陳建華，朱 琳，賴 馨

(1.武漢理工大學(xué) 物流工程學(xué)院，湖北 武漢 430063；2.華中科學(xué)大學(xué) 管理學(xué)院，湖北 武漢 430074)

供應(yīng)鏈協(xié)同是提升供應(yīng)鏈整體競(jìng)爭(zhēng)力的關(guān)鍵，而訂單需求是驅(qū)動(dòng)供應(yīng)鏈協(xié)同運(yùn)作和平衡供需資源的源動(dòng)力。在處理訂單的過(guò)程中，由于存在供應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)和客戶需求波動(dòng)等不確定因素，訂單分配是一個(gè)復(fù)雜的多屬性決策問(wèn)題。制定合理的訂單分配方案，可以幫助企業(yè)順利實(shí)施采購(gòu)，提高供應(yīng)鏈競(jìng)爭(zhēng)力。

在訂單分配問(wèn)題中，由于存在供應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)和需求波動(dòng)情況，所以供應(yīng)商的供應(yīng)能力和制造商的需求量通常具有不確定性。徐輝等[1]考慮需求不確定條件，指出在不完全信息時(shí)可以對(duì)供應(yīng)商上報(bào)的總最大產(chǎn)量設(shè)置折算因子來(lái)估算實(shí)際數(shù)據(jù)，幫助制造商完成訂單分配決策。潘偉[2]考慮供應(yīng)中斷風(fēng)險(xiǎn)，將供應(yīng)中斷損失視為成本的一部分，以采購(gòu)總成本、收貨次品量、供應(yīng)商延遲交貨量為目標(biāo)，建立多產(chǎn)品和多價(jià)格水平下的模糊多目標(biāo)模型。王娟等[3]針對(duì)供需均不確定時(shí)，以供應(yīng)商的交易效率、交貨時(shí)間和成本為目標(biāo)制定最優(yōu)分配方案。陳浩東等[4]考慮供應(yīng)商選擇的動(dòng)態(tài)性，在多周期、多產(chǎn)品條件下建立模糊動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，運(yùn)用可信性理論求解。周林等[5]在供應(yīng)中斷風(fēng)險(xiǎn)和需求波動(dòng)條件下，利用報(bào)童理論建立了供應(yīng)鏈雙源采購(gòu)模型，通過(guò)非線性規(guī)劃得到了制造商的最佳采購(gòu)方案。黃輝等[6]在多產(chǎn)品、多價(jià)格區(qū)間下建立多目標(biāo)規(guī)劃模型，運(yùn)用模擬退火算法得到訂單分配的最優(yōu)決策。

近年來(lái)，在可持續(xù)發(fā)展的要求下，訂單分配問(wèn)題的研究對(duì)象拓展到了可持續(xù)供應(yīng)鏈。關(guān)于可持續(xù)供應(yīng)鏈管理，甘俊偉等[7]指出應(yīng)從宏觀上綜合考慮經(jīng)濟(jì)、環(huán)境和社會(huì)3個(gè)維度目標(biāo)的平衡，即可持續(xù)供應(yīng)鏈績(jī)效指標(biāo)的三重底線。在可持續(xù)供應(yīng)鏈三重底線中，通常用成本函數(shù)衡量經(jīng)濟(jì)目標(biāo)，用碳排放量衡量環(huán)境目標(biāo)，但只有部分文獻(xiàn)將社會(huì)責(zé)任量化成單獨(dú)的目標(biāo)，以此衡量社會(huì)目標(biāo)。曹裕等[8]考慮質(zhì)量、成本、提前期和碳排放量，建立加權(quán)最大最小模糊多目標(biāo)模型，解決了碳減排環(huán)境下訂單分配問(wèn)題，但未考慮社會(huì)維度的目標(biāo)。KELLNER等[9]以供應(yīng)鏈可持續(xù)性最大化、成本最小化和降低供應(yīng)鏈風(fēng)險(xiǎn)為多目標(biāo)，應(yīng)用ε約束法求解訂單分配結(jié)果，但未考慮多產(chǎn)品的情況。劉蓉等[10]考慮直覺(jué)模糊環(huán)境，在三重底線基礎(chǔ)上建立了可持續(xù)供應(yīng)商選擇的多指標(biāo)評(píng)價(jià)體系。MOHAMME等[11]基于三重底線原則建立可持續(xù)供應(yīng)鏈模糊多目標(biāo)優(yōu)化模型，運(yùn)用兩種方法得到訂單分配的帕累托最優(yōu)解，但僅考慮單一產(chǎn)品的情況。MOHEB-ALIZADEH等[12]研究可持續(xù)供應(yīng)鏈在多產(chǎn)品、多價(jià)格區(qū)間和多運(yùn)輸方式條件下的訂單分配問(wèn)題，運(yùn)用混合三階段算法求出最佳訂單分配方案，但僅考慮了產(chǎn)能和需求確定的情況。此外，運(yùn)輸方式的選取對(duì)訂單分配決策也有重要影響。沈廣亞等[13]在確定條件下，同時(shí)考慮了訂單分配和運(yùn)輸計(jì)劃，指出運(yùn)輸有關(guān)因素會(huì)影響訂單分配方案。JIA等[14]考慮了運(yùn)輸成本的不確定性，證實(shí)運(yùn)輸成本的合理取值有利于可持續(xù)供應(yīng)鏈優(yōu)化訂單分配結(jié)果，但未考慮多種運(yùn)輸方式的情況。

