吳家毅

（北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875）

生活中經(jīng)常遇到這種問題，人把一個臉盆斜放在地上，或者把一個淺圓盤斜放在桌面上.如果松手之前臉盆或圓盤處于靜止?fàn)顟B(tài)，則松手后底面會直接落地并與地面碰撞；如果松手前臉盆或圓盤具有一定的進(jìn)動角速度，通常還有一定的自轉(zhuǎn)角速度，那么它就不會直接以全部底面落地，而是以底面的邊緣與地面接觸，并在地面上轉(zhuǎn)動.如果手上的力氣使用得當(dāng)，物體會在落地前轉(zhuǎn)動較長的時間.這種轉(zhuǎn)動像陀螺的定點(diǎn)運(yùn)動，又與之有一定的區(qū)別.

剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動一直是理論力學(xué)中的一個難點(diǎn)，描述這一過程的工具是歐拉運(yùn)動學(xué)方程.現(xiàn)有的文獻(xiàn)對這一領(lǐng)域的研究主要在對這一過程的數(shù)學(xué)理解和在特殊情況下求出解析解.梁昆淼先生生動地講解了定點(diǎn)轉(zhuǎn)動及其有趣的細(xì)節(jié)［1］，國內(nèi)一些學(xué)者從幾何關(guān)系的角度引入張量來研究定點(diǎn)轉(zhuǎn)動［2，3］，分析力學(xué)的方法也被用于求解歐拉運(yùn)動學(xué)方程［4，5］.在一般情況下，該方程難以求出解析解，然而其解的存在性［6］和特殊條件下的解法已經(jīng)受到了廣泛的研究［7，8］.本文使用拉格朗日力學(xué)研究此問題，是為了使邏輯清楚，易于理解，同時借助該體系的能量觀點(diǎn)，盡可能避免復(fù)雜的受力分析，避免直接處理歐拉動力學(xué)方程的復(fù)雜數(shù)學(xué)過程，盡可能做到易懂.

定點(diǎn)轉(zhuǎn)動近似是本文的一個重點(diǎn)，然而薄圓柱落地的真實運(yùn)動不完全是定點(diǎn)轉(zhuǎn)動.賈書惠討論了圓盤在地面無滑動滾動的運(yùn)動情況［9］.本文與生活情景相適應(yīng)，主要討論有滑動的情況.第3部分詳述了該情況下拉格朗日方程的表達(dá)及約束力的求解，并利用數(shù)值結(jié)果清晰地模擬出這一過程.

為了研究方便，取研究對象與地面穩(wěn)定接觸的時刻為研究的起點(diǎn)，認(rèn)為其已經(jīng)具有一定的自轉(zhuǎn)和（或）進(jìn)動，而對于造成這種運(yùn)動狀態(tài)的原因不加深究.

為了便于討論，采取一系列近似.

1 重要的近似

本文采取的近似主要是對研究對象形狀的近似和其受到的約束的近似.

首先，把研究對象看作剛體，忽略它的彈性.其次，把被研究的臉盆或圓盤近似成薄圓柱，忽略了臉盆或淺圓盤原有的一層薄邊緣.這樣近似是因為這層邊緣對剛體的質(zhì)心和轉(zhuǎn)動慣量的貢獻(xiàn)很小，不能引起其運(yùn)動狀態(tài)的較大變化.對薄圓柱，以垂直于板面的對稱軸為z軸，以圓面上的兩個垂直的半徑為x軸、y軸，建立直角坐標(biāo)系 Oxyz，如圖 1（a）所示，則轉(zhuǎn)動慣量為

下面考慮盆邊（盤邊）的質(zhì)量分布，驗證這部分質(zhì)量分布對轉(zhuǎn)動慣量的影響很小.設(shè)盆底半徑為R2，厚度為 h ＝ R2/5，盆邊高度為 R2/5，厚度為 R2/20，即內(nèi)徑為 R1＝19R2/20，仍然用 m 表示原有部分的質(zhì)量，用m1表示盆邊的質(zhì)量，用ρ表示剛體的密度，不妨認(rèn)為密度分布均勻.有

圖1 不考慮邊緣與考慮邊緣的研究對象示意圖

所以質(zhì)量m對質(zhì)心的影響很小.

在盆底的幾何中心建立直角坐標(biāo)系如圖1（b）所示，分別用 ΔIz，ΔIx，ΔIy表示加上盆邊之后多出的轉(zhuǎn)動慣量，則經(jīng)計算有

可以看出轉(zhuǎn)動慣量變化的倍數(shù)差不多.從另一個角度理解，由于研究對象的密度是一個可以任意選取的參量，所以考慮盆邊只是相當(dāng)于把原來的薄圓柱的密度擴(kuò)大約1/5，對其運(yùn)動情況沒有質(zhì)的影響.因此下面把研究對象看作薄圓柱.

