朱 柱，謝 凡，胡積寶

（1.安慶師范大學(xué)電子工程與智能制造學(xué)院，安徽 安慶 246133；2.金陵科技學(xué)院計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，江蘇 南京 211169）

特勒根定理[1]是集總電路理論中的一個(gè)重要基礎(chǔ)理論，由它可以推導(dǎo)集總電路理論中諸多基本電路定理[2]。該定理與基爾霍夫電流定律（KCL）、基爾霍夫電壓定律（KVL），任意給出兩者便導(dǎo)出第三者；也可由該定理證明互易定理；還可據(jù)此定理證明電壓源和電流源共同作用的電路中電源總功率的疊加原理等?，F(xiàn)行本科教材以及相關(guān)的文獻(xiàn)中對(duì)這一定理多以簡(jiǎn)單陳述或過(guò)于復(fù)雜的證明兩種較極端的方式給出[3-8]，這給剛進(jìn)入本科階段的學(xué)生造成學(xué)習(xí)障礙，不可避免地影響了教與學(xué)的效果。為此，本文將給出一種特勒根定理的簡(jiǎn)單證明方法，并以此證明互易定理的完整形式，引導(dǎo)理論知識(shí)薄弱的低年級(jí)本科生深入理解掌握電路的基礎(chǔ)理論，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)其認(rèn)識(shí)并構(gòu)建電路理論知識(shí)脈絡(luò)和課程思維體系的信心。

1 特勒根定理的基本形式

特勒根定理有兩種存在形式，其一便是熟知的功率守恒，另一種形式與功率守恒結(jié)構(gòu)類(lèi)似，被稱為似功率守恒。

功率守恒：若集總電路有b條支路，n個(gè)節(jié)點(diǎn)，設(shè)u1,u2,u3,…,ub是滿足KVL的各支路電壓，i1,i2,i3,…,ib是滿足KCL的各節(jié)點(diǎn)電流，且電壓電流都為關(guān)聯(lián)參考方向，則

也即電路中元件吸收功率代數(shù)和為零。

似功率守恒：對(duì)于具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的電路N和?來(lái) 說(shuō)，u1,u2,u3,…,ub；i1,i2,i3,…,ib；?分別代表兩電路中滿足KVL和KCL的支路電壓、電流，且參考方向關(guān)聯(lián)，則

式（2）、（3）超越狹義功率范疇，可稱為似功率守恒，然而較式（1）應(yīng)用空間更廣泛。

2 特勒根定理的證明

大多教學(xué)文獻(xiàn)常以基爾霍夫定律和數(shù)學(xué)拓?fù)鋵W(xué)知識(shí)為理論基礎(chǔ)導(dǎo)出特勒根定理。這對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的低年級(jí)本科生來(lái)說(shuō)，無(wú)論是對(duì)理解定理本身，還是對(duì)理解證明過(guò)程都存在障礙，為此，本文從簡(jiǎn)單的網(wǎng)孔電流和節(jié)點(diǎn)電壓入手結(jié)合基爾霍夫定律，簡(jiǎn)化定理的證明。

2.1 基于節(jié)點(diǎn)電壓的證明方法

電路N和?結(jié)構(gòu)相同，有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，b條支路，m個(gè)網(wǎng)孔，各節(jié)點(diǎn)上分別聯(lián)結(jié)k1,k2,k3,…,kn條支路，各網(wǎng)孔分別串聯(lián)l1,l2,l3,…,lm條支路。設(shè)每對(duì)節(jié)點(diǎn)有且僅有一條支路，若存在多條支路用一條支路代替，支路電流取代數(shù)和。電路的邊緣支路也構(gòu)成一個(gè)鏡像網(wǎng)孔，則。

將N中所有的支路電壓和N?中對(duì)應(yīng)的支路電流乘積求和，則有，進(jìn)一步整理得，其中kα是節(jié)點(diǎn)α的支路數(shù)，而

2.2 基于網(wǎng)孔電流的證明方法

上述兩種方法，僅借助網(wǎng)孔電流和節(jié)點(diǎn)電壓便可實(shí)現(xiàn)定理證明，避免了大量的拓?fù)鋽?shù)學(xué)理論，簡(jiǎn)單易于理解，較適合低年級(jí)本科生學(xué)習(xí)。

3 特勒根定理的應(yīng)用

互易定理是電路課程的又一重要定理，包括三種形式，證明的講述也是教學(xué)難點(diǎn)，現(xiàn)行教材常以網(wǎng)孔法分析線性方程組逐一證明不同形式，過(guò)程相對(duì)繁瑣，應(yīng)用特勒根定理，可實(shí)現(xiàn)證明過(guò)程統(tǒng)一化、簡(jiǎn)單化。

圖1為互易網(wǎng)絡(luò)N，N0是純電阻部分，N共有b條支路是其不同情況下的電壓和電流。兩種情況下，電壓的參考方向一致，電流的參考方向一致，且電壓電流參考方向關(guān)聯(lián)，于是有

圖1 互易網(wǎng)絡(luò)N

（1）若u1為電壓源電壓，i2為短路電流，互易后，同值電壓源電壓，?短路電流，則；

（2）若i1為電流源電流，u2為開(kāi)路電壓，互易后，同值電流源電流，開(kāi)路電壓，則；

（3）若i1為電流源電流，i2為短路電流，互易后，同值電壓源電壓，開(kāi)路電壓，則。

利用特勒根定理的第二種形式可實(shí)現(xiàn)3種形式的互易定理統(tǒng)一證明，過(guò)程如下，

N0相同，故上式中各電阻值相等。由以上4式得：

可見(jiàn)，應(yīng)用特勒根定理可以簡(jiǎn)化互易定理的證明，實(shí)質(zhì)上互易定理可視為特勒根定理的一種特例。

4 總結(jié)

綜上所述，由節(jié)點(diǎn)電壓和網(wǎng)孔電流兩個(gè)基本電路參量出發(fā)，可以簡(jiǎn)單有效地證明特勒根定理，文中給出的兩種方法避免了應(yīng)用數(shù)學(xué)拓?fù)淅碚撟C明該定理的常規(guī)模式，降低了定理的證明和理解難度，這對(duì)低年級(jí)的本科學(xué)習(xí)該課程具有參考價(jià)值。