孫 慧，曾繁慧，蒲凌杰

（1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 阜新 123000；2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 智能工程與數(shù)學(xué)研究院，遼寧 阜新 123000）

0 引言

1982年汪培莊提出因素空間理論，為概念、判斷、推理等的數(shù)學(xué)描述提供了理論框架，并于1994年與李洪興合寫著作《知識(shí)表示的數(shù)學(xué)理論》[1].因素空間是以因素為軸的坐標(biāo)架，主要有兩大分支，其一是背景基理論.背景基可以生成背景關(guān)系，它是背景關(guān)系的無信息損失的壓縮，對(duì)因素庫(kù)[2]的實(shí)際應(yīng)用具有重要的意義，背景關(guān)系是因素空間的形骸，塑造這個(gè)形骸的工具就是背景基，文獻(xiàn)[3]提出了背景基的概念；文獻(xiàn)[4]針對(duì)隨機(jī)性和模糊性的特點(diǎn)，提出了因素空間的背景分布和模糊背景關(guān)系；文獻(xiàn)[5]把由汪培莊提出的鈍角刪除法上升為精確算法.

因素空間另一個(gè)主要分支是因果分析法，因果分析法能在一張因素分析表中自動(dòng)找出表中所含的因果關(guān)系，并畫出因果圖.文獻(xiàn)[6]按照因素空間的理論框架，在離散情形下定義了條件因素對(duì)結(jié)果的決定度及決定域，依次從決定域上提取出相應(yīng)的推理知識(shí)，得到一種新算法為因果分析法.文獻(xiàn)[7]為進(jìn)一步提高因素空間中因果分析法的運(yùn)行速度和對(duì)樣本信息的利用，對(duì)文獻(xiàn)[6]給出的因素分析算法進(jìn)行了改進(jìn).文獻(xiàn)[8]為進(jìn)一步擴(kuò)大因素空間中的因果分析法的應(yīng)用領(lǐng)域，提出了多標(biāo)準(zhǔn)因果分析算法.因果分析法可以廣泛地應(yīng)用到各種領(lǐng)域[9-11]，特別是數(shù)據(jù)挖掘，與數(shù)據(jù)挖掘決策樹方法相比，因果分析法使用起來更簡(jiǎn)潔、貼切.然而當(dāng)目標(biāo)因素?cái)?shù)量較大，利用多目標(biāo)因果分析法計(jì)算的過程會(huì)十分繁雜，因此，本文提出一種降低目標(biāo)維度的算法.

首先給出多目標(biāo)因素條件下降維映射和鉆入決定度降維的定義，然后將未被選定的目標(biāo)因素進(jìn)行合取，分析合取因素對(duì)選定目標(biāo)因素的鉆入決定度是否為1，進(jìn)行目標(biāo)因素的約簡(jiǎn)，得到了目標(biāo)因素的降維算法，接著在目標(biāo)因素的降維算法的基礎(chǔ)上，研究了目標(biāo)因素之間的關(guān)聯(lián)性，給出了關(guān)聯(lián)指標(biāo)定義，又結(jié)合多目標(biāo)因果分析法，得到了多目標(biāo)因果分析降維算法，并作出實(shí)例分析.

1 預(yù)備知識(shí)

首先介紹因素空間的相關(guān)基本理論[3].

定義1因素是映射，把對(duì)象映射到其屬性上.映射是分析，因素是分析的維度.因素是映射，其中D為論域，即討論對(duì)象.I（f）為因素的相域.a1，…，ak是其中的相.

定義2論域D上的一個(gè)集合族 為D上的一個(gè)因素空間.

通常，只要兩個(gè)事物不同，就至少存在一個(gè)因素，使它們的因素狀態(tài)完全不同.

定義3給定D上的定性因素空間，對(duì)任意a=（a1，a，…，an）∈I，記其在D上的原相為[a]=F-1（a）={d∈D|F（d）=a}，[a]可能是空集?，若[a]=?，則稱a是一個(gè)虛組態(tài)，否則a是一個(gè)實(shí)性狀顆粒.全體實(shí)性狀的集合記為

式中，R為因素f1，…，fn之間的背景關(guān)系.

定義4如果背景關(guān)系

則稱因素f與g獨(dú)立.

