應(yīng)佳成

(杭州市富陽區(qū)教育發(fā)展研究中心 311400)

從整體視角看，乘法公式是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中整式乘法運(yùn)算中的一類特殊結(jié)論，從知識連貫性的角度看，乘法公式的學(xué)習(xí)過程是學(xué)生通過參與、體驗，形成某些重要數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)鍵過程，對學(xué)生抽象能力、建模能力、推理能力、運(yùn)算能力的培養(yǎng)具有獨特的價值．另外，結(jié)構(gòu)的特殊性使乘法公式有廣泛應(yīng)用，因此乘法公式的教學(xué)是發(fā)展學(xué)習(xí)能力的重要載體.如何用好一般與特殊的關(guān)系，自然而然地將能力培養(yǎng)滲透于教學(xué)中是本文闡述的主旨.

1 在獲取知識的過程中發(fā)展學(xué)習(xí)能力

1.1 經(jīng)歷歸納的過程發(fā)展抽象建模能力

從特殊到一般，通過歸納共性發(fā)現(xiàn)并提煉公式是培養(yǎng)抽象能力和建模能力的過程，由于這一環(huán)節(jié)是共性歸納，因此要提供具有相同結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)材料，以利于學(xué)生聚焦研究對象，發(fā)現(xiàn)和對比對象間的共性，提煉出公式，將乘法公式從“隱性”狀態(tài)變?yōu)椤帮@性”狀態(tài)．例如，平方差公式的歸納過程如圖1所示：

圖1

以上歸納過程的意義在于，通過對整式乘法單元中的“特例”進(jìn)行深加工，獲得具有廣泛使用價值的特殊結(jié)論，積累研究經(jīng)驗，為類比遷移的發(fā)生做好準(zhǔn)備，比如完全平方公式的研究就可以基于平方差公式的研究經(jīng)驗有目的、有方法地展開．從數(shù)學(xué)研究的視角看，概念的獲得、公式或者法則的研究、性質(zhì)的研究等等都會經(jīng)歷類似的過程，當(dāng)經(jīng)驗積累到一定程度就會產(chǎn)生質(zhì)的改變，對未來的學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極推動作用.

1.2 經(jīng)歷演繹的過程發(fā)展代數(shù)推理能力

與歸納發(fā)現(xiàn)的過程相比，對條件特殊化從一般到特殊獲得乘法公式的過程屬于演繹推理的過程，其中的關(guān)鍵是幫助學(xué)生理清邏輯關(guān)系，理解公式本質(zhì)： (a+b)2=a2+2ab+b2是(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd在c=a及d=b的特殊條件下的結(jié)果，(a+b)(a-b)=a2-b2是在c=a及d=-b的特殊條件下兩個二項式相乘的結(jié)果，邏輯關(guān)系如圖2：

圖2

無論是歸納發(fā)現(xiàn)還是演繹論證，基于一般與特殊的關(guān)系在知識之間搭建橋梁，是對數(shù)學(xué)發(fā)展脈絡(luò)的遵循，也是對學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗的遵循，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)公式間的聯(lián)系，從整體上認(rèn)識公式的來龍去脈，理解數(shù)學(xué)知識發(fā)展的連貫性。在這樣的觀念指導(dǎo)下，學(xué)生甚至可以推導(dǎo)出更多有意義的結(jié)論，形成優(yōu)良的知識結(jié)構(gòu).

1.3 經(jīng)歷多元表征的過程發(fā)展幾何直觀能力

如何在二維圖形與乘法公式之間建立聯(lián)系是教學(xué)中需要突破的難點，事實上學(xué)生是有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的，小學(xué)階段學(xué)生已經(jīng)知道用公式刻畫圖形面積，比如正方形的面積是邊長的平方，長方形的面積是相鄰兩邊的乘積，用面積將圖形與代數(shù)間建立關(guān)聯(lián)，這是幾何與代數(shù)之間進(jìn)行相互表征的萌芽．但是小學(xué)局限于最簡單的圖形，初中的圖形和公式更復(fù)雜，這是關(guān)鍵差異也是難點所在．怎樣自然而然地突破難點，發(fā)展能力呢？需要從整體視角認(rèn)識圖形與代數(shù)的聯(lián)系，在學(xué)生已有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提供思維的腳手架，將幾何圖形從一維上升到二維，相應(yīng)的將代數(shù)結(jié)構(gòu)從整式上升到整式乘法，層層遞進(jìn)地在文字、圖形、符號之間建立起聯(lián)系.

