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        離散型(s,S)隨機存儲模型中有關(guān)問題的教學(xué)思考

        2021-12-12 09:58:26周亞平郭曉龍吳春旭
        關(guān)鍵詞:缺貨極小值庫存量

        周亞平,郭曉龍,吳春旭

        (中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)管理學(xué)院,安徽 合肥 230026)

        存儲論是運籌學(xué)的重要內(nèi)容,在庫存管理決策中有著廣泛的應(yīng)用。對于隨機性存儲問題,可供選擇的策略主要有(1)定期訂貨;(2)定點訂貨;(3)定期訂貨與定點訂貨相結(jié)合,即(s,S)型存儲策略。(s,S)型存儲模型是隨機性存儲問題中的重要模型,其基本假設(shè)是:決策者每隔一段時間檢查一次庫存,如果庫存量高于s則不訂貨,庫存量小于s則訂貨,使庫存量達到S。該模型有兩種典型的情形,一是需求量為連續(xù)型隨機變量,二是需求量為離散型隨機變量。在(s,S)型存儲策略中,涉及存儲費、缺貨費和訂貨費。存儲費和缺貨費與商品數(shù)量有關(guān),訂貨費則與商品數(shù)量無關(guān)。只要訂貨就存在一次性的訂貨費用,若不訂貨則不產(chǎn)生該費用。(s,S)型存儲策略的基本決策思路:如果決定訂貨,則求出最優(yōu)的庫存上限S,使存儲費、缺貨費和訂貨費之和的期望值最小??紤]當(dāng)庫存不是太低時,是否可以不訂貨。其條件是,當(dāng)本決策階段不訂貨時,存儲費和缺貨費(此時不存在訂貨費)之和的期望值低于訂貨至S時各項費用之和的期望值。容易證明,這樣的期初庫存(本階段不訂貨更有利)是存在的,滿足上述條件(存儲費和缺貨費之和的期望值低于訂貨至S時的費用的期望值)的最小期初庫存量為(s,S)型存儲策略中的s。

        作為存儲問題中常用的模型,(s,S)型存儲策略受到了很多學(xué)者的關(guān)注。文獻[1]表明最優(yōu)的最大庫存量和最優(yōu)的重新訂購點是關(guān)于需求分布、訂單成本和缺貨成本的函數(shù)[1]。文獻[2]提出了廣義的(s,S)存儲策略,并且發(fā)現(xiàn)在一個n周期的問題中,廣義的(s,S)存儲策略是最優(yōu)的[2]。國內(nèi)廣泛使用的運籌學(xué)教材[3-6]對于離散型(s,S)存儲策略的建模與求解方法存在一些可改進或可拓展之處。基于此,本文給出了離散型(s,S)存儲策略的分析模型、結(jié)論的證明及求解步驟。

        1 基本模型

        設(shè)商品的需求量為隨機離散的,可能的取值為r0,r1,r2,…,rm(從小到大排列),其概率分別為。設(shè)C1為每單位商品存儲一個決策階段產(chǎn)生的存儲費,C2為每單位商品缺貨一個決策階段產(chǎn)生的缺貨費,C3為訂貨費(與訂購的商品數(shù)量無關(guān)),商品的單價為K(K<C2)。(s,S)存儲策略需要確定:(1)當(dāng)期初庫存小于什么水平時,必須訂貨;(2)如果訂貨,庫存上限為多少?

        為解決上述問題,需要確定訂貨時應(yīng)該將庫存上限控制在什么水平。將庫存上限S作為被優(yōu)化的變量,設(shè)期初庫存為I,則本階段訂貨所需要的訂貨費為C3+K(S-I),需要支付的存儲費的期望值為,需要支付的缺貨費的期望值為,各項費用之和的期望值為

        使式(1)達到最小的S即最優(yōu)庫存上限。在較為流行的教材中,對于該問題的處理是將最優(yōu)庫存上限S只從r0,r1,r2,…,rm中取值作為假設(shè)[3-6]。而事實上,S的取值也可能存在其他情況,下面討論最優(yōu)庫存上限S的可能結(jié)果,并給出上述問題的具體結(jié)論。

        2 模型解法

        設(shè)r-1=-∞,rm+1=∞,當(dāng)ri-1≤S≤ri時,

        對于i=0,1,2,…,m+1,C(S)形成了m+2段直線,其斜率從K-C2(小于0)逐漸增加到K+C1(大于0),且該分段函數(shù)是連續(xù)的,具體證明過程如下。

        當(dāng)ri-1≤S≤ri時,

        當(dāng)ri≤S≤ri+1時,

        對于S=ri的情況,顯然S-ri=0,ri-S=0。所以,無論用式(2)或者式(3),均有C(S)=C3+,即C(S)是關(guān)于S的連續(xù)函數(shù)。又上述每一段都是關(guān)于S的線性函數(shù),所以,C(S)為關(guān)于S的分段連續(xù)線性函數(shù)。因為函數(shù)C(S)的斜率從負到正逐漸增加,所以C(S)存在極小值,且該極小值通常在轉(zhuǎn)折點(r0,r1,r2,…,rm中的一個)上出現(xiàn)。若C(S)在ri處取極小值,則有該點左邊直線的斜率小于等于0,右邊直線的斜率大于等于0。因此,當(dāng)S≤ri時,≤0;而當(dāng)S≥ri時,≥0,即

