李國(guó)強(qiáng)

(貴州財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)統(tǒng)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025)

0 引 言

極限是微積分的理論基礎(chǔ)，[1]也是高等數(shù)學(xué)區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)原因. 因此，極限問(wèn)題是大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽、考研數(shù)學(xué)等考試中必考內(nèi)容之一.[2]計(jì)算極限的方法很多，包括直接代入法、兩個(gè)重要極限、等價(jià)無(wú)窮小轉(zhuǎn)換、洛必達(dá)法則、泰勒展開和拉格朗日中值定理等，很多時(shí)候需要這些方法同時(shí)交錯(cuò)進(jìn)行. 筆者通過(guò)一道經(jīng)典極限計(jì)算問(wèn)題，一步步減弱題目中的條件，探討新方法的適用性.

1 原始問(wèn)題及其變形

要考慮的問(wèn)題為

這里不急于解決該問(wèn)題，我們先由強(qiáng)到弱改變題目中的條件.

解：

解：f(x)在x=0處展開：

所以，

由于x→0時(shí)，x～ex-1，所以o(x3)=o((ex-1)3)，

從而

故

接下來(lái)有很多種方法可用，這里筆者采取對(duì)分子因式分解，然后利用等價(jià)無(wú)窮小量轉(zhuǎn)化.

所以

注意，由于變形2中的條件比變形1中的弱，所以變形2中的方法仍然適用于變形1.

分析：該變形中的條件再次減弱，f(x)的三階導(dǎo)數(shù)不一定存在，故不能采用泰勒展開的方法. 可先進(jìn)行一次洛必達(dá)法則，觀察會(huì)出現(xiàn)什么情況.

注意，變形3中的方法適用于變形1和變形3.

下面來(lái)看原始問(wèn)題即變形4.

解：先用拉格朗日中值定理

所以

注意，變形4中方法適用于變形1、變形2和變形3.

結(jié) 論

原始題目的條件由強(qiáng)到弱經(jīng)歷了三次改變，每次改變所用的解法都適用于前面的變形. 針對(duì)不同的條件，靈活運(yùn)用了幾乎所有的求極限技巧. 比起一題多解，這種討論問(wèn)題的方式更加能夠訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維，[3]加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性、奧妙性的認(rèn)識(shí).