現(xiàn)在對于研究對象受的約束進(jìn)行一些近似.觀察發(fā)現(xiàn)，研究對象落地前的運(yùn)動比較像以質(zhì)心為定點(diǎn)的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動，在短時間內(nèi)下落的幅度比較小，質(zhì)心近似不動.所以首先固定質(zhì)心，研究這種定點(diǎn)轉(zhuǎn)動.進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)薄圓柱的最低點(diǎn)被約束在地面上，因此添加這個約束再來研究其運(yùn)動.

完成上面兩步之后，為了與實際情況更加貼近，釋放質(zhì)心處的約束，使薄圓柱可以下落.最后加入地面的摩擦力，研究真實情況的運(yùn)動.

數(shù)值模擬過程中取薄圓柱質(zhì)量 m＝1 kg，g＝9.8 m/s2；地面摩擦因數(shù) μ ＝ 0.67；圓柱半徑 R ＝0.5 m.R疑過大，但是考慮到該取值并不影響物理實際，在數(shù)值模擬中仍取該值.方便起見，考慮摩擦力時，認(rèn)為研究對象與地面之間只存在滑動摩擦.

2 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動近似

2.1 質(zhì)心約束

選薄圓柱的質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系Oξηζ.以節(jié)線為 x軸，以垂直于圓柱的軸線為 z軸，建立隨薄圓柱進(jìn)動但是不隨它自轉(zhuǎn)的非慣性系Oxyz.選擇這個坐標(biāo)系是因為在這個坐標(biāo)系下圓柱的轉(zhuǎn)動慣量是常量，寫出運(yùn)動學(xué)方程的過程更加方便，方程的形式更加簡潔.自由度 s＝3，章動角為 θ，進(jìn)動角為φ，自轉(zhuǎn)角為ψ標(biāo)記如圖2所示，取它們?yōu)閺V義坐標(biāo).初始時刻，θ＝π/6，φ＝ψ＝0.以下各種情況都采用這種初始條件.

圖2 質(zhì)心約束

因為質(zhì)心固定，所以薄圓柱的動能只有定點(diǎn)運(yùn)動的動能.選取原點(diǎn)處的重力勢能為零，則薄圓柱的拉格朗日函數(shù)為

由薄圓柱近似條件，其中Ix、Iy、Iz的表達(dá)式如式（1）.運(yùn)動微分方程為

圖3形象地展示了薄圓柱的運(yùn)動情況，為了展示空間轉(zhuǎn)動，在圓柱頂面的中心延伸出一條細(xì)線段，并畫出它的端點(diǎn)的軌跡（下同）.在質(zhì)心約束下，可以看出，薄圓柱的最低點(diǎn)不能始終保持在一個水平面上.隨著圓柱的章動，它會上下擺動.因此，薄圓柱落地之前的運(yùn)動并不是單純的定點(diǎn)運(yùn)動.為了更好地模擬這種運(yùn)動，我們添加第二個約束.

圖3 質(zhì)心約束下薄圓柱運(yùn)動情況

2.2 質(zhì)心地面約束

為了更符合真實情況，把薄圓柱的最低點(diǎn)約束在地面上，自由度s＝2.同時把慣性系建到地面上，從而薄圓柱有了固定的章動角，它可以由質(zhì)心的高度z＝Rsin θ來確定.把進(jìn)動角φ，自轉(zhuǎn)角ψ作為廣義坐標(biāo)（圖 4）.

圖4 質(zhì)心地面約束下薄圓柱的運(yùn)動情況

在上一小節(jié)式（6）的拉格朗日函數(shù)中，取章動角θ為常數(shù)，得出兩個廣義坐標(biāo)的拉格朗日方程

可以容易地解出

在這種情況下，薄圓柱勻速進(jìn)動與自轉(zhuǎn).在觀察中發(fā)現(xiàn)，實際運(yùn)動在比較短的時間內(nèi)確實可以這樣描述.由于地面約束使得薄圓柱的最低點(diǎn)不可能低于地面，所以它比上一種情況更加接近真實運(yùn)動.

在質(zhì)心地面約束下，薄圓柱會永遠(yuǎn)自轉(zhuǎn)和進(jìn)動下去，而不會落下.這只與實際情況下運(yùn)動開始后一段時間的狀態(tài)相對應(yīng).為了展示它在長時間尺度下的運(yùn)動，有必要取消對質(zhì)心位置的約束，更真實地研究物體的運(yùn)動.

