薛勝寒，郭嗣琮

（1. 遼寧工程技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 阜新 123000；2. 遼寧工程技術(shù)大學(xué) 智能工程與數(shù)學(xué)研究院，遼寧 阜新 123000）

0 引言

模糊推理的合成推理方法（Compositional Rule of Inference，CRI）是由ZADEH L A于1973年的提出[1]，它不僅是模糊系統(tǒng)控制重要的理論基礎(chǔ)，還廣泛應(yīng)用在故障檢測、醫(yī)療診斷、自動駕駛、金融分析、風(fēng)險預(yù)測等領(lǐng)域，發(fā)揮著越來越重要作用.

在稀疏規(guī)則庫條件下，推理規(guī)則前件因素的狀態(tài)域不能被規(guī)則庫的前件狀態(tài)所覆蓋的時候，即規(guī)則前件的隸屬函數(shù)之間就會出現(xiàn)空隙，因而，由于缺少相應(yīng)的推理依據(jù)使得傳統(tǒng)的模糊推理方法遇到困難.在此基礎(chǔ)上，KOCZY L和HIROTA K[2]最早提出了KH線性插值推理方法，解決了模糊規(guī)則庫呈稀疏狀態(tài)下的模糊推理問題.但眾多學(xué)者發(fā)現(xiàn)KH線性插值推理方法并不能保證最后推理結(jié)果的隸屬函數(shù)是一個正規(guī)凸集，于是，提出了很多改進的插值推理方法.王天江[3]等提出了相似插值推理方法，該方法基于隸屬函數(shù)圍成的圖形，更具有直觀性.WANG Baowen[4]等提出了Lagrange插值推理方法，基于各種類型的函數(shù)有著不同的計算公式，雖計算簡便，但推導(dǎo)較復(fù)雜.HUANG Zhiheng[5]等提出的重心插值推理方法，通過確定隸屬函數(shù)的重心、位移參數(shù)與尺度參數(shù)進行推理，是目前被研究較多的方法.除此之外，劉文遠[6]等提出了基于核集與相似性的模糊插值推理方法.文獻[7]～文獻[9]提出了基于排序和相似度度量的自適應(yīng)模糊插值.

由于在模糊推理實際應(yīng)用中，各因素狀態(tài)幾乎都是實數(shù)變量，因素所表現(xiàn)的模糊狀態(tài)也都是模糊數(shù).受以上研究啟發(fā)，基于筆者提出結(jié)構(gòu)元理論[10]，提出新的稀疏規(guī)則庫插值推理方法.該方法在保證推理結(jié)果正規(guī)性與凸性的基礎(chǔ)上，避免了用α-截集方法求得結(jié)果，并使得推理運算更為簡便.

1 預(yù)備知識

1.1 KH插值推理方法

已知的推理規(guī)則是模糊推理的依據(jù)，規(guī)則越豐富，對給定小前提的推理結(jié)論越容易產(chǎn)生.稀疏模糊規(guī)則庫就是推理前件因素不能覆蓋整個前提論域，以如下的模糊推理為例.

規(guī)則1 如果天氣溫度是熱的，則電風(fēng)扇是暢銷的.

規(guī)則2 如果天氣溫度是涼的，則電風(fēng)扇是滯銷的.

小前提 現(xiàn)在的天氣溫度是正常的 結(jié)論 則電風(fēng)扇是?

上述的推理可以表述為

式中，A1，A2，A′為論域X上的一組有序模糊集，B1，B2，B′為論域Y上的有序模糊集，有A′≠A1，A′≠A2且A1＜A′＜A2.

當(dāng)小前提與已知規(guī)則的前件沒有重疊部分時，稱推理規(guī)則是稀疏的，傳統(tǒng)的模糊推理方法無法產(chǎn)生出結(jié)論，KOCZY和HIROTA[2]提出的KH線性插值推理方法就是試圖解決這類問題.

所謂線性插值推理，就是按照模糊集距離的比例關(guān)系，來確定推理結(jié)論B′的方法.

假定論域X上的兩個模糊集A1和A2有序關(guān)系A(chǔ)1＜A2，A1和A2的α-截集（α∈[0，1]）A1α和A2α之間的的上限距離dL和下限距離dU分別定義為

根據(jù)模糊集分解定理，式（2）被重寫為

將式（3）、式（4）分別代入到式（5）、式（6）中得

然而，在一些情況下，由此得到的推理結(jié)論B′不是一個正規(guī)凸模糊集，見圖1.

圖1 KH插值推理方法不合理的結(jié)論 Fig.1 unreasonable conclusions of KH interpolation inference method

1.2 模糊結(jié)構(gòu)元與模糊數(shù)

定義1設(shè)E是實數(shù)域R上的模糊集，其隸屬函數(shù)記為E（x），x∈R.若滿足下述性質(zhì).

（2）當(dāng) -∞＜x＜-1 且1 ＜x＜+∞時，E（x）=0.

