于潮 孫幸榮

【摘?要】教材是教師和學生開展教學活動的核心工具，教師只有把教材的內涵和外延研析透徹，教學才能真正地深入淺出，取得良好的教學效果.因此教材分析就成為教學設計與實施的關鍵環(huán)節(jié).本文主要通過對三個版本教材中“旋轉”內容的編排方式、章頭導入的圖文、培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的題目及數(shù)學認知水平四個維度的比較探究，得出一些關于教材編排和教師教學的啟示與建議，為今后培養(yǎng)學生直觀想象的數(shù)學素養(yǎng)提供有效參考.

【關鍵詞】比較研究;旋轉;直觀想象

引言

我國最新頒布的《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“新課標”）明確強調培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)是至關重要的，其中直觀想象是幾何部分最為重要的數(shù)學素養(yǎng)[1].與平移、軸對稱一樣，旋轉也是實際生活中廣泛存在的現(xiàn)象，是現(xiàn)實世界運動變化的最基本形式之一.它們不僅是探索圖形性質，認識、描述物體形狀和空間位置關系的重要工具，而且是進行數(shù)學交流，以及解決現(xiàn)實世界中具體問題的必要手段.“新課標”中對“旋轉”內容的學習有以下明確要求：通過具體實例認識平面圖形關于旋轉中心的旋轉，探索旋轉的基本性質;了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索他們的基本性質;探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質;認識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的中心對稱圖形.

本文初中數(shù)學教材選取人民教育出版社九年級上冊（以下簡稱“人教版”）[2]、江蘇科學技術出版社八年級下冊（以下簡稱“蘇教版”）[3]、北京師范大學出版社八年級下冊（以下簡稱“北師大版”）[4]3個版本，從“旋轉”內容的編排方式、章頭導入的圖文、培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的題目及數(shù)學認知水平四個維度進行比較.

1?“旋轉”內容編排方式的比較

“旋轉”作為圖形與幾何中的重要內容，在不同版本教材中所占的比重也不盡相同，對學生學習掌握這一部分內容各有什么幫助，對教師在處理教學設計時又有何要求？以及對今后數(shù)學教材編寫有什么啟發(fā)[5]？通過比較分析將獲得對上述問題更深刻的理解.考慮到三個版本教材中“旋轉”這一知識點所在的位置和呈現(xiàn)方式有較為明顯的差別，所以，為探究編排者這樣安排的目的，本文通過三個思維導圖將三版教材中“旋轉”所在的章節(jié)目錄進行了對比，見圖1—圖3.

從“旋轉”內容在教材中的位置來看，人教版在九年級剛開始學習該知識點，而蘇教版和北師大版均將其放在八年級來進行學習.

從“旋轉”內容在不同版本中的呈現(xiàn)方式來看，除人教版把“旋轉”作為一整章內容外，其他兩版教材均是與其它內容放在一起進行編排的.而且總體來看，三個版本的教材中關于“旋轉”的內容均含有“圖形的旋轉、中心對稱”以及“圖案設計”這三部分內容.對于人教版，學生在學習這一知識點之前已經(jīng)學過了平移、軸對稱這兩種基本變換，有了一定的變換思想，對猜想、驗證等數(shù)學活動也有一定感受，這些都為新課學習提供了必備的知識經(jīng)驗，這也體現(xiàn)了“新課標”中“在遵循科學性的前提下，采用逐級遞進、螺旋上升的原則”[6].對蘇教版而言，“旋轉”與“中心對稱圖形——平行四邊形”一起學習，有利于學生掌握“中心對稱”這一重點內容.而北師大版，則是把“圖形的平移”與“圖形的旋轉”安排在一章進行學習，有利于培養(yǎng)學生類比遷移和動手操作的能力.

2?章頭導入的圖文比較

每個版本的章頭圖和文字都各有特點，同時也有許多共同點，三版教材中“旋轉”所在章節(jié)章頭導入的圖文比較如表1所示.

1.信息量最豐富的是北師大版，圖片中有“秋千”“旋轉木馬”“城堡”等生活中的常見元素，迎合孩子的興趣愛好，不僅充分展現(xiàn)了生活中的數(shù)學美，也與本章題目呼應.

2.文字部分不僅列舉了生活中的電梯、風扇的扇葉等與本章知識相關的物品，便于學生展開直觀想象進行學習，還在右下角明確標出了本章學習目標，而且層層遞進、由易到難，完整概括了整個章節(jié)即將呈現(xiàn)的內容，既對教師的教學設計有幫助，又可以深入到學生學習本章的整個過程.但有時也會起到反效果，這可能會助長學生的惰性心理，使其對探索新知缺乏主動性.