先從一維圖形與代數(shù)式相互表征入手：如果將線段a和線段b視為一維圖形，線段之和仍舊是線段，代數(shù)表征為兩數(shù)和a+b．如圖3：

The situation changed in the 28th year of Qianlong (1763), on the eve of the Second Jinchuan War. Emperor Qianlong told the Grand Minister of the State (軍機(jī)大臣) et al.:

圖3

這樣的回顧基于線段的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，不但不會造成困難，還會為接下來的聯(lián)系提供生長點，容易引導(dǎo)學(xué)生思維產(chǎn)生遷移.

進(jìn)一步在二維圖形(長方形)與整式(二項式)乘積間相互表征：如圖4，線段AB表示線段a與b的和，其長度記為a+b；線段AD表示線段c與d的和，其長度記為c+d；矩形ABCD的面積可以記為(a+b)(c+d)，還可以記為ac+ad+bc+bd，這樣再一次利用圖形面積構(gòu)建出代數(shù)結(jié)構(gòu)(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，巧妙實現(xiàn)圖形與代數(shù)式之間的相互表征．進(jìn)一步將幾何結(jié)構(gòu)特殊化為正方形，代數(shù)結(jié)構(gòu)特殊化為(a+b)2，如圖5，實現(xiàn)了完全平方公式在文字、圖形、符號之間的相互表征.

圖4

思維方式一旦形成，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力可以得到快速提升，有能力將更多的代數(shù)結(jié)構(gòu)和與之相關(guān)的幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行相互表征. 比如假設(shè)四個長方形的邊長分別為a，b，這四個長方形的面積為4ab，而大正方形的邊長為a+b，這樣就在代數(shù)公式(a+b)2-(a-b)2=4ab與幾何圖形6之間建立了聯(lián)系，可以相互表征.

圖6

數(shù)學(xué)文化的融入、代數(shù)與幾何的相互表征等多元構(gòu)建的目的在于讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等數(shù)學(xué)活動過程，在不同內(nèi)容領(lǐng)域之間建立廣泛聯(lián)系，滲透數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展直觀想象能力和數(shù)學(xué)建模能力，并通過知識技能反映出來，增進(jìn)對數(shù)學(xué)的理解.

2 在應(yīng)用知識的過程中發(fā)展運(yùn)算能力

運(yùn)算能力是公式教學(xué)需要發(fā)展的重要能力，公式最顯著的特征就是以整體結(jié)構(gòu)的形式使用，對學(xué)生運(yùn)算能力的要求顯著提高，外顯的運(yùn)算能力是思維的呈現(xiàn)，運(yùn)算能力的培養(yǎng)需要通過辨析、構(gòu)造、使用等一系列有邏輯的學(xué)習(xí)過程達(dá)成．下面以完全平方公式為例分析運(yùn)算能力的發(fā)展.

2.1 經(jīng)歷公式結(jié)構(gòu)的辨析過程發(fā)展運(yùn)算能力

完全平方結(jié)構(gòu)是配方法的根基，是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算與變形的重要基礎(chǔ)知識，將來在一元二次方程、二次函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中都離不開配方法和配方思想，其思維的種子需要在完全平方公式的學(xué)習(xí)中埋下.

