楊靜偉，耿 放，劉寧馨，安 迪，孫 毅，李琨浩

（1.河北軌道運輸職業(yè)技術(shù)學院 城市軌道交通系，河北 石家莊 052165；2.河北軌道運輸職業(yè)技術(shù) 學院 鐵道運輸系，河北 石家莊 052165；3.中國鐵道科學研究院集團有限公司 運輸及經(jīng)濟研究所， 北京 100081；4. 中國鐵路北京局集團有限公司 石家莊站，河北 石家莊 050051）

0 引言

高速鐵路臥鋪動車組列車的開行主要有日行和夜行2類，目前我國是以夜行為主，即高速鐵路夕發(fā)朝至臥鋪動車組列車（以下簡稱“高速鐵路夕發(fā)朝至列車”）。由于此類列車開行與高速鐵路綜合維修天窗設(shè)置之間存在沖突，因而如何優(yōu)化列車開行與綜合維修天窗設(shè)置之間的關(guān)系，為高速鐵路夕發(fā)朝至列車開行方案提供編制依據(jù)，以滿足旅客出行需求和優(yōu)化運力資源配置，是國內(nèi)學者對高速鐵路夕發(fā)朝至列車運輸組織研究的重點領(lǐng)域[1-3]。

高速鐵路夕發(fā)朝至列車的始發(fā)終到時間域，主要基于高速鐵路夕發(fā)朝至列車的定義、旅客選擇偏好及客運產(chǎn)品運營經(jīng)驗等，不同研究中的取值也有所不同，徐長安等[1]和林楓[4]將始發(fā)和終到時間域分別定義為19 : 00—23 : 00，6 : 00—10 : 00；于婕等[5]定義為18 : 00—24 : 00，6 : 00—11 : 00；劉敏等[6]定義為19 : 00—22 : 00，6 : 00—9 : 00。由于目前研究多將高速鐵路夕發(fā)朝至列車的始發(fā)終到時間域作為已知條件來考慮，很少對該時間域的計算方法進行研究。因此，亟需結(jié)合高速鐵路夕發(fā)朝至列車開行與綜合維修天窗設(shè)置現(xiàn)狀，創(chuàng)新高速鐵路夕發(fā)朝至列車始發(fā)終到時間域計算方法，以進一步提高列車運行圖編制質(zhì)量，為高速鐵路夕發(fā)朝至列車開行與天窗設(shè)置的協(xié)同優(yōu)化提供理論支撐。

1 高速鐵路夕發(fā)朝至列車與天窗關(guān)系分析

1.1 問題描述

從2019年高速鐵路夕發(fā)朝至列車的開行情況來看，高速鐵路夕發(fā)朝至列車運行距離集中在 1 400 ～ 2 400 km之 間，歷 時 集 中 在10 ～ 15 h之間。其中，160 km/h速度等級的夕發(fā)朝至列車運行距離在1 100 ～ 2 400 km之間，歷時在9 ～ 22 h之間，旅行速度在100 ～ 125 km/h之間；250 km/h速度等級的高速鐵路夕發(fā)朝至列車運行距離在800 ～ 2 800 km 之間，歷時在8 ～ 13 h之間，旅行速度在100 ～ 220 km/h 之間。天窗的開設(shè)方式主要有2種，分別是垂直矩形天窗和分段矩形天窗[7]；列車開行模式也分為2種，分別是全高速線運行模式和“天窗時段下線”運行模式，全高速線運行模式即夜行列車利用高速鐵路線運營的模式，例如北京—廣州/深圳方向、上海/杭州—廣州/深圳方向等開行的列車；“天窗時段下線”運行模式即夜行列車在天窗時間段利用與高速鐵路平行既有線運營的模式，與高速鐵路天窗不產(chǎn)生沖突[7-8]。