3?培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的題目比較

幾何作圖是本章教學過程中不可缺少的重要組成部分，通過作圖可以加深學生對“旋轉”的認識和理解，扎實的作圖功底和在畫圖過程中識別的能力、積累的經(jīng)驗都是學生后續(xù)解決幾何綜合問題的知識儲備[7].有效的操作活動，不僅有助于把抽象的數(shù)學知識形象化，還有利于培養(yǎng)學生直觀想象的數(shù)學素養(yǎng).縱觀三版教材中“旋轉”部分的所有內容，統(tǒng)計出了要求學生作圖或動手操作的題目，結果見圖4.（其中“教材正文”部分包括“思考、探究、嘗試、操作、例題、數(shù)學活動、圖案設計”等除了習題外所有包含“旋轉”的內容，“習題”部分包括“練習、習題、總復習題”等）.

從圖4可以看出，人教版和蘇教版的“旋轉”部分中培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的題目在總體數(shù)量上是接近的，而北師大版則明顯高于以上兩版.而且與其他兩版相比，北師大版本章習題中有大量自主設計圖案的題目，說明其在培養(yǎng)學生直觀想象核心素養(yǎng)的過程中，還注重發(fā)散思維和創(chuàng)新思維的提高.

在教材正文中，蘇教版比其他兩版更側重于培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)，其正文中有明顯的“操作、嘗試”等標志，這也說明蘇教版注重課堂上教師與學生的互動，而且教材正文中與習題中的數(shù)量是不相上下的，說明其在課堂上與課余時間對培養(yǎng)學生直觀想象素養(yǎng)的時間分配比較均衡，使學生真正成為課堂的主人，而這也正是“新課標”所倡導的.

但是人教版在這一方面的主要特點是：需要學生操作的部分，教材將步驟描述得非常詳細了，這樣學生完成得就相對輕松一點，如教材64—65頁中提到的：

“如圖23.2-3，三角尺的一個頂點是O，以點O為中心旋轉三角尺，可以畫出關于點O中心對稱的兩個三角形”，見圖5.

雖然這對培養(yǎng)學生直觀想象的核心素養(yǎng)有一定借鑒，但對培養(yǎng)學生獨立思考和幾何操作的能力有所欠缺.

4?數(shù)學認知水平的比較

這里借鑒顧泠沅先生的數(shù)學認知水平分析框架，他通過“青浦實驗”和相關理論研究將數(shù)學認知水平分為四個層次，水平1：計算——操作性記憶水平;水平2：概念——概念性記憶水平;水平3：領會——說明性理解水平;水平4：分析——探究性理解水平.水平1、2為較低認知水平，水平3、4為較高認知水平[8].

本文根據(jù)學生學習“旋轉”所需要達到的數(shù)學認知水平層次，對此部分內容的所有習題的數(shù)學認知水平層次做出如下界定：

水平1：計算——操作性記憶水平：該層次的認知水平只需學生簡單了解“旋轉”的過程以及“中心對稱”的概念，不需要理解;涉及到的習題則無需動筆就能求解，如“指出旋轉中心、旋轉角、對稱中心”等，只體驗解決問題的過程.

水平2：概念——概念性記憶水平：該層次的認知水平要求學生通過相關圖形及概念的呈現(xiàn)能夠接受“旋轉及中心對稱”的事實;對于習題，要求學生能夠根據(jù)題目要求在方格紙上畫出簡單的旋轉后的圖形，并能辨別簡單的中心對稱圖形等，體驗簡單分析、解決問題、動手操作的過程.

水平3：領會——說明性理解水平：該層次的認知水平要求學生通過教材上的操作過程以及相關圖形的呈現(xiàn)順利理解“旋轉和中心對稱”的事實，并能用自己的語言進行說明;對于習題，要求學生能夠根據(jù)題目熟練的畫出各種旋轉后的圖形以及中心對稱圖形，并能解決簡單的計算問題，體驗分析問題、解決問題、動手操作的過程.

水平4：分析——探究性理解水平：該層次的認知水平要求學生能夠綜合運用“旋轉”和“中心對稱”的所有知識點，并可以試圖通過舉例來對相關問題進行說明;對于一些復雜的、綜合性的問題能夠根據(jù)題目要求理清來龍去脈，熟練的進行解答，學生在探究的過程中完整地體驗發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的過程.

三版教材中所有與“旋轉”有關的習題中需要學生達到的數(shù)學認知水平，見表2.

從表2可以明顯的看出人教版和北師大版的習題中認知水平3和水平4占比較大，這說明這兩版教材更為注重培養(yǎng)學生的高層次數(shù)學能力和高層次認知水平，尤其是北師大版，其習題比較注重與實際生活的聯(lián)系，也重視培養(yǎng)學生的應用意識，如教材90頁的第16題和17題，見圖6.?16.利用平移、旋轉、軸對稱設計一個圖案，說明你所表達的含義，并在班上展示你的作品.?17.利用一個圓、一個正三角形、通過2次旋轉或平移設計一個圖案，說明你的設計意圖.