        若問題中的各參數(shù)滿足條件,則S=ri。注意到該條件中的左邊等價于當(dāng)ri-1≤S≤ri時,C(S)在這段的直線斜率小于等于0,如果此時等號成立,則C(S)在ri-1≤S≤ri的直線斜率等于0。此時,函數(shù)C(S)在整個區(qū)間ri-1≤S≤ri中的任意點均為極小值點。同理,如果,則函數(shù)C(S)在整個區(qū)間ri≤S≤ri+1中的任意點均為極小值點。

        根據(jù)上面的討論,在多數(shù)情況下,C(S)的極小值會是r0,r1,r2,…,rm中的一個。但如果出現(xiàn)了條件(4)的左邊取等號或者右邊取等號的情況,則意味著此時有無窮多個解。此時,為了保證解的唯一性,通常將條件(4)改為

        這一更改雖然保證了解的唯一性,但在個別情況(如條件(4)的左邊取等號)下會導(dǎo)致解的遺漏。

        本文模型的另外一個問題是,期初庫存水平高于多少時,不訂貨更優(yōu)?對于該問題的具體求解方法如下。

        假設(shè)期初庫存為s時,不訂貨比訂貨更有利,即期初庫存s需要滿足下列條件:

        上述條件的不等號左邊是期初庫存為s,并且不訂貨時存儲費與缺貨費之和的期望值。顯然,上述條件等價于

        容易看出,滿足上述條件的期初庫存s是存在的,由于訂貨費C3>0,當(dāng)s=S時,上述條件成立。當(dāng)s偏離S時(注意S是條件右邊的極小值點),由于C3>0,所以存在一個使條件(6)成立的s的取值范圍(要求s<S),滿足該條件的最小的s就是要尋找的期初庫存臨界點。當(dāng)期初庫存低于該水平時,本階段需要訂貨,并且將庫存量增加到S是最佳的決策;當(dāng)期初庫存高于該水平時,本階段不需要訂貨。

        3 算例與結(jié)論

        算例1設(shè)某公司利用塑料作原料制成產(chǎn)品出售,已知每箱塑料購價為1 600元,訂購費C3=300元,存儲費每箱C1=80元,缺貨費每箱C2=2 100元,原有存儲量I=20箱。已知對原料需求的概率分別為P(r=60)=0.20,P(r=80)=0.20,P(r=100)=0.40,P(r=120)=0.20,其中,r表示貨物箱數(shù),求該公司訂購原料的最佳訂購量。

        解根據(jù)條件(4)容易求得最優(yōu)庫存上限S=80箱。又因原有存儲量I=20箱,所以該公司應(yīng)訂購塑料60箱(如果訂貨的話)。下面求當(dāng)期初庫存為多少時可以不訂貨,即求(s,S)存儲策略中的s。

        由基本模型的討論可知,是否訂貨的庫存臨界值為滿足條件(6)的最小的s。經(jīng)計算可得條件(6)的右邊等于162 220,當(dāng)s=60時,條件(6)的左邊等于163 200,大于右邊,條件不成立,故是否訂貨的庫存臨界值在60~80之間。由條件(6)可以求得,1 205/16為滿足該條件的最小的s。因此,當(dāng)期初庫存大于1 205/16時,無須訂貨;當(dāng)期初庫存小于該值時,訂貨至庫存量等于80。

        算例2某廠對原料需求量的概率分別為P(r=160)=0.1,P(r=170)=0.2,P(r=180)=0.3,P(r=190)=0.3,P(r=200)=0.1,訂貨費C3=6 000元,K=1500元,存儲費C1=100元,缺貨費C2=2 200元,求該廠存儲策略。

        解由條件(4)容易求得最優(yōu)庫存上限S=180。將S=180代入條件(6)的右邊,得到結(jié)果為287 400;將s=160代入條件(6)的左邊,得到結(jié)果為286 200,因286 200<287 400,故知s<160。

        而s的具體數(shù)值則根據(jù)條件(6)進行計算:當(dāng)s<160時,條件(6)的左邊為1500s+2 200×[(160-s)×0.1+(170-s)×0.2+(180-s)×0.3+(190-s)×0.3+(200-s)×0.1],令該表達式等于287 400,可得:s=1108/7。因此,該廠的存儲策略為當(dāng)期初庫存大于1 108/7時,無須訂貨;當(dāng)期初庫存小于該值時,訂貨至庫存量等于180。

        綜上所述,本文提出的模型給出了離散型(s,S)存儲策略的求解方法,證明了S的取值范圍與解的判別方法,拓展了s的求解方法與結(jié)論。以上兩個算例說明本文的模型是有效的。因此,在實際教學(xué)過程中,要注重學(xué)生獨立思考與批判性思維能力的培養(yǎng),不唯書、不唯上、只唯實,這樣才能提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

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