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        巧用“類比”活學(xué)“實(shí)數(shù)”

        2021-12-22 08:54:44潘海波
        初中生世界 2021年46期
        關(guān)鍵詞:立方根類比縣官

        文/潘海波

        (作者單位:江蘇省常州市實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)天寧分校)

        從前,有個縣遭了災(zāi),村民們推薦一個老者去衙門報告災(zāi)情,請求減點(diǎn)稅。老者來到縣衙,縣官問他:“小麥?zhǔn)樟藥壮??”老者答:“五成。”“棉花呢?”“三成?!薄坝衩啄??”“兩成?!笨h官聽了大怒道:“有了十成收獲,年景不壞,你還來報災(zāi),真是大膽!”老者忙說:“我活了180歲,還沒有遇到過如此嚴(yán)重的災(zāi)情啊!”縣官聽了說:“胡說!你怎么活了180 歲呢?”老者說:“大兒子50 歲,二兒子30歲,小兒子20歲,老漢我今年80歲,合起來正好180歲,一點(diǎn)兒也不胡說。”縣官拍著桌子說:“哪有如此算法?”老者說:“大老爺息怒!剛才你計算收成,不也是這樣算的嗎?”

        這則故事中,老者駁斥昏庸無道的縣官,用的就是類比的方法。在實(shí)際生活中,我們把一些“似曾相識”的事物加以比較,常常會有新的發(fā)現(xiàn)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,“把類似問題進(jìn)行比較和聯(lián)想,由一個數(shù)學(xué)對象已知的性質(zhì)遷移到另一個數(shù)學(xué)對象上去,從而獲得另一個數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)”,這種思維方法就是類比。

        實(shí)數(shù)的知識點(diǎn)與之前許多知識點(diǎn)有很多類似之處,下面我們將采用類比的方法加以學(xué)習(xí)。

        一、概念類比

        1.平方根與立方根。

        從平方根與立方根的概念上看,兩者的表述方式完全一樣:如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫作a的平方根,也叫二次方根,求一個數(shù)的平方根的運(yùn)算叫作開平方,開平方與平方互為逆運(yùn)算;如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫作a的立方根,也叫三次方根,求一個數(shù)的立方根的運(yùn)算叫作開立方,開立方與立方互為逆運(yùn)算。

        從方根的個數(shù)上看,只有非負(fù)數(shù)才有平方根,正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù),0 的平方根是0,負(fù)數(shù)沒有平方根;任何一個數(shù)都有立方根,正數(shù)的立方根是正數(shù),0的立方根是0,負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。

        從符號表示上看,一個數(shù)a的平方根,記作;一個數(shù)a的立方根,記作

        2.有理數(shù)與實(shí)數(shù)的其他概念。

        我們知道:一個正有理數(shù)的絕對值是它本身,一個負(fù)有理數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),0的絕對值是0。類似地:一個正實(shí)數(shù)的絕對值是它本身,一個負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),0的絕對值是0。事實(shí)上,無論是在有理數(shù)范圍內(nèi),還是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),相反數(shù)、倒數(shù)的意義及求法都是一樣的。

        另外,有理數(shù)與實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系也是類似的。任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示,任何一個實(shí)數(shù)也都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示;反過來,我們要注意,數(shù)軸上的點(diǎn)都可以表示一個實(shí)數(shù),這里既包括有理數(shù),又包括無理數(shù),而不僅僅只表示一個有理數(shù)。

        二、分類類比

        有理數(shù),將其按性質(zhì)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)(如圖1),按符號可以分為正有理數(shù)、0 和負(fù)有理數(shù)(如圖2)。

        圖1

        圖2

        類似地,實(shí)數(shù)按性質(zhì)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)(如圖3),按符號可以分為正實(shí)數(shù)、0和負(fù)實(shí)數(shù)(如圖4)。

        圖3

        圖4

        三、運(yùn)算類比

        在有理數(shù)范圍內(nèi),運(yùn)算法則包括加、減、乘、除、乘方。運(yùn)算順序?yàn)椋合人愠朔?,再算乘除,最后算加減,如果有括號,就先算括號里的。運(yùn)算律有加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律。同樣,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),這些運(yùn)算法則、運(yùn)算順序、運(yùn)算律仍然適用。

        著名數(shù)學(xué)家波利亞說過:“類比是一個偉大的引路人?!毕M瑢W(xué)們在以后的學(xué)習(xí)中不斷領(lǐng)會,并加強(qiáng)運(yùn)用。

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