定理1背景關(guān)系決定一切恒真推理句：若，則E（x） →E′（y）必是恒真句.恒真句也叫因果規(guī)則律，從因素表提取，因果律也叫規(guī)則提取.

定義5給定因素空間

定義6設(shè)記

如果[s]?，[t] 則稱[s]是因素f的一個(gè)決定類.因素f的所有決定類的并集稱為對(duì)結(jié)果的決定域.因素f的決定域所占行數(shù)h與表的行數(shù)（即全體對(duì)象個(gè)數(shù)）m之比稱為其對(duì)結(jié)果的鉆入決定度，記作

因果分析法是因素空間理論下的一種提取規(guī)則的算法，是一種能體現(xiàn)人腦認(rèn)知中歸納和推理的基本方法，因果分析法可以應(yīng)用于離散型數(shù)據(jù)的分類和歸納.

因果分析法的整個(gè)流程可以概括成3步：①選取決定度最高的因素進(jìn)行劃分；②將所有決定類選取出來，并轉(zhuǎn)化為推理句；③將選取的決定類所對(duì)應(yīng)的地址從因素表中刪除，重復(fù)上述步驟，直到表被刪空.

2 多目標(biāo)因果分析降維算法

2.1 多目標(biāo)因果分析法

因果分析法是基于樹結(jié)構(gòu)來進(jìn)行規(guī)則提取的，也可以稱為因果樹算法，這也是人類在分析問題時(shí)的一種很自然的處理機(jī)制.例如，某超市要對(duì)“個(gè)人的購(gòu)買力”進(jìn)行分析時(shí)，通常會(huì)進(jìn)行一系列的判斷或“子分析”：首先看“這個(gè)人的還貸能力”，如果是“可”，則再看看“他的職業(yè)”，如果是“商”，再判斷“他的年齡是多少”，得出結(jié)果：這個(gè)人會(huì)“購(gòu)買”.分析過程見圖1.

圖1 購(gòu)買問題的一棵因果樹 Fig.1 a causal tree of purchase problem

因果樹是一種有效的分類和歸納方法，它具有很強(qiáng)的概括性，并能將形似信息與效用信息關(guān)聯(lián)起來，提升為全面的語義信息.

因果樹算法是多個(gè)條件因素對(duì)應(yīng)一個(gè)目標(biāo)因素，在條件因素互相關(guān)聯(lián)的條件下，得到條件因素對(duì)目標(biāo)因素的樹狀結(jié)構(gòu)，但是這種算法具有局限性，在實(shí)際應(yīng)用中常常需要考慮的是多個(gè)條件因素對(duì)多個(gè)目標(biāo)因素，所以就有了多目標(biāo)因果分析方法，多目標(biāo)因果分析方法是在因果樹算法的基礎(chǔ)上，利用鉆入決定度所得到的.多目標(biāo)因果分析方法避免了因果樹只解決一個(gè)目標(biāo)因素的局限性問題.

定義7如果因果規(guī)則后件中不完整，即因果規(guī)則只能得到條件因素對(duì)應(yīng)不完整的結(jié)果，則稱此因果規(guī)則是殘缺的．

定義8因素fi對(duì)所有目標(biāo)因素的總決定度ci，，其中，hir為第i個(gè)條件因素對(duì)第r個(gè)目標(biāo)因素的決定域所占行數(shù)，um為當(dāng)前劃分類所占的總行數(shù).

多目標(biāo)因果分析法步驟如下.

步驟1先將所有連續(xù)型的條件因素和目標(biāo)因素通過等步長(zhǎng)進(jìn)行離散化處理.

步驟2計(jì)算每個(gè)條件因素對(duì)所有的目標(biāo)因素的總決定度ci，找出總決定度最大的條件因素，用此條件因素的相域?qū)⒄撚駾進(jìn)行劃分；若出現(xiàn)決定類，就寫出相應(yīng)的因果規(guī)則，若是因果規(guī)則是不完整的，則繼續(xù)上述步驟，直到因果規(guī)則是完整的或者因素不能再分為止.

步驟3將所有因果規(guī)則進(jìn)行歸納，得到一棵因果樹.