綜上，對(duì)供應(yīng)鏈訂單分配的研究主要以成本、質(zhì)量和準(zhǔn)時(shí)率為目標(biāo)展開(kāi)，在研究可持續(xù)供應(yīng)鏈時(shí)通常只考慮成本和碳排放因素，對(duì)社會(huì)維度目標(biāo)的研究較少。鮮有文獻(xiàn)考慮供需不確定條件下，運(yùn)輸方式的選取對(duì)訂單分配決策的影響。筆者以二級(jí)可持續(xù)供應(yīng)鏈為研究對(duì)象，考慮供應(yīng)商供應(yīng)能力與制造商需求均不確定和存在多種運(yùn)輸方式的情況，建立模糊多目標(biāo)訂單分配模型，討論模型平衡經(jīng)濟(jì)、環(huán)境和社會(huì)3個(gè)維度目標(biāo)的效果，分析運(yùn)輸方式和置信水平的選取對(duì)訂單分配結(jié)果的影響。

1 問(wèn)題描述

在供需不確定條件下，研究一條包含多供應(yīng)商、單制造商的二級(jí)可持續(xù)供應(yīng)鏈的訂單分配問(wèn)題。模型考慮多個(gè)時(shí)期，其中時(shí)期指時(shí)間的階段性，制造商在每個(gè)階段都有自身的采購(gòu)和訂單分配計(jì)劃，將每個(gè)階段設(shè)為一個(gè)時(shí)期，各時(shí)期在時(shí)間上連續(xù)，在供需量方面互相獨(dú)立。在實(shí)際市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境中，企業(yè)面對(duì)的不確定因素較多，信息不對(duì)稱，制造商獲取的供應(yīng)商供應(yīng)能力、市場(chǎng)需求信息存在一定的模糊性和不確定性，故筆者將供應(yīng)商的供應(yīng)能力和制造商的需求量設(shè)為模糊值，每個(gè)供應(yīng)商均可提供制造商需要的多種原材料，且由制造商進(jìn)行供應(yīng)商的訂單分配決策。在采購(gòu)階段，各供應(yīng)商提供不同訂單量下的價(jià)格折扣。在運(yùn)輸階段，有多種運(yùn)輸價(jià)格和碳排放量不同的運(yùn)輸方式可供制造商選擇。訂單分配方案要確定以下3個(gè)問(wèn)題：①?gòu)哪男┕?yīng)商處采購(gòu)何種原材料；②采購(gòu)各種原材料的訂單量；③每個(gè)訂單采用哪種方式進(jìn)行運(yùn)輸，可以同時(shí)滿足經(jīng)濟(jì)、環(huán)境和社會(huì)3個(gè)維度的目標(biāo)。可持續(xù)供應(yīng)鏈的訂單分配問(wèn)題如圖1所示。

