陽(yáng) 麗，程震宇，蕭華鵬

（廣西師范大學(xué) 物理與科學(xué)技術(shù)學(xué)院，廣西 桂林 541004）

當(dāng)兩固體之間的接觸部分或者間隙部分存在微量液體時(shí)，在兩物體表面間會(huì)出現(xiàn)液橋現(xiàn)象［1］.對(duì)液橋的研究可為顆粒/粉體團(tuán)聚、毛細(xì)黏附力、微/納系統(tǒng)、多孔材料的某些特性研究提供幫助［2］.研究液橋的體積也是微重力流體力學(xué)、毛細(xì)力學(xué)中的一個(gè)課題［3］.

大部分文獻(xiàn)關(guān)注兩球形體之間的液橋，對(duì)于平板間液橋體積的計(jì)算相關(guān)文獻(xiàn)較少［4-7］，例如，Broesch［4］利用 Surface Solver軟件模擬狹長(zhǎng)裂縫幾何形狀中非軸對(duì)稱(chēng)毛細(xì)管橋的形態(tài)演變.莊大偉［5，6］等人考慮液橋重力和表面張力作用下液橋的接觸角隨著方位角的變化，對(duì)液橋三相接觸線采用橢圓方程描述，計(jì)算了兩豎直翅片間液橋體積.朱朝飛［7］通過(guò)張力等效方法建立液橋的三維受力模型，采用不考慮重力的球形近似求解液橋形態(tài)微分方程，得到狹長(zhǎng)平行板間液橋的形態(tài)特征參數(shù)與液橋受力之間的關(guān)系.實(shí)際上，兩平板間液橋并不為規(guī)則的柱體［8，9］，而是兩端呈現(xiàn)類(lèi)似馬鞍形狀.在以往的文獻(xiàn)中都采用軟件模擬或者近似為柱體的方法對(duì)液橋的體積進(jìn)行計(jì)算，未有過(guò)在理論上對(duì)狹長(zhǎng)平板間的液橋體積進(jìn)行精確計(jì)算.

本文考慮液橋兩端的實(shí)際形狀，以狹長(zhǎng)的兩平行板間的液橋作為研究對(duì)象，建立忽略重力的三維液橋模型，計(jì)算液橋的兩端（類(lèi)馬鞍形）的體積.在計(jì)算過(guò)程中將多個(gè)液橋的形態(tài)特征參數(shù)用扎釘角表示出來(lái)，得到體積與高度和扎釘角的關(guān)系，從而得到體積的清晰數(shù)學(xué)表達(dá)式.

1 液橋的模型

圖1中兩平行板之間的陰影部分表示液橋，側(cè)面和端面為液體和氣體的交界面，根據(jù)毛細(xì)力學(xué)的相關(guān)知識(shí)，隨著固液界面的收縮，在表面張力的作用下，忽略重力影響，穩(wěn)定后的氣液徑向界面的形狀將會(huì)趨近于圓弧形［10］.液橋?yàn)閮啥私岂R鞍形、中間凹陷的長(zhǎng)條狀的全對(duì)稱(chēng)形狀.圖中液橋的相關(guān)形態(tài)表征參數(shù)有多個(gè).θ表示接觸角，α表示扎釘角，H表示兩板之間的高度，W表示板子之間的寬度.Rn表示液橋兩端馬鞍形液體中間最細(xì)處的半寬度，rc為兩側(cè)的氣-液交界面曲率半徑，rd為兩端的氣-液交界面曲率半徑.

2 液橋兩端的體積計(jì)算

由于液橋兩端的馬鞍形狀［圖1（e）］具有對(duì)稱(chēng)性，因此把左右兩端合并計(jì)算.采用高等數(shù)學(xué)中計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積的柱體方法［11］.我們沿著 xy平面將高度區(qū)間（z方向）內(nèi)分割成無(wú)數(shù)個(gè)高度為 dz的 “薄片”，近似地把這些“薄片”看作一個(gè)個(gè)底面為橢圓的柱體.每個(gè)柱體的體積為 πxmymdz.其中 xm和 ym，分別對(duì)應(yīng)橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸的長(zhǎng).液橋兩端角度的積分微元為 β1，兩側(cè)角度的積分微元為 β2，范圍分別為，β1為 0～（π-2θ），β2為 0～（π-2α）.由圖 1得出