2.2 目標(biāo)因素的降維算法

因果分析是多個(gè)條件因素對(duì)單一目標(biāo)所進(jìn)行的規(guī)則提取，多目標(biāo)因果分析是多條件因素對(duì)多個(gè)目標(biāo)所進(jìn)行的規(guī)則提取.目前算法是：對(duì)每個(gè)條件因素求出它對(duì)各個(gè)目標(biāo)因素的鉆入決定度而得到一個(gè)決定度向量.對(duì)這個(gè)向量定義某種范數(shù)（如本文前面所定義的總決定度），根據(jù)這個(gè)范數(shù)來選取因素對(duì)D中對(duì)象分類，將決定類轉(zhuǎn)化為推理句，如此巡回，直到全部論域都轉(zhuǎn)化為推理句.

目標(biāo)因素之間往往不是獨(dú)立的.如果它們不獨(dú)立，則可先在目標(biāo)因素之間進(jìn)行因果分析，如果目標(biāo)甲和乙決定目標(biāo)丙，則目標(biāo)丙就可以先拿開，僅對(duì)甲乙這兩個(gè)目標(biāo)來進(jìn)行因果分析，得到一組推理規(guī)則以后，再把目標(biāo)丙的相值按照目標(biāo)因素之間的關(guān)系填補(bǔ)回去.本文定義了降維映射和鉆入決定度降維，將未被選定的目標(biāo)因素進(jìn)行合取，分析合取因素對(duì)選定的目標(biāo)因素的鉆入決定度是否為1，進(jìn)行目標(biāo)因素的約簡(jiǎn)，此算法稱為目標(biāo)因素的降維算法.

（1）算法原理

定義9（降維映射） 論域D中有m個(gè)對(duì)象，r個(gè)目標(biāo)因素，目標(biāo)因素指標(biāo)集J：={1，…，r}，目標(biāo)函數(shù)集H0：={g1∧…∧gr}，目標(biāo)函數(shù)相I（H0），當(dāng)選出第j個(gè)目標(biāo)因素gj，j∈J，其余目標(biāo)因素的合取因素Hj：= ∧{gi|i∈J，i≠j}，如果函數(shù)f（I（Hj））能夠映射到函數(shù)f（I（gj）），即I（Hj）對(duì)I（gj）只有一對(duì)一和多對(duì)一關(guān)系，不存在一對(duì)多關(guān)系，則可以將gj進(jìn)行降維約簡(jiǎn).

其中，

定義10（鉆入決定度降維） 當(dāng)I（Hj）對(duì)I（gj）只有一對(duì)一和多對(duì)一關(guān)系，不存在一對(duì)多關(guān)系時(shí)，那么鉆入決定度Zj=1，此時(shí)可以將gj進(jìn)行目標(biāo)降維.

算法核心思想為鉆入決定度為1的時(shí)候，條件因素的取相完全決定了目標(biāo)因素的取相，是目標(biāo)降維的依據(jù).

算法降維原理如下.

① 給定多目標(biāo)因果分析的數(shù)據(jù)表，只看目標(biāo)因素列，記H0：={g1∧…∧gr}，將H0中任何一個(gè)拿出來當(dāng)做目標(biāo)因素，考察其余因素的合取因素對(duì)其的決定度是否為1.

求因素Hj對(duì)因素gj的決定度Zj.如果所有Zj＜1，則放棄目標(biāo)降維，用常規(guī)的多后件因果分析處理，否則，任意取定一個(gè)具有決定度Zj=1的因素Hj，記下相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，去掉目標(biāo)因素gj；

③ 對(duì)剩下的因素再重復(fù)這一過程，把Hj中任何一個(gè)因素拿出來當(dāng)做目標(biāo)因素，考察其余因素的合取因素對(duì)它的決定度是否等于1，若有，則繼續(xù)刪除目標(biāo)，直到不可再刪為止.

這樣就實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)降維的目的.按降維以后的目標(biāo)常用算法求多目標(biāo)因果分析，再按函數(shù)關(guān)系把被刪的目標(biāo)值一一補(bǔ)齊，就得到原多目標(biāo)因果分析算法所要得到的結(jié)果，但計(jì)算量卻減少很多.

（2）算法步驟

多目標(biāo)因果分析降維算法的步驟如下.

將所有連續(xù)型的條件因素和目標(biāo)因素通過等步長(zhǎng)進(jìn)行離散化處理.