圖1 可持續(xù)供應(yīng)鏈訂單分配問(wèn)題示意圖

2 模型假設(shè)與符號(hào)定義

2.1 模型假設(shè)

①供需不確定條件下，供應(yīng)商的供應(yīng)能力和制造商的需求量均為模糊值；②不考慮庫(kù)存因素，保存貨物時(shí)的庫(kù)存成本、碳排放量忽略不計(jì)；③當(dāng)訂單量超過(guò)一定數(shù)量時(shí)，供應(yīng)商提供價(jià)格折扣。單位產(chǎn)品價(jià)格、產(chǎn)品價(jià)格折扣等相關(guān)參數(shù)在一定時(shí)間段內(nèi)已知且不變；④對(duì)于某一訂單，制造商只能從某一供應(yīng)商處以單一價(jià)格水平采購(gòu)，且每個(gè)訂單只能采用一種方式運(yùn)輸；⑤制造商要從多個(gè)供應(yīng)商處采購(gòu)多種原材料，各供應(yīng)商供應(yīng)能力、產(chǎn)品質(zhì)量、交貨狀況、碳排放量各不相同，且供應(yīng)商的供貨最大比例、產(chǎn)品破損率、準(zhǔn)時(shí)到貨率等能力要素，與生產(chǎn)及運(yùn)輸時(shí)的單位碳排放量在短期內(nèi)無(wú)法改善，按照其歷史數(shù)據(jù)的均值進(jìn)行計(jì)算。

2.2 符號(hào)定義

3 模糊多目標(biāo)訂單分配模型

模糊環(huán)境下可持續(xù)供應(yīng)鏈訂單分配初始模型的3個(gè)目標(biāo)為成本Z1最小、碳排放量Z2最小和社會(huì)責(zé)任Z3最大，分別用來(lái)衡量三重底線的經(jīng)濟(jì)、環(huán)境和社會(huì)效益。初始模型Ⅰ如下：

以成本最小作為衡量經(jīng)濟(jì)效益的目標(biāo)，成本包括購(gòu)買成本、運(yùn)輸成本和固定契約費(fèi)用，運(yùn)輸成本包括固定運(yùn)輸成本和可變運(yùn)輸成本兩部分。

(1)

以碳排放量最小作為衡量環(huán)境的目標(biāo)，碳排放量包括不同運(yùn)輸方式下的運(yùn)輸排放量和供應(yīng)商的生產(chǎn)排放量。

(2)

以社會(huì)責(zé)任最大作為衡量社會(huì)效益的目標(biāo)，借鑒以往文獻(xiàn)量化社會(huì)目標(biāo)的方法，規(guī)定社會(huì)責(zé)任由工作機(jī)會(huì)和工作損失兩部分組成。第一部分代表為完成訂單而給社會(huì)創(chuàng)造的工作機(jī)會(huì)，如生產(chǎn)制造線上隨總工作量而變化的工人數(shù)，在完成較大訂單量時(shí)需要較多的工人，反之則需要較少的工人。第二部分代表因工作意外損失的時(shí)間，如在產(chǎn)品的制造和處理過(guò)程中，因設(shè)備故障、工人工傷等造成的時(shí)間損失。其中ξ1，ξ2為標(biāo)準(zhǔn)化的轉(zhuǎn)換系數(shù)。

(3)

為方便計(jì)算和描述，將ξ1cre-ξ2los看成一個(gè)整體，稱為社會(huì)責(zé)任系數(shù)。

模糊約束如下：

(4)

(5)

(6)

(7)

質(zhì)量約束式(4)表示在t時(shí)期內(nèi)供應(yīng)商i提供原材料j的拒絕總量不超過(guò)制造商可接受的最大被拒量；準(zhǔn)時(shí)到貨約束式(5)表示供應(yīng)商i提供原材料j的準(zhǔn)時(shí)到貨量不少于制造商要求的最小準(zhǔn)時(shí)到貨量；需求量約束式(6)表示從所有供應(yīng)商處購(gòu)買的原材料的量不少于制造商要求的最小比例；供應(yīng)商能力約束式(7)表示供應(yīng)商i在各價(jià)格水平下提供給各制造商原材料j的總量不超過(guò)該供應(yīng)商的生產(chǎn)能力。

