谷偉莉，馬 欣

(河南工程學(xué)院 理學(xué)院，河南 鄭州 451191)

三角范疇和Abel范疇是代數(shù)和幾何中的兩個基本結(jié)構(gòu)。Beǐlinson等[1]引入了三角范疇和Abel范疇的黏合概念，其在代數(shù)和幾何中扮演著重要角色。范疇的黏合體現(xiàn)了一個范疇由兩個范疇黏合而成的思想，該思想使黏合成為數(shù)學(xué)研究的一個基本工具，例如文獻[1]給出了三角范疇中t-結(jié)構(gòu)的黏合，Chen[2]給出了三角范疇中余撓對的黏合，許燕青[3]給出了三角范疇中雙余撓對的黏合，等等。本研究引入了遺傳雙余撓對的概念，并研究了三角范疇黏合中的遺傳雙余撓對。如不特別說明，所有的子范疇都是加法滿子范疇且在同構(gòu)意義下是封閉的。

1 預(yù)備知識

圖1 加法函子圖Fig.1 Diagram of additive functors

(1)(i*，i*)、(i*，i！)、(j！，j*)和(j*，j*)都是伴隨對。

(2)j*i*=0。

(3)i*、j！和j*都是滿忠實的(fully faithful)。

接下來回顧余撓對的概念。

(1)x和y都是關(guān)于直和項封閉的。

(2) Ext1(x，y)=0。

X→T→Y[1]→X[1]，

使得X∈x且Y∈y，則稱之為一個余撓對(cotorsion pair)。

X→X′→X″→X[1]，

如果由X′，X″∈x可得到X∈x，則稱x是余錐(cocone)封閉的；對偶地，如果由X，X′∈x可得到X″∈x，則稱x是錐(cone)封閉的。

注記1[5]余撓對可以被看作單的雙余撓對。

現(xiàn)在引入遺傳雙余撓對的概念。

2 主要結(jié)果

該結(jié)果推廣了文獻[2，Theorem 4.4]。

X→X′→X″→X[1]，

i*X→i*X′→i*X″→(i*X)[1]和j*X→j*X′→j*X″→(j*X)[1]。

假設(shè)X′，X″∈x，注意到i*X′，i*X″∈x′和j*X′，j*X″∈x″，由假設(shè)可得i*X∈x′，j*X∈x″。顯然，X∈x。因此，x是余錐封閉的。同理可得u也是余錐封閉的。

假設(shè)X，X′∈x，注意到i*X，i*X′∈x′和j*X，j*X′∈x″，由假設(shè)可得i*X″∈x′，j*X″∈x″。顯然，X″∈x。因此，x是錐封閉的。同理可得u也是錐封閉的。因此，p是遺傳的。

證明：由注記1可知，余撓對可以被看作單的雙余撓對，根據(jù)定理1，該結(jié)果可得。

反過來，得到下面的結(jié)果。

(2) 如果p是遺傳的，則p′和p″都是遺傳的。

證明：(1)見文獻[3，命題2]。

(2) 首先證明i*x和i*u既是余錐封閉的又是錐封閉的。

X→X′→X″→X[1]，

i*X→i*X′→i*X″→(i*X)[1]。

假設(shè)X′，X″∈i*x，注意到i*X′，i*X″∈i*i*x?x，由此可得i*X?x。所以，X?i*i*X∈i*x，故i*x是余錐封閉的。同理可得i*u也是余錐封閉的。

假設(shè)X，X′∈i*x，注意到i*X，i*X′∈i*i*x?x，由此可得i*X″∈x。所以，X″?i*i*X″∈i*x，故i*x是錐封閉的。同理可得i*u也是錐封閉的。因此，p′是遺傳的。

Y→Y′→Y″→Y[1]，

j！Y→j！Y′→j！Y″→(j！Y)[1]。

假設(shè)Y′，Y″∈j*x，由假設(shè)和文獻[3，命題 3]可知j！Y′，j！Y″∈j！j*x?x，由此可得j！Y∈x。所以，Y?j*j！Y∈j*x，故j*x是余錐封閉的。同理可得j*u也是余錐封閉的。

假設(shè)Y，Y′∈j*x，由假設(shè)和文獻[3，命題 3]可知j！Y，j！Y′∈j！j*x?x，由此可得j！Y″∈x。所以，Y″?j*j！Y″∈j*x，故j*x是錐封閉的。同理可得j*u也是錐封閉的。因此，p″是遺傳的。

(2) 如果(x，y)是遺傳的，則(i*x，i！y)和(j*x，j*y)都是遺傳的。

證明：由注記1可知，余撓對可以被看作單的雙余撓對，根據(jù)定理2，該結(jié)果可得。