設(shè)置目標(biāo)因素指標(biāo)集J:={1，…，r}.

步驟1對(duì)j∈J，記，計(jì)算合取因素Hj對(duì)gj決定度Zj（合因素的決定度怎樣計(jì)算，見下例）；若Zj，則在J中更換下一個(gè)指標(biāo)，若J中別無其它指標(biāo)，則轉(zhuǎn)向步驟2；若Zj=1，則寫出函數(shù)句（函數(shù)句的寫法，見下例）；將足碼j從J中刪掉；若|J|=1，則轉(zhuǎn)向步驟2；否則重新執(zhí)行步驟1.

步驟2將J中所剩下指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的因素作后件，整理并歸納得到的目標(biāo)取值的函數(shù)關(guān)系句.

2.3 多目標(biāo)因果分析降維算法

根據(jù)上文提出的目標(biāo)因素的降維算法，結(jié)合多目標(biāo)因果分析法，研究了目標(biāo)因素之間的關(guān)聯(lián)性，提出了多目標(biāo)因果分析降維算法.目標(biāo)因素之間的關(guān)聯(lián)性越強(qiáng)，算法的效果就越好，多目標(biāo)因果分析降維算法可以反映目標(biāo)因素之間的內(nèi)在聯(lián)系.

定義11（目標(biāo)因素之間的關(guān)聯(lián)性）目標(biāo)因素g1，g2，…，gr的背景關(guān)系R與目標(biāo)因素相域I（g）:=I（g1） ×I（g2） × … ×I（gr）（去掉虛組態(tài)）是否相等，如果R=I（g），則稱g1，g2，…，gr是相對(duì)獨(dú)立的.如果R≠I（g），則稱目標(biāo)因素g1，g2，…，gr之間有關(guān)聯(lián)，關(guān)聯(lián)指標(biāo)σ：= |R|-|I（g）|，σ越大，目標(biāo)因素之間的關(guān)聯(lián)性越強(qiáng)，其中|R|，|I（g）|分別為R和 （）Ig的種類個(gè)數(shù).

多目標(biāo)因果分析降維算法步驟如下.

步驟1先將所有連續(xù)型的條件因素和目標(biāo)因素進(jìn)行離散化處理，例如通過等步長(zhǎng)作離散化.

步驟2對(duì)目標(biāo)因素進(jìn)行關(guān)聯(lián)性計(jì)算.

步驟3對(duì)j∈J，記，計(jì)算合取因素Hj對(duì)jg的決定度Zj；若Zj＜1，則在J中更換下一個(gè)指標(biāo)，若J中別無其它指標(biāo)，則轉(zhuǎn)向步驟4；若Zj=1，則寫出目標(biāo)取值的函數(shù)關(guān)系句；將足碼j從J中刪掉；若，則轉(zhuǎn)向步驟4；否則重新執(zhí)行步驟3.

步驟4將J中所剩下指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的因素作后件，整理并歸納得到的目標(biāo)取值的函數(shù)關(guān)系句.

步驟5計(jì)算每個(gè)條件因素對(duì)所有的目標(biāo)因素（目標(biāo)因素是步驟4中的降維后的后件）的總決定度ci，找出總決定度最大的條件因素，用此條件因素的相域?qū)⒄撚駾進(jìn)行劃分；若出現(xiàn)決定類，則寫出相應(yīng)的因果規(guī)則，若是因果規(guī)則是不完整的，則繼續(xù)上述步驟，直到因果規(guī)則是完整的或者因素不能再分為止.

步驟6將所有因果規(guī)則進(jìn)行歸納，按照步驟4中的函數(shù)關(guān)系句補(bǔ)齊因果規(guī)則，得到一棵因果樹.

3 實(shí)例驗(yàn)證

用一個(gè)實(shí)例驗(yàn)證本文給出的多目標(biāo)因果分析降維算法.對(duì)于超市用戶的消費(fèi)情況進(jìn)行因果規(guī)則提取，條件因素有年齡、收入、職業(yè)、還貸能力4個(gè)，目標(biāo)因素有消費(fèi)金額、消費(fèi)狀況、消費(fèi)間隔3個(gè).超市用戶的因素分析數(shù)據(jù)見表1.