普通約束如下：

?i,j,t,l=1,…,L-1

(8)

?i,j,t,l=L

(9)

(10)

(11)

(12)

4 模型求解

4.1 模糊約束的機(jī)會(huì)約束轉(zhuǎn)化

引入機(jī)會(huì)約束理論，約束條件得到滿足的可能性至少應(yīng)達(dá)到給定的置信水平。設(shè)模糊需求量的置信水平為α，模糊供應(yīng)能力的置信水平為β，α,β∈(0,1)，則模型中含模糊數(shù)的約束式(4)～式(7)可轉(zhuǎn)化為以下模糊機(jī)會(huì)約束：

(13)

(14)

(15)

(16)

4.2 模糊約束的清晰等價(jià)化

為方便描述，設(shè)Θ為模型Ⅰ中的普通約束和上述清晰等價(jià)約束的并集。

4.3 模糊多目標(biāo)函數(shù)隸屬度的確定

在求解多目標(biāo)問(wèn)題時(shí)，采用隸屬度函數(shù)和最大滿意度法將其轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解。令第e個(gè)模糊目標(biāo)函數(shù)Ze(x)的下界和上界分別為L(zhǎng)e、Ue，其中e=1,2,…,E，則在求解目標(biāo)最大化問(wèn)題時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的隸屬度函數(shù)為：

在求解目標(biāo)最小化問(wèn)題時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的隸屬度函數(shù)為：

4.4 模糊多目標(biāo)規(guī)劃模型的求解

求解模糊多目標(biāo)規(guī)劃模型時(shí)，先要求出各目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的隸屬度函數(shù)μZe(x)，再定義λ為最大滿意度，將模糊多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題。其中，λ=maxmin{μZ1(x),μZ2(x),…,μZE(x)}。由模糊多目標(biāo)規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化成的單目標(biāo)規(guī)劃模型為：

s.t.λ≤μZe(x),e=1,2,…，E

μZe(x),λ∈[0,1]

考慮E=3個(gè)目標(biāo)函數(shù)各自的隸屬度函數(shù)，引入最大滿意度λ，得到最終訂單分配模型Ⅱ：

maxλ+[μ1(TC)+μ2(TE)+μ3(TS)]/3

s.t.Θ,μZ1，μZ2，μZ3

λ≤μZ1,λ≤μZ2,λ≤μZ3

5 算例分析

5.1 模型算例

R公司是兩種汽車傳動(dòng)系統(tǒng)的唯一制造商。該制造商要在一年內(nèi)對(duì)兩種原材料的3個(gè)潛在供應(yīng)商進(jìn)行訂單分配，并根據(jù)需求和供應(yīng)能力的不同，將一年劃分為上半年和下半年兩個(gè)時(shí)期，分別制定訂單分配方案。模型的目標(biāo)函數(shù)除供應(yīng)鏈的成本值外，還包括碳排放量和社會(huì)責(zé)任值。為貼近現(xiàn)實(shí)，將供應(yīng)商的供應(yīng)能力和制造商的需求量均設(shè)置為模糊數(shù)，分別如表1和表2所示。運(yùn)輸方式有兩種，且在不同時(shí)期運(yùn)輸單價(jià)有浮動(dòng)。各時(shí)期制造商的產(chǎn)能ct均為250 t，契約費(fèi)用con=15 000。為方便計(jì)算和比較，設(shè)置社會(huì)責(zé)任系數(shù)ξ1cre-ξ2los=6 000。

表1 不同時(shí)期供應(yīng)商的模糊供應(yīng)能力

表2 不同時(shí)期制造商的模糊需求

當(dāng)模糊需求量和模糊供應(yīng)能力的置信水平α=0.7，β=0.7時(shí)，將α=0.7，β=0.7代入無(wú)模糊約束的約束集Θ中；在約束集Θ下，分別在只取成本、碳排放量和社會(huì)責(zé)任為單目標(biāo)時(shí)，計(jì)算模型的最大值和最小值，得到3個(gè)目標(biāo)函數(shù)的上界和下界：Z1max=287 123.2，Z1min=200 141.8，Z2max=19 375.2，Z2min=15 376.1，Z3max=12 338.5，Z3min=8 397.2；依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的上下界得到其對(duì)應(yīng)的隸屬度函數(shù)，其中μZ1=(287 123.2-Z1)/86 981.4，μZ2=(19 375.2-Z2)/3 999.1，μZ3=(Z3-8 397.2)/3 941.3；將隸屬度函數(shù)和所有數(shù)值代入訂單分配最終模型Ⅱ，利用LINGO12.0軟件求解。所求最佳訂單分配結(jié)果如表3所示，上半年和下半年的訂單分配方案分別如圖2和圖3所示。