（3）在區(qū)間[-1，0）上，E（x）是單增右連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間（0，1]上E（x）是單降左連續(xù)函數(shù)，則稱模糊集E為R上的模糊結(jié)構(gòu)元[10].

若滿足E（x）=E（-x），則稱E為R上的對稱型模糊結(jié)構(gòu)元.

稱模糊集E為三角結(jié)構(gòu)元，若具有隸屬函數(shù)

定理1（局部映射原理）設(shè)E是R上的任意模結(jié)構(gòu)元，具有隸屬函數(shù)E（x），又設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是單調(diào)有界的，（x）是f（x）的延拓集值函數(shù)，則（E）是R上有界閉模糊數(shù)，且（E）的隸屬函數(shù)為E（f-1（x）），這里f-1（x）是f（x）關(guān)于變量x和y的輪換對稱函數(shù)（若f（x）是連續(xù)嚴(yán)格單調(diào)的，則f-1（x）是f（x）的反函數(shù)）.在不引起混淆的情況下，記（x）為f（x）[10].

定理2（模糊數(shù)的結(jié)構(gòu)元表現(xiàn)定理）對于給定的正則模糊結(jié)構(gòu)元E和任意的有界閉模糊數(shù)A，總存在一個在[-1，1]上的單調(diào)有界函數(shù)f，使得A=f（E）[10].

在模糊插值推理中，常用三角模糊數(shù)與梯形模糊數(shù)，下面具體給出它們的結(jié)構(gòu)元表達形式.

（1）A=f（E）是對稱三角模糊數(shù)，取E為三角結(jié)構(gòu)元，f（x）為 用特征點法表示A，記A=（α0，α1，α2），見圖2（a），則a=α1，b=α1-α0.

圖2 三角形與梯形模糊數(shù)的特征點 Fig.2 characteristic points of triangle and trapezoid fuzzy numbers

（2）A=f（E）是非對稱三角模糊數(shù)，取E為三角結(jié)構(gòu)元，f（x）表達為

用特征點法表示A，記A=（α0，α1，α2），見圖2（a），則

（3）A=f（E）是梯形模糊數(shù)，取E為三角結(jié)構(gòu)元，f（x）表達為

若a＜c，b=d，A=f（E）為對稱梯形模糊數(shù)；若a＜c，b≠d，A=f（E）為非對稱梯形模糊數(shù).

用特征點法表示A，記A=（α0，α1，α2，α3），見圖2（b），則a=α1，b=α1-α0，c=α2，d=α3-α2.

2 基于結(jié)構(gòu)元方法的模糊插值推理

由于推理結(jié)果B′對應(yīng)的單調(diào)函數(shù)恒是遞增的，所以基于結(jié)構(gòu)元理論的模糊插值推理方法保證了推理結(jié)論隸屬函數(shù)的凸性與正規(guī)性.將模糊數(shù)的運算利用結(jié)構(gòu)元理論轉(zhuǎn)換為單調(diào)函數(shù)的運算，無需分別求上限距離與下限距離，并且避免了用α-截集的方法求得結(jié)果，簡便了推理運算.

在模糊插值推理中，推理規(guī)則前件與后件模糊集A與B常為語言變量值，且這些語言變量多用實數(shù)域中的模糊數(shù)進行表示，下面給出具體算法的描述.

2.1 模糊數(shù)的線性運算與距離

由模糊結(jié)構(gòu)元理論知[9]，設(shè)E是一個模糊結(jié)構(gòu)元，f（x）和g（x）是[-1，1]上兩個同序單調(diào)函數(shù)，使得模糊數(shù)A=f（E），B=g（E），則有

例1設(shè)A，B為對稱三角模糊數(shù)，選取三角模糊結(jié)構(gòu)元E，模糊數(shù)A，B可用結(jié)構(gòu)元E線性表達，即存在實數(shù)a1，b1，a2，b2，使得A=a1+b1E，B=a2+b2E，則

基于結(jié)構(gòu)元理論，定義一種模糊數(shù)距離.

定義2設(shè)E是一個模糊結(jié)構(gòu)元，f（x）和g（x）是 [-1，1]上兩個同序單調(diào)函數(shù)，使得模糊數(shù)A=f（E），B=g（E），定義模糊數(shù)A，B的距離為

式中，D= max{f（1），g（1）} - min{f（-1），g（-1）}為f（x）和g（x）域值.

容易證明，式（17）滿足距離的3條公理，此處證略.

取E為三角結(jié)構(gòu)元，可以得到模糊插值推理中常用的三角模糊數(shù)與梯形模糊數(shù)距離公式.

（1）設(shè)A=f（E），B=g（E）為對稱三角模糊數(shù)，

其中f（x）=a1+b1x，g（x）=a2+b2x，這里a1，b1，a2，b2為實數(shù)，b1＞0，b2＞0，則模糊數(shù)A，B的距離為

式中，D= max{（a1+b1），（a2+b2）} - min{（a1-b1），（a2-b2）}.