圖1 兩平行板間的液橋模型

無(wú)論兩側(cè)面還是兩端面z方向高度應(yīng)相同，得到 β1和 β2的關(guān)系為

液橋兩端馬鞍形的總體積為

由于公式較長(zhǎng)，為了方便計(jì)算，將與積分微元無(wú)關(guān)的項(xiàng)用A、B表示:

于是

可計(jì)算得到

其中 F表示第一類(lèi)橢圓積分［12］:

第一類(lèi)橢圓積分級(jí)數(shù)表達(dá)為

所以液橋兩端馬鞍形總的體積有

其中，根據(jù)圖1中的幾何關(guān)系可以得到

根據(jù)流體靜力學(xué)的Pascal定律，液橋兩端和兩側(cè)的內(nèi)外壓強(qiáng)差相同，根據(jù)Young-Laplace方程，可得

于是，體積函數(shù)可以簡(jiǎn)寫(xiě)為 V＝V（H，W，θ，α，rd，rc，Rn），當(dāng)體積 V、W、θ、H 為可測(cè)量的已知量的時(shí)候，通過(guò)式（10）、（11）可以得到 V 與 H、α 的關(guān)系式，進(jìn)而得到扎釘角 α隨著H變化的數(shù)值結(jié)果.總之可以根據(jù)測(cè)量得到的液橋兩端體積 V，根據(jù)式（1）—式（11）得到α和Rn隨著 H變化關(guān)系的結(jié)果（圖2所示）.從而可以得到液橋的各個(gè)形態(tài)特征參數(shù)，分析液橋的側(cè)面輪廓的形貌.

圖2 α和Rn隨著H變化的關(guān)系

從圖2中可以看出，V、W、θ對(duì)液橋的形貌起決定作用.板子寬度越寬，α角越大，液橋體積越大，液橋越長(zhǎng)，α角反而越小，而液橋兩端的馬鞍形的突起部分Rn的數(shù)值是先減小后增大.隨著兩個(gè)平板之間距離的增大，扎釘角變化的規(guī)律與直覺(jué)是相反的，人們普遍認(rèn)為兩板子越拉越開(kāi)，液橋兩側(cè)和兩端都會(huì)變細(xì).實(shí)際的計(jì)算結(jié)果表明，液橋兩側(cè)變胖，兩端回縮.在低高度處，釘扎角度通常小于90°，并且隨著高度的增加，釘扎角度可能會(huì)高達(dá)140°，即兩側(cè)面處的α角緩慢增大，如圖3所示.這與實(shí)驗(yàn)觀察到液橋慢慢回縮“變胖”，變圓變短的情況是一致的，如圖4所示.這種變化意味著當(dāng)兩表面距離增大時(shí)，液橋側(cè)面輪廓的曲率會(huì)從凹變?yōu)橥?，馬鞍形狀的突起程度也相應(yīng)變化.這是因?yàn)橐簶虻姆€(wěn)定形貌是由最小表面能決定的.由于表面張力的作用，使液體三相接觸線具有收縮趨勢(shì)，使液體表面積趨于最小，液面的穩(wěn)定狀態(tài)遵循最小能量原理.關(guān)于液橋能量的詳細(xì)計(jì)算還有待深入的分析.

圖3 液橋的側(cè)面和端面的輪廓線變化示意圖

圖4 液橋隨著距離增大的圖像（液橋體積 1.0微升）

對(duì)兩板間的液橋進(jìn)行物理模型的構(gòu)建是一個(gè)復(fù)雜的思維過(guò)程，對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，具有一定的科學(xué)性，分別為模型建立、模型計(jì)算分析和模型的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證3個(gè)步驟，通過(guò)3個(gè)階段的探索，教師開(kāi)展科學(xué)建模教學(xué)，幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)和概念.

3 結(jié)論

本文考慮狹長(zhǎng)的兩平行板間液橋兩端的真實(shí)形狀，建立三維液橋模型，推導(dǎo)出液橋的兩端（類(lèi)馬鞍形）的體積，可計(jì)算得到液橋側(cè)面曲率半徑和扎釘角隨著體積和高度的變化關(guān)系.該計(jì)算方法基于旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算方法，液橋的形態(tài)特征參數(shù)用扎釘角、板間高度、寬度等重要參數(shù)表示出來(lái)，即可以加深學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)中的積分知識(shí)的理解，還可以培養(yǎng)學(xué)生建立物理模型的能力.