通過(guò)所求的最佳訂單分配結(jié)果可知，置信水平α=0.7,β=0.7時(shí)，供應(yīng)鏈總成本為244 528.1美元，碳排放量為25 676.9 kg，社會(huì)責(zé)任值為9 752.4。由表3可知，兩時(shí)期內(nèi)原材料1和2均采用運(yùn)輸方式2，即人力運(yùn)輸。雖然運(yùn)輸方式2的單位運(yùn)量較大，但其費(fèi)用與碳排放量均較高。

表3 最佳訂單分配結(jié)果

圖2 上半年訂單分配方案

圖3 下半年訂單分配方案

決策者后續(xù)可以選擇運(yùn)量更大的方式1(自動(dòng)運(yùn)輸方式)來(lái)運(yùn)輸，或者制定相應(yīng)的補(bǔ)貼政策來(lái)增加方式1的使用頻率，從而節(jié)約成本、保護(hù)環(huán)境。從圖2和圖3可觀察到原材料1的采購(gòu)情況，制造商兩時(shí)期內(nèi)均未從供應(yīng)商2處采購(gòu)，上半年從供應(yīng)商1處采購(gòu)的更多，下半年內(nèi)供應(yīng)商3提供的較多，這是由3個(gè)目標(biāo)的平衡和不同時(shí)期各參數(shù)的數(shù)值浮動(dòng)決定的。3個(gè)供應(yīng)商均提供原材料2，其主要供應(yīng)商為供應(yīng)商1和供應(yīng)商2。

總之，模型可在供需不確定的條件下，滿足供應(yīng)能力、市場(chǎng)需求、質(zhì)量和準(zhǔn)時(shí)到貨率等約束，進(jìn)行合理的訂單分配，并滿足成本、碳排放量和社會(huì)責(zé)任三者之間平衡的目標(biāo)。此外，當(dāng)供應(yīng)商數(shù)量較多時(shí)，可通過(guò)模型進(jìn)行求解分析，將供應(yīng)商進(jìn)行等級(jí)劃分，從而更好地管理供應(yīng)商。

5.2 運(yùn)輸方式對(duì)訂單分配決策的影響

不同運(yùn)輸方式對(duì)應(yīng)不同的單位運(yùn)輸價(jià)格、碳排放量和運(yùn)輸能力。為研究供需不確定條件下，運(yùn)輸方式對(duì)可持續(xù)供應(yīng)鏈訂單分配結(jié)果的影響，將下半年從供應(yīng)商3處采用運(yùn)輸方式2采購(gòu)原材料2的可變運(yùn)輸價(jià)格由10.9調(diào)整為2.9，求得下半年和上半年不同運(yùn)輸價(jià)格下的訂單分配方案，分別如圖4和圖5所示。

圖4 下半年不同運(yùn)輸價(jià)格下的訂單分配方案

圖5 上半年不同運(yùn)輸價(jià)格下的訂單分配結(jié)果

由圖4可知，下半年供應(yīng)商3提供原材料2的量隨運(yùn)輸價(jià)格的減少而增加，其余的訂單量也發(fā)生明顯變動(dòng)。由圖5可知，雖然下半年的運(yùn)輸價(jià)格發(fā)生變化，但模型是以全年內(nèi)3個(gè)函數(shù)值最優(yōu)為目標(biāo)，所以上半年的訂單分配方案也發(fā)生相應(yīng)的變動(dòng)。

