劉震宇，卓澤朋

（淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000）

0 引言

信噪比（signal-to-noise ratio，SNR）是在2004年CARDIS會議上由Guilley等［1］提出，他們根據(jù)傳統(tǒng)密碼分析框架對信息泄露進行完整建模，對于攻擊者來說可以獲取密鑰猜測值的漢明重量的自相關值.該模型表明，當S盒抵抗線性密碼分析能力增強時，S盒對應的信噪比值也將隨之增大.側信道分析（Sidechannel analysis，SCA）是一種針對分組密碼［2］實現(xiàn)的強大技術，其基本原理［3］是計算中所獲得的物理量與計算設備的內(nèi)部狀態(tài)之間存在的相關性.差分功耗分析（differential power analysis，DPA）［4］是SCA的一種形式，它研究密碼硬件設備的功耗（它涉及統(tǒng)計分析和糾錯技術提取與密鑰相關的信息，包括通過捕獲與某些密文對應的功率跟蹤和數(shù)據(jù)分析計算差分跟蹤來收集數(shù)據(jù)）.但是從S盒抵抗DPA角度來說，信噪比越小抵抗DPA越好.這就表明S盒的信噪比和S盒抵抗線性密碼分析之間存在著制約關系，兩者不能同時達到最好.2020年周宇等［5-6］分別研究布爾函數(shù)和(n,m)函數(shù)信噪比的一些性質.通過信噪比模型和定義可以看出，非線性S盒的噪聲對密碼算法的DPA信號起著決定性作用.因此，研究S盒的信噪比的界對密碼分析起著一定的作用.本文通過信噪比和其他密碼學指標間的關系的分析對布爾函數(shù)和(n,m)函數(shù)展開進一步的探究，得出它們的上下界，并對上下界進行探討，進而分析S盒抵抗線性密碼分析和DPA的能力.

1 預備知識

設n,m∈Z+，函數(shù)F=(f1,f2,…,fm)是一個從到的向量函數(shù)，布爾函數(shù)f1,f2,…,fm稱為F的分量函數(shù).

定 義1［5］設f(x)∈Bn，f(x)的Walsh-Hadamard變 換 定 義 為,其 中.f(x)的線性度.考慮集合，這個譜的值稱為推廣的Walsh譜.

設f(x)∈Bn，f(x)的非線性度為.非線性度反映的是布爾函數(shù)與所有仿射函數(shù)之間的最小距離.

定義2［7］設f(x)∈Bn，如果對任意的，均有，那么稱f(x)為bent函數(shù).

Bent函數(shù)具有良好的密碼學特性，如具有高的非線性度，即bent函數(shù)與所有仿射函數(shù)之間的最小距離達到最大.從這個方面來看，bent函數(shù)是抗擊仿射逼近攻擊的最佳布爾函數(shù).此外bent函數(shù)是抗擊差分功耗分析的最佳布爾函數(shù).可是bent函數(shù)也有相應的不足，比如說bent函數(shù)不具有平衡性.

定義3［5］設f(x),g(x)∈Bn，它們互相關函數(shù)定義為，這里Db(f,g)(x)=f(x)+g(x+b)稱為f(x)和g(x)在方向上的導數(shù).

當f(x)=g(x)時，f(x)的自相關函數(shù)定義為.

定義4［8-9］若對于所有的，f(x+b)+f(x)都是平衡的，即f(x)的自相關函數(shù)F(Db f)滿足F(Db f)=0，則稱布爾函數(shù)f(x)關于是滿足擴散準則的.

定義5［10-11］設f(x),g(x)∈Bn，f(x)和g(x)的互相關的平方和指標定義為.

當f(x)=g(x)時，有.

注1：對于任意f(x),g(x)∈Bn，有.

當f(x)=g(x)時，有

定義6［12］設，如果對任意為常數(shù)，那么稱a為f(x)的一個線性結構.若f(x+a)+f(x)=0，則稱a為f(x)的不變線性結構.若f(x+a)+f(x)=1，則稱a為f(x)的恒變線性結構.記E={全體線性結構}，稱E是的一個線性子空間，若該子空間的維數(shù)為正，則稱f(x)是一個線性結構函數(shù).

定義7［5］設F=(f1,f2,…,fm)是一個(n,m)函數(shù)，對于任意1≤i＜j≤m，若fi和fj完全不相關，則有

Rsn表示信噪比.

定義8［13］設f(x)∈Bn的平方和指標V(f)滿足當n為奇數(shù)時，V(f)≤22n+1；當n為偶數(shù)時，V(f)≤22n+2，則稱f(x)是一個近似最優(yōu)函數(shù).

2 主要結果

首先給出有關布爾函數(shù)的自相關平方和指標與線性度的2個引理.

引理1［13］設f(x)∈Bn，則有V(f)≤2nL2(f)，等號成立當且僅當f(x)的推廣Walsh譜最多取3個值，0，L(f)和-L(f).

引理2［13］設f(x)∈Bn，假設f(x)有一個k≥1維的線性空間V，則等號成立當且僅當上滿足擴散準則.

通過以上引理和信噪比的定義可知，當fi在Fn2V上滿足擴散準則時，F(xiàn)=(f1,f2,…,fm)的信噪比下界有如下結果.

定理1設F=(f1,f2,…,fm)是一個(n,m)函數(shù)，若對于每一個fi都有一個k≥1維線性空間V，fi在上滿足擴散準則且對于任意1≤i＜j≤m，fi和fj完全不相關，則.

證明由定義7，F(xiàn)=(f1,f2,…,fm)是一個(n,m)函數(shù)，對于任意1≤i＜j≤m，fi和fj完全不相關，則有

由引理1可知,V(f)≤2nL2(f)，則.

由引理2，當fi在上滿足擴散準則時，有，則

通過上述定理可以發(fā)現(xiàn),(n,m)函數(shù)的信噪比的下界與m成正比，而與維數(shù)成反比關系，若m較大，線性空間維數(shù)較小時，則信噪比的下界越大，此時S盒抵抗線性密碼分析能力較強.

下面研究2個n元布爾函數(shù)，其和函數(shù)的信噪比與它們互相關平方和指標間的關系.

引理3［14］設f(x)∈Bn，g(x)∈Bm，則.

通過引理3和前面的定義可以得到如下定理.

定理2設f(x),g(x)∈Bn，則.

證明由式（1）有

由定義7，當m=1時，有，因此.

綜上可以看出，如果f(x)和g(x)互相關的平方和指標越大，那么它們和函數(shù)信噪比的上界就越緊，抵抗DPA效果越好.

通過文獻［6］及定義7可以看出：

②當n≥3，V(f)≥22n+2n+3時，，

③因為V(f)≤2nL2(f)，所以.

由文獻［15］，f(x)是近似最優(yōu)的.

當n為奇數(shù)時，；當n為偶數(shù)時，.

由此可知，當n為奇數(shù)時，；當n為偶數(shù)時，.

可以得出如表1.

表1 幾類函數(shù)信噪比上界或下界

3 結論

本文通過(n,m)函數(shù)信噪比與平方和指標的關系，研究k維線性空間n個變量布爾函數(shù)信噪比的一個下界.根據(jù)f(x)和g(x)間互相關平方和指標與它們各自平方和指標間的關系，以及信噪比與平方和指標間的關系，進而得出f(x)與g(x)之和的信噪比和它們互相關平方和指標的關系.文章的最后總結各種類型布爾函數(shù)信噪比的上界或下界.