既能夠考察學生物理建模的能力、還能夠考察學生應用數(shù)學知識解決物理問題的能力.特別是與之結(jié)合的臨界問題,難度往往較大.一些教參和文章中討論的方法可操作性不強,本文就該類問題再做一些嘗試.

        一、試題的命制

        關(guān)于帶電粒子在勻強磁場中的運動的考題,可謂是??汲P?,不管考題如何變化,大體可分為兩類:一類是速度方向與某一特定邊界夾角已知,即速度方向已知,但大小并不確定;一類是速度大小相等,方向分布在某一范圍內(nèi).當然,從題目的命制來說,這只是兩個大類,單純給定這樣的設定,其條件并不完備,常常需要再補充“粒子通過磁場中的某一點或與某一邊界相垂直或相切”等條件,如圖1,這樣的組合就構(gòu)成了形形色色的試題.

        圖1

        二、現(xiàn)行方法評價

        大多數(shù)教學參考書給出的解題方法如下:第一大類中,如果要求過某個點,相當于已知了弦,通過做弦中垂線和速度垂線交點,該交點即為圓心;如果軌跡與某一邊界相切,通過做該邊界與速度的角平分線,角平分線和速度垂線的交點即為圓心.不少文章還提出了“縮放圓”的方法.

        對于第二大類,教學參考書中并沒有給出相應的解題方法,不少文章提出了“動態(tài)圓”的方法.

        這些方法其實叫做資源包更準確,看似能夠解決相應的問題,但是并沒有共性,一題一法,對于復習備考的學生來說,無疑是很大的負擔.“縮放圓”和“動態(tài)圓”在具體解題中的操作性并不強,做角平分線耗時較長,與高考考場上快捷、可操作性強的需要相沖突.

        三、該類問題的突破點

        該類問題的突破點,歸根到底就一個,那就是快速確定軌跡圓的圓心.兩種題型,為了統(tǒng)一,可以提出“圓心線”的概念.圓心線即為一系列不確定圓的圓心的集合.第一大類中速度垂線即為圓心線,如圖2;第二大類中以入射點為圓心,粒子軌跡半徑為半徑的圓即為圓心線,如圖3.如果速度分布在90°范圍內(nèi),圓心線為1/4圓,如果速度分布在180°范圍內(nèi),圓心線為半圓.

        圖2 圖3

        有了圓心線的概念,這樣在解決具體問題中只需根據(jù)半徑相等的特征在“圓心線”上找出大致的圓心即可.這樣做的效果是快捷、便于操作、通用性強,從而學生負擔小.

        第一大類中,過確定點A、與邊界垂直和與邊界相切找圓心的方法如圖4所示.找圓心時把握兩點,一是在圓心線上,二是半徑相等.若要求過某一確定點,可以通過肉眼找一個大致的圓心,也可以做弦的中垂線,其實即使是做弦的中垂線,實際操作中也并非是用尺規(guī)作圖,也是做了一個大致的中垂線,圖4(a);若要求與某一邊界相垂直,圓心為圓心線和該邊界的交點,圖4(b);若要求與某一邊界相切,根據(jù)半徑相等這一特征,同時找切點和圓心,圖4(c).

        圖4

        第二大類中,過確定點A、與邊界垂直和與邊界相切找圓心的方法如圖5所示.方法與解決第一大類的方法一致.這樣一來,“在圓心線上找圓心”便成了通用的方法,便于掌握.

        圖5

        四、例題解析

        圖6 圖7

        第2問,屬于第二大類但附加條件并不明確,先做出圓心線.在給定速度大小的問題中,粒子的運動時間除了可以由圓心角反映,還可以由弦長反映.這樣一來,臨界條件可由與第1問中等長的弦OP確定,也就是以O為圓心,OP長為半徑畫圓,正好與磁場邊界交與M、N兩點,如圖8(a).進而該問題演化成軌跡過M點或N.在圓心線上找出圓心即可,如圖8(b)、圖8(c).

        圖8

        第3問,看似找不出附加條件,這個時候需在圓心線上找?guī)讉€圓進行嘗試,嘗試后發(fā)現(xiàn)與右側(cè)邊界相切的軌跡時間最長.

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