（2）設(shè)A=f（E），B=g（E）是非對稱三角模糊數(shù)，

式中，a1，b1，a2，b2，c1，c2為實數(shù)，b1＞0，b2＞0，c1＞0，c2＞0，則模糊數(shù)A，B的距離為

（3）設(shè)A=f（E），B=g（E）是梯形模糊數(shù)，

式中，a1，b1，a2，b2，c1，c2，d1，d2為實數(shù)，a1≤c1，a2≤c2，b1≥0，b2≥0，d1≥0，d2≥0，則模糊數(shù)A，B距離為

2.2 單維插值推理

給定式（1）的推理模型，其中，A1，A2，A′和B1，B2，B′分別為推理前件論域X和結(jié)論論域Y上的模糊數(shù)，且A1＜A′＜A2.

取三角結(jié)構(gòu)元E，隸屬函數(shù)見式（9），模型中模糊數(shù)可表示為A1=f1（E），A2=f2（E），A′=f0（E），B1=g1（E），B2=g2（E）.在式（18）至式（20）中，根據(jù)模糊數(shù)的類型選取對應(yīng)的公式，求出小前提與各規(guī)則前件的距離.根據(jù)兩個模糊規(guī)則之間的線性插值定義為

可得

由式（14）可知，式（21）可轉(zhuǎn)化為對應(yīng)單調(diào)函數(shù)的運算

記

則

于是有

則B′=g0（E），具有隸屬函數(shù)

2.3 多維插值推理

上述方法可推廣到多維插值推理模型中.假設(shè)推理前件存在m個推理變量fk（k=1，…，m），推理后件為一個結(jié)論變量v，已知n條由數(shù)據(jù)挖掘等方法得到的推理規(guī)則.變量fk與變量v的狀態(tài)集為實數(shù)集合Xk與Y，Ak’與Aki（k=1，…，m；i=1，…，n）為Xk上的模糊數(shù)，B’與Bi=（i=1，…，n）為Y上的模糊數(shù).

多維模糊插值推理結(jié)構(gòu)寫成如下推理形式.

規(guī)則1 若f1是A1n且f2是A21且…且fm是Am1，

則v是B1.

規(guī)則2 若f1是A12且f2是A22且…且fm是Am2，

則v是B2.

……

規(guī)則n若f1是A1n且f2是A2n且…且fm是Amn，則v是Bn.

小前提 若f1是 1A′且f2是 2A′且…且fm是mA′，結(jié)論g是B′.

將其簡寫為

特別說明的是，在推理模型中不存在前件相同而結(jié)果不同的推理規(guī)則.

取三角結(jié)構(gòu)元E，則推理模型中的模糊數(shù)可表示為Aki=fki（E），Ak0=fk0（E），Bi=gi（E），B′=g0（E）分別計算小前提與各條規(guī)則推理前件距離di（i=1，···，n）.

先求前件中每個變量取值之間的距離

再求

式中，

為第k個前件變量fk的域值.

給定閾值τ，選出距離小于τ的s（2≤s≤n）條規(guī)則進行下一步驟的計算.

記距離小于τ的s條規(guī)則為R1，…，Ri，…，Rs，利用第一步求得的小前提與各條規(guī)則推理前件的距離di，計算Aki的權(quán)重kiw′∈[0，1].權(quán)重計算方法如下

計算插值推理結(jié)論

式中，

3 算例

下面以對稱三角模糊數(shù)為例，說明多維插值推理方法的計算過程.設(shè)推理規(guī)則見表1.

表1 已知規(guī)則 Tab.1 known rules

取三角結(jié)構(gòu)元E，利用模糊數(shù)的結(jié)構(gòu)元表示方法，表1所示的推理規(guī)則也可以表示為表2形式.

表2 已知規(guī)則的結(jié)構(gòu)元表示 Tab.2 structural element representations of known rules

其結(jié)構(gòu)元表示為

利用式（17），得到小前提與各條規(guī)則推理前件的距離分別為d1=0.282 2，d2=0.143 0，d3=0.315 6，這里取τ=0.3，則距離小于τ規(guī)則為2條，分別為規(guī)則1與規(guī)則2.

根據(jù)式（29）計算后件B1，B2的權(quán)重為

則推理的結(jié)論為

用特征點法表示為B′=（7.4，8.2，9.0）.

4 結(jié)論

（1）基于模糊結(jié)構(gòu)元理論定義了新的模糊數(shù)距離公式，構(gòu)造了單變量與多變量的稀疏規(guī)則庫插值推理方法.

（2）給出多變量情況下的算例，證明該方法保證了推理結(jié)果的正規(guī)性與凸性，避免了用α-截集的方法求得推理結(jié)論，簡化了推理運算，并降低了推理運算的復(fù)雜度.