(1)識別公式結(jié)構(gòu)

整體視角下準(zhǔn)確識別公式結(jié)構(gòu)是正確使用公式的基礎(chǔ)，對結(jié)構(gòu)的識別有兩個關(guān)鍵點：其一，準(zhǔn)確識別公式左右兩側(cè)代數(shù)式的特征，明確不同的代數(shù)式(a+b)(a-b)、a2-b2、(a+b)2、a2+2ab+b2、a2+b2的不同含義，并且要用自己的語言(文字語言)表達(dá)，這一過程相當(dāng)重要．例如：

a+b a-b 兩數(shù)和與這兩個數(shù)的差的積a2-b2兩數(shù)的平方差a2+b2兩數(shù)的平方和a+b 2兩數(shù)和的平方a2+2ab+b2兩數(shù)的平方與這兩數(shù)乘積2倍的和

其二，由于公式(a+b)2=a2+2ab+b2與(a+b)(a-b)=a2-b2的左右兩側(cè)是等價關(guān)系，因此對公式的識別不能局限于單側(cè)，應(yīng)該對同一個公式左右兩側(cè)的結(jié)構(gòu)特征都有準(zhǔn)確把握，能夠識別出兩個結(jié)構(gòu)之間是否具有等價關(guān)系，反映在能力上就是要具備公式兩側(cè)相互轉(zhuǎn)換的能力，在兩種結(jié)構(gòu)之間整體轉(zhuǎn)換的能力是學(xué)習(xí)整式乘法、因式分解、分式等內(nèi)容的基礎(chǔ)，需要通過適當(dāng)?shù)谋嫖鲈谕粋€公式兩種不同代數(shù)結(jié)構(gòu)間建立起關(guān)聯(lián)，才能具備整體使用的能力.

(2)等式變形

由于公式左右相等，因此可以利用等式基本性質(zhì)進(jìn)一步進(jìn)行變形，這就為不同代數(shù)式(a+b)(a-b)、a2-b2、(a+b)2、a2+2ab+b2、a2+b2之間建立等量關(guān)系提供了基礎(chǔ)，可以進(jìn)一步構(gòu)造出諸如a2+b2=(a+b)2-2ab和(a+b)2-(a-b)2=4ab等新的公式．所謂的等式變形，本質(zhì)是在熟練掌握公式結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，結(jié)合等式基本性質(zhì)，進(jìn)行各種結(jié)構(gòu)間的自由切換，這是對運(yùn)算能力提出的更高的要求．能夠進(jìn)行這樣的自由切換，需要把握好兩個關(guān)鍵：熟悉公式的結(jié)構(gòu)特征、熟練使用等式的基本性質(zhì)，它們都是基于對公式結(jié)構(gòu)的深刻理解，也是具有代數(shù)推理能力的表現(xiàn).

(3)代數(shù)式部分變形

配方能力來自于對完全平方公式整體結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確把握，無論代數(shù)式以(a+b)2或者a2+2ab+b2的形式呈現(xiàn)都能從整體上準(zhǔn)確識別才能正確使用．但是在實際使用的過程中，更多的代數(shù)式是以a2+2ab+C或a2+M+b2的“部分結(jié)構(gòu)”呈現(xiàn)，這要求學(xué)生能夠調(diào)用學(xué)習(xí)經(jīng)驗，對比“部分結(jié)構(gòu)”與公式結(jié)構(gòu)的差異，綜合做出判斷并合理使用裂項或者添項的方法，將一個代數(shù)式中的一部分進(jìn)行恒等變形，轉(zhuǎn)化為A2+M的形式，這是在公式教學(xué)中培養(yǎng)運(yùn)算能力的第三層次.

2.2 經(jīng)歷整體思想的滲透過程發(fā)展運(yùn)算能力

代數(shù)學(xué)習(xí)中整體思想是一種重要的思想方法，盡管整體思想的培養(yǎng)是漸進(jìn)的、逐步滲透的過程，但是公式教學(xué)是培養(yǎng)這一能力的重要載體，需要引起足夠的重視．關(guān)于對整體思想的理解可以從兩個側(cè)面來看，首先從整體視角看代數(shù)式結(jié)構(gòu)，無論a2-b2、a2+2ab+b2、a2+b2、(a+b)2中的哪一種形式，都是以整體結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的，對這些整體結(jié)構(gòu)的識別能力和使用能力是公式應(yīng)用的基礎(chǔ)；另一個側(cè)面，從微觀視角看公式中的字母具有廣泛意義，可以表示字母、也可以表示具體的數(shù)、還可以表示整式、分式甚至別的什么. 以平方差公式為例，如圖7：