全高速線運行模式由于列車開行和天窗設(shè)置間存在相互制約關(guān)系，不易通過傳統(tǒng)計算方法確定列車合理始發(fā)終到時間域。通過分析列車運行圖特征，按時間順序?qū)⒏咚勹F路區(qū)段各區(qū)間視為相互聯(lián)系的多個決策階段，將區(qū)段內(nèi)各站的列車到達和出發(fā)時刻視為下一階段的決策集合，滿足區(qū)間天窗開設(shè)時長約束的決策視為決定當前階段狀態(tài)的最優(yōu)決策，且各階段狀態(tài)具備無后效性的特征。因此，可將開設(shè)分段矩形天窗、全高速線運行模式下的高速鐵路夕發(fā)朝至列車的始發(fā)終到時間域計算，轉(zhuǎn)化為確定性的定期多階段決策問題，通過輸入停站方案和各階段天窗開設(shè)時長要求，輸出合理列車始發(fā)終到時間域。

1.2 列車運行線與天窗關(guān)系分析

成對開行的高速鐵路夕發(fā)朝至列車，在全高速線運行模式下，按照天窗照顧行車的原則，根據(jù)天窗與運行線在運行圖中的相對鋪畫位置，參考京廣高速鐵路（北京西—廣州南）[3]，分段矩形天窗的設(shè)置可分為4個區(qū)域。分段矩形天窗設(shè)置區(qū)域如圖1所示，陰影部分為運行線鋪畫區(qū)域，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ為分段矩形天窗的設(shè)置區(qū)域。

圖1 分段矩形天窗設(shè)置區(qū)域Fig.1 Segmented rectangular maintenance window area

運行圖中各區(qū)域內(nèi)天窗與運行線的相對位置如圖2所示，可細化為6種情況（陰影部分為天窗，Sk-1和Sk為車站編號）。其中，情況b和情況d也包括列車通過該區(qū)間后，分別在Sk站和Sk-1站產(chǎn)生停站需求，但此時，列車的停站不受天窗開設(shè)區(qū)域的制約，因而不做考慮。

圖2 各區(qū)域內(nèi)天窗與運行線的相對位置Fig.2 Relative position of train operation line and maintenance window in each area

通過對列車運行圖特征的分析，各區(qū)域內(nèi)天窗與運行線相對位置的可能情況如表1所示。

表1 各區(qū)域內(nèi)天窗與運行線相對位置的可能情況Tab.1 Possible relative position of train operation line and maintenance window in each area

由此可知，在給定天窗開設(shè)時段的情況下，運行線的鋪畫區(qū)域和天窗的開設(shè)區(qū)域存在一定的制約關(guān)系，具體表現(xiàn)為：①運行線鋪畫區(qū)域越寬，天窗允許開設(shè)區(qū)域越小，即始發(fā)終到時間域的范圍與天窗允許開設(shè)時長呈負相關(guān)關(guān)系；②在高速鐵路夕發(fā)朝至列車開行日的運行線鋪畫區(qū)域，必須保證該分段天窗開設(shè)時長的最低要求。

2 高速鐵路夕發(fā)朝至列車始發(fā)終到時間域計算模型

將高速鐵路按區(qū)間劃分階段，各階段開始時的下行列車到達時刻范圍和上行列車出發(fā)時刻范圍表示該階段的狀態(tài)及決策集合，初始化的始發(fā)終到時間域為邊界條件，各階段天窗開設(shè)時長為約束條件，總天窗收益最大為優(yōu)化目標，構(gòu)建動態(tài)規(guī)劃模型。

2.1 模型假設(shè)及變量參數(shù)設(shè)置

為了便于最后計算結(jié)果呈現(xiàn)，模型構(gòu)建基于以下假設(shè)：①列車的開行符合先發(fā)先到特征；②分段矩形天窗的分段情況為已知條件；③各區(qū)間天窗開始前的安全間隔時間固定，各區(qū)間天窗結(jié)束后的確認列車運行時間為按技術(shù)速度計算的該區(qū)間運行時分；④停站方案已知。