3 剛體一般運(yùn)動

3.1 地面約束

取消質(zhì)心處的固定，薄圓柱的自由度變?yōu)?，此時仍然限制質(zhì)心只能上下運(yùn)動，不能水平運(yùn)動，這是為了著重體現(xiàn)剛體下落的運(yùn)動.把重力勢能的零點(diǎn)取在慣性系的原點(diǎn)，則薄圓柱的重力勢能與它質(zhì)心的高度有關(guān).

此時系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

其中等號右邊的最后一項是剛體的重力勢能，倒數(shù)第二項是剛體隨質(zhì)心平動的動能.

由拉格朗日方程導(dǎo)出的運(yùn)動微分方程組為

其中

這是一個非常復(fù)雜的非線性微分方程組，可以觀察到初值不同時，解表現(xiàn)出了不同的特征.此外，薄圓柱此時的運(yùn)動還與不同的主軸轉(zhuǎn)動慣量的大小有關(guān).

3.1.1 進(jìn)動的保持

在數(shù)值模擬過程中觀察到，初始時刻的進(jìn)動角速度在薄圓柱的運(yùn)動中得以保持.圖5（a）中薄圓柱的初始章動角速度為零，初始進(jìn)動角速度為0.01 rad/s，初始自轉(zhuǎn)角速度為 175 rad/s，這幅圖中近似圓形的運(yùn)動軌跡曲線表示進(jìn)動保持得較好.如圖5（b）展示了章動角隨時間的演化情況?？梢?，薄圓柱的運(yùn)動總體穩(wěn)定，隨著時間的推移，振蕩逐漸擴(kuò)大，但是在相當(dāng)長的一段時間內(nèi)處于可控范圍.

圖5 地面約束下薄圓柱的運(yùn)動情況

3.1.2 自轉(zhuǎn)引起的運(yùn)動變化

一定的初始自轉(zhuǎn)角速度是薄圓柱維持不倒的關(guān)鍵，這與理論力學(xué)的預(yù)言相符［11］.如果初始自轉(zhuǎn)角速度過小，不妨設(shè)置為10 rad/s，則薄圓柱會徑直落下.效果與以下小節(jié)中較大的x軸、y軸轉(zhuǎn)動慣量相似.然而，如果初始自轉(zhuǎn)角速度不是很大也不是很小，則薄圓柱的轉(zhuǎn)動將呈現(xiàn)復(fù)雜的變化.

注意到這里取的自轉(zhuǎn)角速度都比實際情況大很多，而且還能長時間維持，這是由于摩擦力還未被考慮.如后面所見，摩擦力是減少薄圓柱轉(zhuǎn)動能量的重要因素.如果不考慮摩擦力，剛體轉(zhuǎn)動的能量就只能在幾個自由度之間轉(zhuǎn)化，這導(dǎo)致了高轉(zhuǎn)速的維持.考慮摩擦力后，多么高的轉(zhuǎn)速也不能阻止薄圓柱倒下.

3.1.3 轉(zhuǎn)動慣量分布對運(yùn)動狀態(tài)的影響

之前分析過考慮盆邊/盤邊對于轉(zhuǎn)動慣量的影響.由式（4）、式（5）知，這種考慮帶來的 Ix、Iy的增量要大于Iz的增量.因此，當(dāng)盆邊的高度增加到非常高，以至于Ix、Iy的數(shù)值與 Iz可以比擬的時候，物體的運(yùn)動就會更加傾向于落地而不是進(jìn)動.實際生活中，底部斜觸地的壁比較高的玻璃杯在松手后，在落地前就很少有轉(zhuǎn)動.

3.2 5自由度真實運(yùn)動

只考慮一個約束，即薄圓柱的最低點(diǎn)必須在地面上，則自由度 s＝5，此時的模型最接近真實情況.選取薄圓柱的章動角θ、進(jìn)動角φ、自轉(zhuǎn)角ψ，以及質(zhì)心的水平位置 x、y為廣義坐標(biāo).由于考慮了摩擦力這一耗散力，所以體系不是保守系.然而，摩擦力的大小與地面給薄圓柱的支持力有關(guān)，支持力的大小卻不能事先確定.因此，我們釋放地面的約束，使自由度s＝6，先用拉格朗日方程配合約束條件求出支持力，再代入所有的拉格朗日方程求解薄圓柱的運(yùn)動.此時它的動能為

圖6 薄圓柱的俯視圖

幾何方法可以得出薄圓柱觸地點(diǎn)P在慣性系中的位置，并計算出點(diǎn)P沿水平方向的速度.俯視整個體系，薄圓盤的形狀投影為一個橢圓，原來的x軸仍然與地面平行，原來的y軸與地面有一定的夾角，取y′軸為 y軸的投影.點(diǎn) P處進(jìn)動角 φ0正好為 φ+3π/2.從圓心到邊緣的距離是 Rcos θ.這一點(diǎn)在慣性系中的坐標(biāo)可以寫成

點(diǎn)P與地面的相對速度就是它在慣性系中的水平速度，它可以由章動和進(jìn)動角速度在慣性系中合成得到.

