趙子祥 李金鳳

（1.山西醫(yī)科大學(xué)晉祠學(xué)院，山西 太原 030025；2.山西科技學(xué)院，山西 晉城 048000）

一、知識遷移概述

知識遷移，顧名思義，就是指在一種環(huán)境中所獲得的知識技能，過程方法和情感態(tài)度價(jià)值觀對另一種環(huán)境中知識技能的獲得，過程方法的掌握，價(jià)值觀的形成所產(chǎn)生的影響，也就是一類學(xué)習(xí)對另一類學(xué)習(xí)產(chǎn)生的影響。遷移又分為順向和逆向，已掌握的知識對新知識獲取的影響為順向的，學(xué)生學(xué)習(xí)了定積分的概念及其幾何意義后，再學(xué)習(xí)二重積分的概念和幾何意義，就是順向影響；新習(xí)得的知識對原有知識儲備的影響為逆向的，學(xué)生學(xué)習(xí)完三重積分的相關(guān)知識后，會對二重積分的理解更加深刻或者將二者混為一談。這些影響有積極助力的，為正遷移，也有適得其反起消極作用的，為負(fù)遷移，因此在教學(xué)過程中，要避免負(fù)遷移的發(fā)生。

二、關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移的研究現(xiàn)狀

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移能力對培養(yǎng)應(yīng)用型人才至關(guān)重要，對今后各個學(xué)科的學(xué)習(xí)都有重要影響，因此，大量學(xué)者們對遷移能力的提升做出了研究貢獻(xiàn)。

本文將通過高等數(shù)學(xué)極限和積分的教學(xué)案例，探索在高數(shù)教學(xué)課堂中提升數(shù)學(xué)知識遷移能力的方法和培養(yǎng)遷移能力的重要性，希望對以后的教學(xué)提供可參考的方案和想法。

三、如何提升學(xué)生的知識遷移能力

（一）引導(dǎo)學(xué)生通過類比推理進(jìn)行知識遷移

數(shù)學(xué)中的很多重要定理都是在原有知識范疇上，進(jìn)行類比推廣，繼而進(jìn)行驗(yàn)證，從而得到另一領(lǐng)域的新結(jié)論。數(shù)列極限的定義到函數(shù)極限的定義就是從特殊到一般的推廣。

在這個定義中，學(xué)生第一次接觸到ε,N這些抽象的數(shù)學(xué)符號，教師可以把這些符號轉(zhuǎn)化為學(xué)生容易理解的詞語或者幾何圖像，幫助學(xué)生真正理解數(shù)列極限的含義，消除對大學(xué)數(shù)學(xué)的恐懼感，建立自信心。

?ε>0，不等式都成立，說明ε其實(shí)是一個很小的數(shù)，這點(diǎn)需給學(xué)生指出，當(dāng)n>N時有|xn?A|<ε，也就是當(dāng)n趨于很大的值時，xn趨于定值A(chǔ)。

上面的數(shù)軸表示，落在區(qū)間(A?ε,A+ε)外的點(diǎn)至多只有有限個，也就是N個。通過數(shù)軸表示，讓學(xué)生深刻理解數(shù)列極限的思想。

總結(jié)上述兩個教學(xué)過程，在講授數(shù)列極限定義時，不能只停留到文字表面，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入剖析，發(fā)現(xiàn)定義內(nèi)部規(guī)律，學(xué)會規(guī)范使用數(shù)學(xué)語言，自己能夠復(fù)述出極限的概念，能做到這一步，說明學(xué)生已經(jīng)真正消化了數(shù)列極限。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考數(shù)列和函數(shù)的聯(lián)系，然后將數(shù)列極限的思想應(yīng)用到函數(shù)極限上，嘗試自己類比推理出函數(shù)極限的定義。要鼓勵學(xué)生不要害怕失敗，在經(jīng)過多次摸索探究后，知識遷移能力自然會得到提升。講授完函數(shù)極限后，教師要讓學(xué) 生及時回顧數(shù)列極限，利用逆向遷移的積極影響，使得學(xué)生將數(shù)列極限和函數(shù)極限轉(zhuǎn)化為長時記憶，不用為了期末考試而突擊背誦。

（二）鼓勵學(xué)生大膽猜想，論證細(xì)節(jié)完成知識遷移

很多著名定理都是先提出合理的猜想，然后經(jīng)過學(xué)者們不斷的論證，繼而得到一個成果。牛頓站在自己家的花園中，蘋果正好落到了他的頭上，于是他突發(fā)奇想，地球是不是有一股神秘的力量，要不蘋果為什么不往天上飛呢，他把這個神秘力量叫做萬有引力，經(jīng)過論證，最終得到了萬有引力定律。