設(shè)S為車站集合，k為車站和階段索引，第k階段代表Sk-1至Sk區(qū)間，k∈{2，…，m}；i為列車索引，i∈{1，n}；R和ω為分段矩形天窗在運行圖中的4個分布區(qū)域集合，記R= {Ⅰ/Ⅲ，Ⅱ，Ⅳ}，ω∈ {Ⅰ，Ⅲ，Ⅱ，Ⅳ}。模型相關(guān)符號及含義如表2所示。

表2 模型相關(guān)符號及含義Tab.2 Related symbols and meanings of the model

2.2 模型構(gòu)建

每個階段的天窗開設(shè)時長應(yīng)滿足相應(yīng)標準。如京廣高速鐵路在高速鐵路夕發(fā)朝至列車開行日，采取大小天窗結(jié)合并用的模式[7]，大天窗滿足4 h綜合維修天窗的要求，小天窗時長壓縮至3 h左右。定義“天窗收益”表示各階段的決策是否滿足該階段的天窗開設(shè)時長要求，滿足要求的天窗收益值取1，反之取0。

設(shè)高速鐵路共開行n對高速鐵路夕發(fā)朝至列車。各階段的天窗收益，取決于本階段前后2個車站的上下行第1列車（先發(fā)列車，下同）和第n列車（后發(fā)列車，下同）的出發(fā)及到達時刻，共16個關(guān)鍵時刻要素。第k階段各區(qū)域的天窗收益具體如下。

第k階段Ⅰ區(qū)域的天窗收益vIk，分別取決于下行第n列車在車站Sk的到達時刻和該階段的天窗允許最早開始時刻（考慮天窗開始前的安全間隔時間）中的最晚時刻，以及上行第1列車在車站Sk的出發(fā)時刻和該階段的天窗允許最晚結(jié)束時刻（考慮天窗結(jié)束后的安全間隔時間）中的最早時刻，可表示為

第k階段Ⅱ區(qū)域的天窗收益，分別取決于上行第1列車在車站Sk的出發(fā)時刻和下行第1列車在車站Sk-1的出發(fā)時刻中的最早時刻，以及第k階段的天窗允許最早開始時刻，可表示為

第k階段Ⅲ區(qū)域的天窗收益，分別取決于下行第1列車在車站Sk-1的出發(fā)時刻和該階段的天窗允許最晚結(jié)束時刻（考慮天窗結(jié)束后的安全間隔時間）中的最早時刻，以及上行第n列車在車站Sk-1的到達時刻和該階段的天窗允許最早開始時刻（考慮天窗開始前的安全間隔時間）中的最晚時刻，可表示為

第k階段Ⅳ區(qū)域的天窗收益，分別取決于上行第n列車在車站Sk-1的到達時刻和下行第n列車在車站Sk的到達時刻中的最晚時刻，以及第k階段的天窗允許最晚結(jié)束時刻，可表示為

根據(jù)運行圖特征分析，任一階段中Ⅰ和Ⅲ區(qū)域的天窗收益不會同時存在，第k階段中Ⅰ或Ⅲ區(qū)域的天窗收益VkI/III，可表示為

因此，第k階段的最終天窗收益Vk，可表示為

由于各階段需保證該階段天窗最低開設(shè)時長的要求，該多階段決策問題存在可行解時的最終收益一定為（m- 1），對應(yīng)的策略集合，即是滿足分段矩形天窗開設(shè)要求的合理始發(fā)終到時間域。

考慮到各階段的天窗開設(shè)時長，受上下行列車運行線鋪畫區(qū)域的共同影響，各站的8個關(guān)鍵時刻要素，采取下行列車的到達和出發(fā)時刻根據(jù)下行列車始發(fā)時間域正推，上行列車的到達和出發(fā)時刻根據(jù)上行列車終到時間域反推的方式。因此，Sk站的關(guān)鍵時刻要素遞推公式為

