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瑞士兒童心理學(xué)家皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論認(rèn)為，7～12歲兒童的思維處于“具體運(yùn)算階段”，這個(gè)階段的基本特點(diǎn)，是逐步從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡，但抽象邏輯思維在很大程度上仍然具有具體形象性。根據(jù)兒童的思維發(fā)展規(guī)律，筆者認(rèn)為，小學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維主要表現(xiàn)為表征性抽象思維。

一、兒童數(shù)學(xué)表征性抽象思維的內(nèi)涵及價(jià)值

表征性抽象反映為人們概括出事物量（數(shù)量關(guān)系和空間形式）的特征，不斷建構(gòu)起基本的概念、關(guān)系等。它高于生動(dòng)直觀而又基于生動(dòng)直觀，是以表征性抽象思維為基礎(chǔ)，再通過歸納事物的因果性和規(guī)律性，得到更高級的定律、原理等，不斷建構(gòu)新的數(shù)學(xué)體系的思維發(fā)展過程，是更深層次的原理性抽象。（如圖1）

小學(xué)生的抽象思維以表征性抽象思維為主。它是兒童抽象思維發(fā)展的起步和重要基礎(chǔ)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)要求，也踐行了兒童深度學(xué)習(xí)的真實(shí)效用，更是提升兒童核心素養(yǎng)的必然選擇。表征性抽象思維是兒童在長期的學(xué)習(xí)過程中能“抓得住”“帶得走”“用得上”的關(guān)鍵能力。兒童數(shù)學(xué)表征性抽象思維的發(fā)展，體現(xiàn)出直覺向邏輯過渡、具象與抽象交融、散點(diǎn)到結(jié)構(gòu)建立的特點(diǎn)。

二、培養(yǎng)兒童數(shù)學(xué)表征性抽象思維的實(shí)踐路徑

（一）意識凝聚——聚焦兒童數(shù)學(xué)表征性抽象思維的萌發(fā)

1.強(qiáng)化表象，課堂留白，有向激發(fā)思維原動(dòng)力。

真正有價(jià)值的課堂既要有師生雙向積極、有效、高質(zhì)量的互動(dòng)，也要把握好抽象的時(shí)機(jī)，以課堂留白引發(fā)學(xué)生思維上的“重彩”，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)經(jīng)歷由具體情境觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程，充分激活學(xué)生思維的原動(dòng)力。如教學(xué)蘇教版三上《認(rèn)識分?jǐn)?shù)》一課，針對圖2，筆者設(shè)計(jì)了三個(gè)問題：（1）“科學(xué)天地”約占黑板報(bào)版面的幾分之幾？（2）在空白處設(shè)計(jì)一個(gè)“藝術(shù)園地”，占黑板報(bào)版面的四分之一；（3）剩余部分再設(shè)計(jì)兩個(gè)同樣大小的欄目，它們大約占黑板報(bào)版面的幾分之幾？這處課堂留白對學(xué)生提出了更高的表征性抽象要求，能加深學(xué)生對分?jǐn)?shù)本質(zhì)意義的認(rèn)識，拓展他們的思維空間。

（圖2）

2.符號意識，表達(dá)留心，刻意觸及抽象敏感點(diǎn)。

英國數(shù)學(xué)家羅素說過：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號加邏輯。”教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)注意讓學(xué)生經(jīng)歷“具體事物—個(gè)性化的符號表示—數(shù)學(xué)地表示”的學(xué)習(xí)過程。如教學(xué)蘇教版一上《認(rèn)識幾和第幾》一課時(shí)，有這樣一個(gè)問題：小明前面有3人，后面有3人，這一隊(duì)一共有（ ）人。對一年級學(xué)生來說，他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)多依賴于直觀感受，表征性抽象能力幾乎為零。因此，筆者讓學(xué)生擺一擺、畫一畫。一年級下學(xué)期再次遇到類似的問題：從排頭數(shù)，小紅在第15個(gè)；從排尾數(shù)，小紅在第20個(gè)，這一隊(duì)一共有（ ）個(gè)人？此時(shí)，不少學(xué)生自覺地通過畫圖來解答問題，他們對問題的表達(dá)在慢慢地向數(shù)學(xué)表示靠攏。這有賴于一年的數(shù)學(xué)知識積累和教師對表征性抽象看似無意實(shí)則有意的滲透和引導(dǎo)。