表1 超市用戶的因素分析 Tab.1 factor analysis of supermarket users

表1有4個(gè)條件因素.

表1有3個(gè)目標(biāo)因素分別具有相域.

（1）多目標(biāo)因果分析降維算法

步驟1首先確定目標(biāo)因素之間的關(guān)聯(lián)性，目標(biāo)因素相域I（g）={（111），（112），（212），（221），（311），（322）}（去掉虛擬態(tài)）共有6個(gè)組態(tài)，目標(biāo)因素背景關(guān)系

共有12個(gè)相組合，所以|R|，|I（g）|分別為12和6，σ=|R|- |I（g）|= 6，表明這3個(gè)目標(biāo)因素之間有強(qiáng)關(guān)聯(lián)性.

多目標(biāo)因果分析降維算法：設(shè)置目標(biāo)因素指標(biāo)集J：= {1，2，3}.

步驟2取j= 1，記H1=g2∧g3，計(jì)算合取因素H1對(duì)g1的決定度Z1，合取因素g2∧g3的相值是表中右2與右1兩列相值的組合.例如用戶1的合取相值是向量（2，2），用戶2的合取相值是向量（1，2）.全體用戶的相應(yīng)相值共有（2，2），（1，2），（2，1）和（1，1）4類.要使11Z=，當(dāng)且僅當(dāng)這4類都能鉆入由1g所分出的類，現(xiàn)在（2，2）類所對(duì)應(yīng)的1g值都是3，（1，2）類所對(duì)應(yīng)的1g值是2，（2，1）類所對(duì)應(yīng)的1g值是2，都鉆入了1g的類，但是，（1，1）類的1g值為1或者3，不能鉆入1g的類，因而11Z＜.程序要求在J中更換下一個(gè)指標(biāo)2，重新執(zhí)行步驟1.

取j=2，記H2=g1∧g3，計(jì)算合取因素H2對(duì)g2的決定度Z2，這里合取因素g2∧g3的相值是表中右3與右1兩列相值的組合.全體用戶的相值共有（3，2），（3，1），（2，2），（2，1），（1，1）和（1，2）共6類.（2，2）類、（1，1）類，（3，1）類和（1，2）類所對(duì)應(yīng)的g2值都是1，（2，1）類和（3，2）類所對(duì)應(yīng)的g2值都是2，都鉆入了g2的類，因而Z2= 1.于是，目標(biāo)g2可以被視為g2的函數(shù)，寫成目標(biāo)取值的函數(shù)關(guān)系句如下.

記下這組推理句以后，把2從J中刪除，變?yōu)镴= {1 ,3}；重新執(zhí)行步驟1.

取j=1，有H1=g3，此時(shí)，需要判斷H1=g3對(duì)g1的決定度是否為1，因g3= 2時(shí)g1可以取值為1，也可以取值為2或3，故知決定度不可能等于1；按照程序，從中取出另一個(gè)指標(biāo)，取j= 3，有H3=g1，需要判斷H3=g1對(duì)g3的決定度是否為1，因g1=3時(shí)g3有時(shí)取2有時(shí)取1，故知決定度不可能等于1；按照程序，轉(zhuǎn)向步驟3.

步驟3降維后的后件是J中現(xiàn)有的指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)因素g1和g3，前件是f1，f2，f3，f4，目標(biāo)取值的函數(shù)關(guān)系句是（I）～（VI）.

步驟4（1）先判斷f1對(duì)g1是否存在決定類.當(dāng)f1以“老”為相，看g1的相是否相同，表1中，用戶1和用戶5的I（f1）為“老”，他們的I（g1）分別為3和2，因?yàn)椴煌?，所以“老”不是f1的一個(gè)決定類；用戶2和用戶4的I（f1）為“中”，他們的I（g1）分別為2和1，所以“中”也不是f1的一個(gè)決定類；用戶3、用戶7、用戶8、用戶10和用戶13的I（f1）為“青”，且I（g1）均為3，所以f1對(duì)g1存在決定類，決定類中的對(duì)象個(gè)數(shù)為5.同理可知，f1對(duì)g3不存在決定類，所以f1一列記為（5，0）=5.類似地，可以判斷f2，f3，f4對(duì)g1和g3是否存在決定類，在此不再細(xì)算，直接給出結(jié)果，f2一列記為（4，0）=4；f3一列記為（4，0）=4；f4一列記為（6，9）=15，由于f4取值最大，所以選擇f4作為下一步劃分.