將Tk,i作為狀態(tài)變量，則該確定性的定期多階段決策問題的最優(yōu)化原理為

其中，狀態(tài)變量Tk,i的最優(yōu)化原理為

2.3 模型求解

模型的求解共需要2輪迭代計算，第一輪迭代邊界條件為初始化的下行列車始發(fā)時間域和上行列車終到時間域，迭代結(jié)果為最優(yōu)下行列車終到時間域和上行列車始發(fā)時間域，將這一結(jié)果作為第二輪迭代的初始條件，最終輸出符合各階段天窗開設(shè)時長要求的上下行列車始發(fā)終到時間域。具體求解過程如下。

步驟1：初始化時間格式、算法參數(shù)和邊界條件。為方便計算，將參數(shù)和變量中涉及到的時刻單位統(tǒng)一為 h，并均加12后除以24取余。

步驟2：第一輪迭代。根據(jù)公式（7）至公式（10）通過初始化的T2,i迭代推導(dǎo)出S2至Sm各站的8個關(guān)鍵時刻要素。

步驟3：計算各階段天窗收益。根據(jù)公式（1）至公式（6）代入步驟2的關(guān)鍵時刻要素，計算出本階段允許的最大天窗開設(shè)時長，并判斷是否滿足本階段的天窗開設(shè)時長要求。若滿足，則返回步驟2進行下一階段的判斷；若不滿足，則進入步驟4。

步驟4：更新決策集合。對于不滿足本階段天窗開設(shè)時長要求的，收縮相應(yīng)的關(guān)鍵時刻要素所形成的出發(fā)和到達時間域范圍，步長為1 min，并返回步驟3繼續(xù)判斷。

步驟5：第二輪迭代。通過步驟2至步驟4迭代出的車站Sm的關(guān)鍵時刻要素，即[Tx,d1，Tx,d2]和 [Tx,f1，Tx,f2]，將其作為初始條件，代入按技術(shù)速度計算的區(qū)間運行時分和各站停車時間zk,x,i，zk,s,i，反 向 迭 代 出[Tx,f1，Tx,f2]和[Tx,d1，Tx,d2]，算法結(jié)束。算法流程如圖3所示。

圖3 算法流程Fig.3 Algorithm flow chart

3 實例研究

以京廣高速鐵路2021年第2季度列車運行圖為基準，驗證模型和算法的合理性。京廣高速鐵路全線共40個車站，開行7對高速鐵路夕發(fā)朝至列車，其中D939和D930在京廣高速線運行交路為北京西—長沙南。對2021年第2季度列車運行圖數(shù)據(jù)進行先發(fā)先到處理，初始化停站方案，如上行先發(fā)列車D922次在長沙南京廣場到開時間分別為22 : 52和22 : 58，停站時間為6 min，D930在長沙南京廣場接入停車和出發(fā)時間分別為22 : 47和22 : 53，因而設(shè)定上行先發(fā)列車在長沙南京廣場停站時間為1 min。zk,x,i，zk,s,i和Dk的取值如表3所示。上下行列車在北京西高速場至廣州南京廣場平均旅行時間分別為10 h 42 min 和10 h 18 min，平均總停站時間分別為61 min和40 min，上下行列車的技術(shù)速度均為237 km/h；天窗開始前和確認列車開行前的安全間隔時間取5 min[1]，確認列車平均技術(shù)速度為271 km/h；各階段天窗允許最早開始時刻按圖定最早開始時刻確定，最晚結(jié)束時刻按高速鐵路夕發(fā)朝至列車非開行日，該階段最早一列車圖定發(fā)車（通過）時刻減天窗結(jié)束后的安全間隔時間確定。