這兩題考察學生綜合性知識的運用，對學生應用意識和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)有一定幫助.蘇教版的習題中認知水平2和水平3比重較大，其中有大量的作圖題，說明該教材對學生的作圖能力要求較高，這有利于培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)以及數(shù)學觀察與動手操作的能力.

5?對教學的啟示與建議

5.1?對教材編排的思考與建議

第一，根據(jù)“新課標”要求，相較于其他兩版教材，北師大版的教材編寫更有利于學生體驗與理解、思考與探索，也更符合學生的認知規(guī)律.在七年級安排“基本圖形”、“生活中的軸對稱”，為八年級學習“圖形的平移與旋轉”奠定了良好的幾何基礎，也為九年級即將學習“平行四邊形”、“圖形的相似”、“圓”等內容做了重要鋪墊.北師大版對于初中“圖形與幾何”內容的安排均衡合理，各部分內容銜接恰當，符合“新課標”所要求的“循序漸進，螺旋上升”的原則.而人教版八年級安排“軸對稱”，九年級學習“旋轉”、“圓”、“相似”等內容，導致九年級教學難點過于集中，學生學習難度增大.

第二，將“旋轉”與“平移”結合起來作為一整章進行編寫，這樣可以更便于將兩者聯(lián)系起來，有利于培養(yǎng)學生類比遷移的能力和直觀想象的素養(yǎng).這里北師大版教材處理得較為合理，“平移”是學習“旋轉”的基礎知識，“旋轉”是“平移”的拓展和延伸，二者相輔相成.而蘇教版將“旋轉”與“多邊形”結合起來學習，盡管“旋轉”是工具性的知識，但這樣編寫可能會弱化它的存在.

5.2?對教師教學設計的建議

第一，教師應培養(yǎng)學生良好的作圖習慣，加強學生對幾何圖形的認識和理解，在動手畫圖的基礎上適當借助計算機畫圖軟件輔助教學.利用計算機，可以直觀地看到圖形運動變換的全過程以及運動中的特殊位置，對圖形性質的發(fā)現(xiàn)和探究很有幫助，這一點在每版教材的“信息技術”板塊也都有體現(xiàn).此外，在課堂上教師應當指導學生利用尺規(guī)和其它工具規(guī)范作圖，培養(yǎng)學生良好的作圖習慣，且引導學生課堂與課后學習時間統(tǒng)籌分配，正如蘇教版所編排的，教師應盡可能多的在課堂上培養(yǎng)學生動手操作的能力，這樣安排，一方面，在課堂上教師可以盡力幫助學生答疑解惑、示范操作;另一方面學生在課后不會因作圖不規(guī)范而得不到及時糾正.

第二，為了避免范希爾理論所提到的“從一個水平過渡到另一個水平不是平緩的，而是一個跳躍的過程，在到達新水平前，學生會經(jīng)歷一個思維的危機”[9].教師應充分利用教材中的習題，布置習題時選擇符合學生認知水平的題目，根據(jù)習題的層次合理選擇，使學生循序漸進的提升.另外，教材中安排了畫圖、分析、歸納等探究活動，教師在教學時應充分利用這些資源，重視培養(yǎng)學生觀察、發(fā)現(xiàn)、比較、歸納等綜合能力，從而逐步增強學生的探究能力.

第三，教師在教授“圖案設計”這一板塊時，應讓學生體驗和感受圖形旋轉基本性質的探索過程，進一步培養(yǎng)學生直觀想象的數(shù)學素養(yǎng)，也可以從日常生活入手，拉近數(shù)學與生活的距離，幫助學生積累豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗.教師還應充分利用教材上的“閱讀與思考”板塊豐富學生的數(shù)學史知識，拓寬學生的數(shù)學思維.如在課堂導入環(huán)節(jié)，教師可以借助課本上的素材資料或有趣的數(shù)學活動展開，以激發(fā)學生的學習興趣，充分調動其學習積極性.

以上提出的建議只是一小部分，基于新課標提倡的核心素養(yǎng)理念，培養(yǎng)學生思維能力和創(chuàng)新精神的策略還有很多.數(shù)學教材的改善和數(shù)學教學的提升是一個漫長的過程，還需要長時間的探索，需要我們繼續(xù)為之努力，引領數(shù)學教育走向新未來.

參考文獻

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[2]林群.義務教育教科書·數(shù)學（九年級上冊）[M].北京：人民教育出版社，2014.

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[9]茍丹丹.基于范希爾理論的初中數(shù)學教材幾何思維水平的比較研究[D].天津：天津師范大學，2019.

作者簡介?于潮（1998—），女，山東諸城人，碩士研究生，主要從事學科教學（數(shù)學）研究.

孫幸榮（1978—），女，湖北蘄春人，教授.主要從事數(shù)學教育及應用數(shù)學研究.