3.操作引悟，思考留痕，逐步增強(qiáng)圖式建構(gòu)力。

數(shù)學(xué)操作不能為了操作而操作，而應(yīng)以操作感知為明線，以感悟抽象為隱線，明隱兩條線齊行，有方向、有目的地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。在教學(xué)中，教師應(yīng)注意以實(shí)踐操作為橋梁，助推兒童在感悟中自主建構(gòu)圖式。如教學(xué)蘇教版二上《認(rèn)識角》一課，筆者以引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作貫穿課堂始終：（1）讓學(xué)生在物體表面找到角并摸一摸對應(yīng)角的輪廓，正確示范摸角的方式；（2）設(shè)計(jì)角的位置變換活動(dòng)，呈現(xiàn)角的變式；（3）設(shè)計(jì)、制作活動(dòng)角并比較角的大小，引導(dǎo)學(xué)生在激烈的認(rèn)知沖突中感悟到“僅邊的長短發(fā)生變化，不會(huì)引起角的大小變化”。

（二）思維扎根——夯實(shí)兒童數(shù)學(xué)表征性抽象思維發(fā)展的基礎(chǔ)

1.初嘗數(shù)學(xué)模型建構(gòu)，由直觀向抽象跨越。

在教學(xué)中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，即自然剝除情境中的非數(shù)學(xué)成分，立足規(guī)律本身，從而形成結(jié)構(gòu)。如教學(xué)蘇教版四上《加法交換律》一課時(shí)，筆者順勢追問：“你還能再寫幾個(gè)形如‘（ ）+（ ）=（ ）+（ ）’這樣的算式嗎？”由例引發(fā)，學(xué)生列舉了很多“交換兩個(gè)加數(shù)位置，和不變”的算式，加法交換律的概念油然而生。但筆者覺得，此時(shí)說概念模型已經(jīng)建構(gòu)完成還為時(shí)尚早，學(xué)生只是暫時(shí)形成了表象。于是，筆者繼續(xù)引導(dǎo)：“你能用自己喜歡的方式表示出加法交換律嗎？”學(xué)生各抒己見，有的說：“可以畫圖表示，○+△=△+○?！庇械恼f：“可以用文字表示，甲數(shù)+乙數(shù)=乙數(shù)+甲數(shù)?！边€有的說：“可以用字母表示，a+b=b+a?！苯處燀槃葑寣W(xué)生比較三種表示方法的簡潔性，聚焦產(chǎn)生加法交換律的模型，感悟用字母表示的優(yōu)越性。

2.高度融合數(shù)學(xué)思想，促思路與思維鏈接。

兒童的數(shù)學(xué)思考應(yīng)具有“百川東到海”的高度融合性，將猜想、假設(shè)、求證、轉(zhuǎn)化、推理、抽象等數(shù)學(xué)思想融會(huì)貫通，剝除事物的非數(shù)學(xué)成分，尋到其本質(zhì)屬性。如一年級找規(guī)律填數(shù)：2，1，4，3，6，5，（ ），（ ），10，9，（ ），（ ）……學(xué)生首先常規(guī)性地尋找兩數(shù)相差幾這樣的規(guī)律，他們在此運(yùn)用了猜測和假設(shè)的數(shù)學(xué)思想，雖然可能是無意識的。第一次猜想失敗后，學(xué)生猜測其中是否存在著間隔著排列的規(guī)律，雙數(shù)項(xiàng)：2，4，6，（ ），10，（ ）……單數(shù)項(xiàng)：1，3，5，（ ），9……這里還需假設(shè)和求證的思想。由上可知，對兒童滲透猜想、假設(shè)、論證等數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)兒童數(shù)學(xué)思維發(fā)展，應(yīng)由始至終連續(xù)推進(jìn)。