表3 zk， x， i，zk， s， i，Dk的取值Tab.3 Value of zk, x, i, zk, s, i, and Dk

初始化邊界條件T2,i，取值涵蓋現(xiàn)有研究中定義的時間域范圍，即T2,i= {[Tx,f1，Tx,f2]，[Tx,d1，Tx,d2]} = {[18 : 00，0 : 00]，[4 : 00，11 : 00]}，初始決策集合經(jīng)過493次“收縮”更新，得到當前天窗開設(shè)時長約束下的最優(yōu)下行到達時間域和上行始發(fā)時間域，第一輪迭代結(jié)果如圖4所示，橫坐標為時刻，縱坐標為車站索引，車站索引1代表北京西站，40代表廣州南站。將最優(yōu)下行到達時間域和上行始發(fā)時間域作為初始條件，代入按技術(shù)速度計算的區(qū)間運行時分和各站停站時間，反推出最優(yōu)下行始發(fā)時間域和上行終到時間域，最終迭代結(jié)果如圖5所示。實際運行圖中的時間域（其中D939次等同于下行先發(fā)列車，D930等同于上行先到列車）在輸出結(jié)果的時間域范圍內(nèi)，輸出結(jié)果如表4所示。表明模型求得的最優(yōu)解是滿足當前天窗開設(shè)時長要求的合理可行的始發(fā)終到時間域。

表4 輸出結(jié)果Tab.4 Output results

圖4 第一輪迭代結(jié)果Fig.4 Results of the first iteration

圖5 最終迭代結(jié)果Fig.5 Results of final iteration

高速鐵路采取分段矩形天窗的開設(shè)形式，對越靠近始發(fā)或終到的區(qū)間影響越小，算例中可以看出靠近兩端的部分區(qū)間和車站可以滿足連續(xù)4 h的天窗開設(shè)時間要求，中間部分區(qū)間和車站僅能滿足 3 h左右的天窗開設(shè)時間要求，因而全線天窗最低開設(shè)時長要求受限于中間部分區(qū)間和車站。

通過模型，計算不同天窗開設(shè)時長要求下的始發(fā)終到時間域如圖6所示?；诋斍巴Ｕ痉桨高M行計算，最多能夠滿足全線分段矩形天窗開設(shè)時長最低為3.4 h時的要求，且上下行終到時間域長度分別為8 min和19 min，在天窗開設(shè)時長分別超過3.5 h 和3.6 h時，上行和下行列車的終到時間域長度為負值，表明計算結(jié)果已經(jīng)呈現(xiàn)出發(fā)散的特征，即圖6中的無效時間域。

圖6 不同天窗開設(shè)時長要求下的始發(fā)終到時間域Fig.6 Departure and arrival time domain for different time requirements of maintenance windows

根據(jù)計算結(jié)果，結(jié)合圖3所示的模型求解過程可知，在既定的停站方案下，如果設(shè)定的天窗開設(shè)時長要求過大，算法將在步驟3和步驟4之間陷入死循環(huán)。這表示無法在分段矩形天窗的開設(shè)區(qū)域間鋪畫連續(xù)的運行線，導(dǎo)致算法無法收斂至最優(yōu)解，此時需要調(diào)整停站方案或開行模式。

綜上所述，輸入各階段天窗開設(shè)時長要求，在給定的停站方案下，可以通過模型和算法計算出合理的始發(fā)終到時間域。因此，該計算模型和求解算法可以有效地解決開設(shè)分段矩形天窗時的高速鐵路夕發(fā)朝至列車始發(fā)終到時間域的計算問題。

4 結(jié)束語

高速鐵路夕發(fā)朝至列車始發(fā)終到時間域，直接影響列車開行方案與列車運行圖的編制質(zhì)量。模型通過輸入停站方案和各區(qū)間天窗開設(shè)時長要求，輸出滿足要求的列車合理始發(fā)終到時間域，可為需要開行夕發(fā)朝至列車的高速鐵路列車運行圖編制提供參考。計算模型是依據(jù)既有停站方案并在滿足分段矩形天窗開設(shè)時長要求的約束下求解的，在實際編制列車開行方案過程中，列車的始發(fā)終到時間域還應(yīng)考慮旅客的出行需求、出行時段特征等因素，這也是今后需要進一步深入研究的方向。