圖7

對整體思維的培養(yǎng)，關(guān)鍵是要突出對問題結(jié)構(gòu)的認(rèn)識，善于發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)構(gòu)特征. 比如平方差公式，其最根本的特征是兩“式”和與這兩“式”差的乘法運(yùn)算．當(dāng)學(xué)生具備了整體看問題的能力，就能更深入地理解運(yùn)算對象，更容易發(fā)現(xiàn)事物的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，更有目的地規(guī)劃解題方案、建立運(yùn)算思路，更有效地運(yùn)用運(yùn)算法則，運(yùn)算能力、代數(shù)推理能力也就能得到潛移默化的提升.

3 在廣泛聯(lián)系的過程中發(fā)展學(xué)習(xí)能力

3.1 在初中數(shù)學(xué)內(nèi)容間建立聯(lián)系

前文提到，完全平方公式可以與幾何圖形建立密切聯(lián)系．事實上，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，代數(shù)結(jié)構(gòu)與幾何結(jié)構(gòu)的相互表征向來都是培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想的重要載體．平方差公式與圖形間的互相表征同樣具有重要意義，是后續(xù)勾股定理的發(fā)現(xiàn)和學(xué)習(xí)的直接基礎(chǔ).

3.2 在初高中銜接的內(nèi)容間建立聯(lián)系

4 在形成數(shù)學(xué)思想的過程中發(fā)展學(xué)習(xí)能力

公式教學(xué)蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)方法和思想，比如整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、一般與特殊思想等等，在教學(xué)過程中需要讓學(xué)生不斷體驗、積累并嘗試使用，方法的學(xué)習(xí)過程也是學(xué)生能力積累產(chǎn)生飛躍的過程，只有發(fā)生了質(zhì)的飛躍，才能上升為數(shù)學(xué)思想，形成特有的意識和觀念.

比如基于整式乘法運(yùn)算的視角看乘法公式，這是從一般到特殊的研究，這是一種演繹推理，是中學(xué)階段第一次全面、系統(tǒng)地在一般與特殊觀念指導(dǎo)下展開研究. 由于一般研究對象包含特殊研究對象，因而特殊對象不但具有一般對象的性質(zhì)，而且還有其特殊的性質(zhì)，這些特有的性質(zhì)使得特殊對象的內(nèi)涵更為豐富，應(yīng)用更為普遍.

在整式乘法單元，有序、有策略地滲透一般與特殊的思想方法，讓學(xué)生逐步內(nèi)化為數(shù)學(xué)觀念，那么在其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，學(xué)生就可以超越特定情境，主動構(gòu)建學(xué)習(xí)路徑．例如，從三角形到特殊三角形、從平行四邊形到特殊四邊形等的研究都是基于從一般到特殊的思想展開，與本單元的研究思想具有高度一致性，這樣的數(shù)學(xué)觀念的形成對學(xué)生的發(fā)展具有深遠(yuǎn)意義.

5 總結(jié)

(1)公式教學(xué)的目的不是單純的機(jī)械記憶和使用，應(yīng)該沿著數(shù)學(xué)內(nèi)容內(nèi)在發(fā)展的脈絡(luò)和知識間存在的廣泛聯(lián)系展開，自然流暢發(fā)展各種能力，融素養(yǎng)培養(yǎng)于無形中.

(2)學(xué)生的能力和素養(yǎng)在不同的學(xué)段和不同的教學(xué)內(nèi)容中有不同的表現(xiàn)，核心素養(yǎng)的發(fā)展是隨著學(xué)生知識掌握、數(shù)學(xué)理解、獨立思考等過程而變化和發(fā)展的，因此教師要關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的發(fā)展和變化，關(guān)注學(xué)生已經(jīng)掌握了什么，得到了哪些提高，具備了什么能力，還有什么潛能，在哪些方面還存在不足等等，讓學(xué)科育人有的放矢.

(3)教師要以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為依托，提升認(rèn)識學(xué)科本質(zhì)的水平，在數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性上下功夫，只有教師水平提高了，才能幫助學(xué)生學(xué)會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).