同理，運(yùn)輸方式對(duì)應(yīng)的單位碳排量和運(yùn)輸能力發(fā)生改變時(shí)，所對(duì)應(yīng)的供應(yīng)商提供該原材料的量隨單位碳排放的增加而減少，隨運(yùn)輸能力的增加而增加。運(yùn)輸方式的單一參數(shù)值變化也會(huì)影響不同時(shí)期、不同供應(yīng)商的原材料訂單量。因此，供需不確定條件下，運(yùn)輸方式的選取對(duì)可持續(xù)供應(yīng)鏈訂單分配的結(jié)果有明顯影響，需要在決策過(guò)程中充分考慮。

5.3 置信水平的靈敏度分析

為研究模糊需求量和供應(yīng)能力的置信水平α和β對(duì)成本、碳排放量和社會(huì)責(zé)任的影響，對(duì)模糊多目標(biāo)模型進(jìn)行置信水平的靈敏度分析。以模型Ⅱ?yàn)閷?duì)象，分別在3種情形下對(duì)置信水平進(jìn)行靈敏度分析。情形1為置信水平α=β，取值從0.1到0.9變化；情形2為供應(yīng)能力的置信水平β固定為0.7，α取值從0.1到0.9變化；情形3為需求量的置信水平α固定為0.7，β取值從0.1到0.9變化。選取在下半年(t=2)時(shí)的訂單分配結(jié)果對(duì)置信水平進(jìn)行靈敏度分析。3種情形下各目標(biāo)最優(yōu)值隨置信水平變化的情況如圖6～圖8所示。

圖6 最優(yōu)成本值與置信水平的關(guān)系圖

圖7 最優(yōu)碳排放量與置信水平的關(guān)系圖

圖8 最優(yōu)社會(huì)責(zé)任與置信水平的關(guān)系圖

由圖6～圖8可知，置信水平變化時(shí)，訂單分配結(jié)果也發(fā)生變化。不同置信水平下，均有一組對(duì)應(yīng)的訂單分配方案，使得訂單分配模型Ⅱ中的3個(gè)目標(biāo)函數(shù)達(dá)到帕累托最優(yōu)解，證明了模型的可行性。在同一情形下，3個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解變化趨勢(shì)相同，說(shuō)明模型的求解方法能夠較好地滿足經(jīng)濟(jì)、環(huán)境和社會(huì)三方面的平衡，證明了模型的有效性。此外，置信水平取不同值時(shí)，各目標(biāo)函數(shù)值的變化幅度較小，沒(méi)有明顯的更優(yōu)結(jié)果，故決策者可根據(jù)供應(yīng)鏈的實(shí)際情況進(jìn)行置信水平的評(píng)估與選定，不必?fù)?dān)心因置信水平選取不當(dāng)而造成供應(yīng)鏈的損失。

6 結(jié)論

基于企業(yè)可持續(xù)發(fā)展的要求，在供需不確定、存在多供應(yīng)商和多種運(yùn)輸方式的情況下，建立可持續(xù)供應(yīng)鏈的模糊多目標(biāo)訂單分配模型，采用機(jī)會(huì)約束理論和最大滿意度法，求得訂單分配方案。通過(guò)算例驗(yàn)證得到以下結(jié)論：①模型求解出的訂單分配方案可在同時(shí)滿足供需量、質(zhì)量和準(zhǔn)時(shí)到貨等約束的前提下，達(dá)到經(jīng)濟(jì)、環(huán)境和社會(huì)三個(gè)維度的平衡；②運(yùn)輸方式相關(guān)參數(shù)的變化對(duì)訂單分配結(jié)果有明顯影響，進(jìn)行訂單分配決策時(shí)應(yīng)重視運(yùn)輸方式的選?。虎勰Ｐ偷那蠼饨Y(jié)果具有穩(wěn)定性，決策者可根據(jù)實(shí)際情況對(duì)模糊需求和供應(yīng)能力的置信水平進(jìn)行評(píng)估，不會(huì)因置信水平的評(píng)估偏差造成較大的供應(yīng)鏈損失。

本研究的主要局限在于未考慮庫(kù)存和中斷風(fēng)險(xiǎn)損失，未來(lái)可以進(jìn)一步拓展為多制造商共同決策的情形，進(jìn)行更大規(guī)模的算例分析，還可以通過(guò)其他方式表示供應(yīng)鏈環(huán)境的不確定性，并結(jié)合模型給出求解方法。