3.適時(shí)引發(fā)思維遷移，由學(xué)知向創(chuàng)造轉(zhuǎn)化。

在教學(xué)中，教師應(yīng)注意引領(lǐng)兒童經(jīng)歷表征性抽象的錘煉過程，內(nèi)化數(shù)學(xué)模型，并順勢引發(fā)模型應(yīng)用的契合點(diǎn)。如教學(xué)蘇教版三上《間隔排列》一課，有學(xué)生提出：“我們之前通過舉例找到了規(guī)律（如圖3），學(xué)完間隔排列后，我發(fā)現(xiàn)其實(shí)就是木段與刀之間的間隔排列（如圖4）?！睂W(xué)生思維的敏銳性讓人驚嘆，培養(yǎng)兒童數(shù)學(xué)表征性抽象思維的目的也是學(xué)以致用，激發(fā)其創(chuàng)新能力。

（三）品格提升——落實(shí)兒童數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)

1.整體把握，循序漸進(jìn)——促表征性抽象層級逐步遞進(jìn)。

教材的內(nèi)容設(shè)計(jì)遵循兒童的思維發(fā)展規(guī)律，教師要不斷鉆研教材，對兒童不同階段的抽象思維發(fā)展要求了然于胸。如教學(xué)蘇教版“位置”或“方向”相關(guān)的內(nèi)容，教師應(yīng)整體考量教材中“位置與方向”相關(guān)知識點(diǎn)的抽象層級（如文末圖5），明確兒童表征性抽象思維逐步形成的軌跡，從低年級到高年級，引導(dǎo)兒童循序漸進(jìn)地經(jīng)歷四次螺旋上升的抽象發(fā)展過程。

2.關(guān)注差異，眾口可調(diào)——促表征性抽象思維共同發(fā)展。

教師還應(yīng)關(guān)注兒童表征性抽象思維水平的差異性，準(zhǔn)確把握學(xué)生的認(rèn)知水平和身心發(fā)展特點(diǎn)，有針對性地展開多層次教學(xué)，讓每個(gè)兒童的思維都能得到提升。如教學(xué)蘇教版六上“圓柱”時(shí)，有這樣一道題目：一個(gè)底面周長18.84cm、高3cm的圓柱體，沿底面半徑平均分成若干小份，拼成一個(gè)近似的長方體，表面積比原來增加了多少？筆者首先鼓勵(lì)學(xué)生想象動(dòng)態(tài)的切、拼過程，然后適時(shí)利用多媒體動(dòng)態(tài)展示并呈現(xiàn)直觀圖（如圖6）。之后再次追問：“如果將圓柱切一刀，它的表面積可能發(fā)生怎 樣的變化？”學(xué)生產(chǎn)生兩種不同的想法：（1）沿著底面直徑切，分成兩半（如圖7），它的表面積就比原來增加了兩個(gè)長方形的面積之和；將圓柱橫著切，切成兩個(gè)圓柱（如圖8），表面積就增加了兩個(gè)圓的面積。接著，筆者再次引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行想象，這一次，有更多學(xué)生能夠自主構(gòu)建直觀模型。然后，課件動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)上述兩種切法的直觀圖，完善兒童的抽象。最后，再次要求學(xué)生脫離形象直觀，在腦海中構(gòu)建上述直觀模型，促進(jìn)他們實(shí)現(xiàn)深刻理解。

（圖7）

（圖8）

3.夯實(shí)基礎(chǔ)，自然銜接——促表征性抽象延伸至原理性。

原理性抽象思維是對事物和現(xiàn)象的內(nèi)在聯(lián)系經(jīng)由抽象形成原理的思維。例如數(shù)的發(fā)展，學(xué)前教育重在具體數(shù)數(shù)，認(rèn)識事物的多少、大小、輕重等；一年級抽象成1、2、3、4等自然數(shù)；三年級拓展到分?jǐn)?shù)、小數(shù)；五年級拓展到負(fù)數(shù)，形成數(shù)的集合表征性抽象概念；中學(xué)則進(jìn)一步進(jìn)行原理性抽象，提出函數(shù)概念，表示常量與變量之間的變化原理和規(guī)律。這一過程充分演繹了人的思維水平是怎樣從低級走向高級的，體現(xiàn)了抽象的高度概括性。

綜上所述，表征性抽象思維的發(fā)展具有承上啟下的作用。它從直觀中來，向更深層次的抽象中走去。教師培養(yǎng)兒童的數(shù)學(xué)表征性抽象思維，應(yīng)沿著意識凝聚、思維扎根、品格提升等路徑逐漸推進(jìn)，在持之以恒中“靜待花開”。