高亞瑞， 陶雙平

西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，蘭州 730070

設t>0，at(x，y)為Rn×Rn上的函數(shù)，滿足

其中σ為(0，∞)上非負有界的遞減函數(shù)，并且存在ε>0，使得

設f∈Lp(Rn)(p≥1)，恒等逼近Dt定義為

定義1設T為L2(Rn)上的有界線性算子，并且存在K(x，y)，使得對每個具有緊支集的連續(xù)函數(shù)f，有

并且滿足

(a) 存在恒等逼近{Bt：t>0}和常數(shù)c1，c2>0，使得T°Bt的核函數(shù)kt(x，y)滿足

(b) 存在恒等逼近{At：t>0}和常數(shù)c3，c4>0，以及δ>0，使得At°T的核函數(shù)Kt(x，y)滿足

和

則稱T為粗糙核的奇異積分算子．

奇異積分及其交換子已被廣泛研究[1-5]．文獻[6]證明了分數(shù)次奇異積分算子的Lp(Rn)有界性．關(guān)于粗糙核奇異積分算子和變量核的分數(shù)次積分算子更多的研究結(jié)果可參見文獻[7-10]．文獻[11]給出了關(guān)于粗糙核奇異積分的Toeplitz算子從Lebesgue空間到Orlicz空間的有界性．關(guān)于Toeplitz-型算子的更多結(jié)論可見文獻[12-13]．本文的主要目的是給出關(guān)于上面粗糙核奇異積分的Toeplitz-型算子的加權(quán)端點估計．

T為定義1中的粗糙核奇異積分，b為Rn上的局部可積函數(shù)，與T相關(guān)的Toeplitz-型算子定義為

其中Tk，1為T或±I(I為恒等算子)，Tk，2為線性算子(k=1，…，m)，Mb(f)=bf．

A1權(quán)的定義為

給定Rn中的方體Q和局部可積函數(shù)b，由文獻[14]有

‖b-b2kQ‖BMO≤Ck‖b‖BMO

定義2令{At：t>0}為恒等逼近，ω為權(quán)函數(shù)，

(a) 關(guān)于{At：t>0}的加權(quán)BMO空間定義為

(b) 關(guān)于{At：t>0}的加權(quán)中心CMO空間定義為

其中，Q(0，r)表示中心為0 邊長為r的方體，tQ=r2．

定義3設1

最近，文獻 [15]研究了多線性分數(shù)次奇異積分在Herz空間和Herz-型Hardy空間上的端點估計．本文的主要結(jié)果如下：

定理1設T是粗糙核的奇異積分算子，Tk，2是L∞(ω)上的有界線性算子，ω∈A1．如果對于任意的g∈Lr(Rn)(1

定理2設T是粗糙核的奇異積分算子，1

引理1[14]設ω∈Ap，p≥1，則對Rn中的任意方體Q，存在一個絕對常數(shù)C>0，使得

ω(2Q)≤Cω(Q)ω(λQ)≤Cλnpω(Q)λ>1

則

引理3[7，16]粗糙核奇異積分算子T是(p，p)-型的和弱(1，1)-型的，其中1

引理4[16]設T是粗糙核奇異積分，ω∈A1，1

定理1的證明只需證：對于任意的方體Q，存在常數(shù)C>0，成立

不失一般性，假設Tk，1為T(k=1，…，m)．固定方體Q=Q(x0，d)，注意到T1(g)=0，有

Tb(f)(x)=Tb-bQ(f)(x)=T(b-bQ)χ2Q(f)(x)+T(b-bQ)χ(2Q)c(f)(x)=U1(x)+U2(x)

則

其中tQ=(l(Q))2，l(Q)表示Q的邊長．

對于I1，因為ω∈A1，則ω滿足反向H?lder不等式

其中1

下面估計I2．

由T的Lp(Rn)有界性得

對于J2，注意到當x∈Q，y∈2j+1Q2jQ時，有|x-y|≤2j-1tQ，則

因此

由于

所以

結(jié)合J1，J2的估計，得出

I2≤C‖f‖L∞(ω)‖b‖BMO

最后估計I3．注意到當x∈Q，y∈Rn2Q時，有|x-y|～|x0-y|，由K的條件有

將危重患者實際液體出入量情況與316張護理監(jiān)護單液體出入量記錄情況進行比較，記錄每一處少記、錯記、多記、漏記、誤記等情況，分析每一處記錄不正確情況發(fā)生的相關(guān)因素，找出存在的問題并制定相應對策。

至此，就完成了定理1的證明．

定理2的證明不失一般性，假設Tk，1為T(k=1，…，m)．對任意的方體Q=Q(0，d)，類似于定理1的證明，記tQ=d2，有

對L1，由引理4和H?lder不等式，對于任意的t>1，有

下面估計L2．

由于

所以

結(jié)合M1，M2的估計，就有

L2≤C‖f‖Bp(ω)‖b‖CMO

最后對L3做出估計．由于

因此，對任意的1

故得到了L3≤C‖f‖Bp(ω)‖b‖CMO．

至此，定理 2 證畢．