（2）對(duì)f4進(jìn)行劃分，劃分結(jié)果如下.

（3）重復(fù)第一步，分別計(jì)算I（f4）為“可”和I（f4）為“好”的用戶.

先計(jì)算I（f4）為“可”的那三行的總決定度，直接給出結(jié)果，f1一列記為（3，3）=6，總決定度為2；f2一列記為（1，3）=4，總決定度為4/3；f3一列記為（1，3）=4，總決定度為4/3；f4一列記為（0，3）=3，總決定度為1.

f1的總決定度最大，在I（f4）為“可”的前提下，繼續(xù)按f1進(jìn)行劃分，劃分結(jié)果如下.

繼續(xù)計(jì)算I（f4）為“好”的那六行的總決定度，直接給出結(jié)果，在I（f4）為“好”的前提下，劃分結(jié)果如下.

步驟5將所有因果規(guī)則進(jìn)行歸納，并畫出最后的因果樹.

10條因果規(guī)則：差→32；可青→31；可中→11；可老→21；好青→31；好中高→11；好中平師→22；好中平商→12；好老師→12；好老商→11.

上述得到的因果規(guī)則只包含兩個(gè)目標(biāo)因素，要想得到被約簡(jiǎn)的目標(biāo)的取值情況，參照目標(biāo)取值的函數(shù)關(guān)系句（I-VI）來補(bǔ)齊.例如，把關(guān)系（I）（g1=3且g3=2）→g2=2；連接在因果規(guī)則（1）之后，便有：f4差→g1為3，g3為2→g2=2，寫成補(bǔ)齊式.

（1） I（f4） =差→ I（g1） =3，I（g2） =2，I（g3） =2.（根據(jù)（I））

類似地有

（2） I（f4）=可，I（f1）=青→I（g1）=3，I（g2）=1，I（g3）=1.（根據(jù)（II））

（3） I（f4）=可，I（f1）=中→ I（g1）=1，I（g2）=1，I（g3）=1.（根據(jù)（V））

（4）I（f4）=可，I（f1）=老→I（g1）=2，I（g2）=2，I（g3）=1.（根據(jù)（IV））

（5）I（f4）=好，I（f1）=高→I（g1）=1，I（g2）=1，I（g3）=1.（根據(jù)（V））

多目標(biāo)因果樹，見圖2.

圖2 多目標(biāo)因果樹 Fig.2 multiple target causality tree

（2）算法對(duì)比

利用常規(guī)的多目標(biāo)因果分析法，進(jìn)行超市用戶消費(fèi)情況的因果規(guī)則提取，具體步驟不再描述，得到的結(jié)果與多目標(biāo)因果分析法相同，接下來對(duì)比常規(guī)多目標(biāo)因果分析法和帶有目標(biāo)降維的多目標(biāo)因果分析法的計(jì)算時(shí)間和計(jì)算次數(shù)，見表2.

表2 兩種算法的計(jì)算對(duì)比 Tab.2 calculation comparison of two algorithms

從表2中可以看出，多目標(biāo)因果分析降維算法的計(jì)算時(shí)間和計(jì)算次數(shù)均小于多目標(biāo)因果分析，且兩種算法的計(jì)算結(jié)果也相同，表明多目標(biāo)因果分析降維算法的計(jì)算效率更好，有效地降低了計(jì)算的繁雜性.

4 結(jié)論

（1）定義了降維映射和鉆入決定度降維，將未被選定的目標(biāo)因素進(jìn)行合取，做到了目標(biāo)降維，得到了目標(biāo)因素的降維算法.

（2）在目標(biāo)因素降維算法的基礎(chǔ)上，定義總決定度，研究目標(biāo)因素之間的關(guān)聯(lián)性，并給出了關(guān)聯(lián)指標(biāo)的定義，結(jié)合多目標(biāo)因果分析法，提出多目標(biāo)因果分析降維算法.

（3）利用某超市數(shù)據(jù)，進(jìn)行實(shí)例分析，證明多目標(biāo)因果分析降維算法具有實(shí)用性和有效性，并為多目標(biāo)優(yōu)化帶來新方法.