支持力FN和摩擦力 Ff都作用在點(diǎn) P上.設(shè)支持力的大小為FN，摩擦力的方向與該點(diǎn)水平方向速度的方向相反，大小為μFN.可以計算出支持力和摩擦力以及它們對應(yīng)的廣義力.

其中

拉格朗日方程為

z＝Rsin θ實際上不是自由坐標(biāo)，它與其他自由坐標(biāo)的關(guān)系是已知的.把z的二階導(dǎo)數(shù)帶到上面的最后一個方程中就可以解出支持力的大小FN.

把式（25）代回方程組，并化簡，最終可以得到 5個廣義坐標(biāo)對應(yīng)的拉格朗日方程.其中

取4種初始條件做模擬，圖 7中的（a）、（b）、（c）、（d）4幅子圖中，章動角速度、進(jìn)動角速度、自轉(zhuǎn)角速度（單位都為 rad/s）分別為（0.1，1，1）、（0.1，40，1）、（10，1，1）、（10，40，1）.從模擬結(jié)果中可以看到，初始進(jìn)動和章動角速度對薄圓柱整個落地過程的形態(tài)有著顯著的影響.首先，由圖（a）、（b）和（c）比較可知，如果初始章動角速度為較小的正值或零（注意章動角的記法，正值具有使薄圓柱翻倒的傾向），薄圓柱就會向下倒，如果初始章動角速度較大，薄圓柱就會翻倒.其次，分別比較圖（a）和（b），（c）和（d），可知，如果初始進(jìn)動角速較小或者為零，薄圓柱就會直接落地或近似直接落地，如果初始進(jìn)動角速度較大，薄圓柱就會旋轉(zhuǎn)幾圈之后才落地.尤其是觀察圖（c）和（d）知，在章動角速度很大時，較大的進(jìn)動角速度可以避免翻倒.最后我們注意到，在真實運(yùn)動中不論初始條件如何，薄圓柱最終都會與地面發(fā)生碰撞.

圖7 4種初始條件下薄圓盤運(yùn)動情況

數(shù)值模擬的結(jié)果與生活經(jīng)驗相符.如果人在松手前使勁抬高臉盆或圓盤，它就很有可能翻倒，不使勁的話就正常落地.如果人在松手前使勁擰臉盆或圓盤使它進(jìn)動，它就會旋轉(zhuǎn)落地，不使勁的話就會直接落地.

4 結(jié)論

臉盆或淺圓盤落地的運(yùn)動可以近似為薄圓柱剛體落地的運(yùn)動.經(jīng)過各種近似逐步改進(jìn)模型，成功地使數(shù)值模擬結(jié)果接近真實情況.在落地前的很長一段時間里，它可以近似為定點(diǎn)轉(zhuǎn)動.在與之相比的較短時間內(nèi)，薄圓柱落地，這個運(yùn)動不是定點(diǎn)轉(zhuǎn)動，而是有一個約束的剛體一般運(yùn)動.這個非線性運(yùn)動過程可以進(jìn)行數(shù)值求解.薄圓柱落地的過程中，運(yùn)動形態(tài)與初始狀態(tài)的章動角速度和進(jìn)動角速度關(guān)系較大，其中較大的初始進(jìn)動角速度有利于薄圓柱落地前旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)增加.初始章動角速度較大時薄圓柱會翻倒，較大的初始進(jìn)動角速度有助于減輕初始章動角速度的影響.

MATLAB軟件的數(shù)值求解功能在解決這個生活問題的過程中發(fā)揮了很大的作用.求解歐拉動力學(xué)方程的結(jié)果往往在隨動系或剛體質(zhì)心系中表達(dá).本文利用編程手段，方便地在固定在地面的靜止系中呈現(xiàn)結(jié)果，省去了一些解析計算［12］.

薄圓柱落地顯然是個非線性問題，其中的非線性機(jī)理有待進(jìn)一步研究.

5 致謝

感謝北京師范大學(xué)2018級本科生胡新元幫助畫出了圖1的第一版；作者寫第一種近似情況的程序時參考了徐琳和江政寫的類似程序，徐琳對作者還提供了鼓勵；感謝北京師范大學(xué)2017級本科生施鵬毅對中途出現(xiàn)的一個程序報錯提出了自己的理解.