我們知道定積分的概念是由求曲邊梯形的面積而引出的，曲邊梯形的面積又是經(jīng)過分割、近似求和、取極限得到的。定積分是對一元函數(shù)f(x) 討論的，它的定義域?yàn)閰^(qū)間，幾何意義為面積，那么我們對二元函數(shù)f(x,y) 進(jìn)行討論，定義域就為區(qū)域，幾何意義變?yōu)槎嘀氐?，大膽猜想為體積，這樣，就有了二重積分。三重積分可否表示質(zhì)量，我們先做這樣的假設(shè)，再通過系統(tǒng)的步驟驗(yàn)證。如此，就從一維空間拓展到多維空間。

曲邊梯形如右圖，說到求面積，學(xué)生可能無法下手，第一步往往是最難開展的。曲邊的面積不會求，直邊的矩形面積很好求，所以以直代曲，這樣得出的結(jié)果誤差較大，再將曲邊梯形按照區(qū)間(a,b) 近似分割成若干個小矩形，這些小矩形的面積之和取極限即為曲邊梯形的面積。這些求曲邊梯形面積的步驟轉(zhuǎn)化為了這樣形式和的極限，除去幾何意義外，這類數(shù)學(xué)體系就把它定義為定積分。

教師可通過多媒體工具，演示分割越來越細(xì)時曲頂柱體的動態(tài)視頻，讓學(xué)生體會分割，取極限思想。雖然二重積分的概念對一些工科專業(yè)的學(xué)生來說不是重點(diǎn)，但是這種數(shù)學(xué)思想頗為重要，有助于培養(yǎng)學(xué)生的多維立體想象力和建模能力，通過一步步的努力，問題得以解決，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的耐心。最后結(jié)合曲邊梯形面積的求法，將處理不規(guī)則物體的方法總結(jié)為用已知近似替代未知，最后取極限，這種思想在今后的專業(yè)理論課經(jīng)常會用到，知識遷移也會繼續(xù)進(jìn)行下去。

（三）指導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)有問題拆解分化為原有知識，從而實(shí)現(xiàn)從舊到新的遷移

在需要解決一個新的問題時，教師要幫助學(xué)生將現(xiàn)有問題進(jìn)行拆解細(xì)化，直到可以用舊知識來解決新知識為止。要想做到這一步，需要學(xué)生對舊知識相當(dāng)熟悉，在碰到新問題時可以及時聯(lián)想到之前的知識經(jīng)驗(yàn)，在原有知識儲備倉庫中迅速匹配到相關(guān)內(nèi)容，從而用它來解決遇到的新問題。

在學(xué)習(xí)了二重積分的概念后，就要研究二重積分如何計(jì)算，這也是教師教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容。學(xué)生已經(jīng)掌握了定積分的計(jì)算方法，那么二重積分的計(jì)算可否轉(zhuǎn)化為已學(xué)習(xí)過的定積分求解問題呢。讓學(xué)生進(jìn)行思考，這里就涉及到了降維的思想，與之相對應(yīng)的，把二重積分表示的體積降維轉(zhuǎn)化為面積，這個想法是可以實(shí)現(xiàn)的。通過讓學(xué)生調(diào)動高等數(shù)學(xué)上冊第六章所學(xué)過的平行截面面積為已知的立體的體積，即，其中A(x) 表示垂直于x軸的截面面積。大體思想就是，當(dāng)所求立體的垂直于x軸的各個截面都可以用一個表達(dá)式表示出來時，即用A(x) 表示，x∈[a,b]，那么以A(x)為底，高為dx的薄片的體積微元dV=A(x)dx，所求立體體積就為根據(jù)二重積分的幾何意義可知，至此，實(shí)現(xiàn)了二重降到了一重。

截面到底是怎樣表示的，是關(guān)于x的函數(shù)，還是關(guān)于y的函數(shù)，這里就需引出兩種類型的積分區(qū)域D。確定了D的類型后，才能確定如何切這個立體，垂直于y軸切，或是平行于y軸切，教師要提醒學(xué)生注意分情況考慮這個問題，不可一概而論。

下面兩圖分別是X-型區(qū)域和Y-型區(qū)域。

確定了積分區(qū)域的類型后，就可以知道怎樣切立體。積分區(qū)域?yàn)閄-型時，用垂直于x軸的平面去切，積分區(qū)域?yàn)閅-型時，用垂直于y軸的平面去切。

到這，就實(shí)現(xiàn)了將二重積分的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為了兩次定積分的求解問題，從二維求解降到了一維求解，問題得到解決，學(xué)生可將定積分的計(jì)算方法遷移至此。

四、提升知識遷移能力的意義

（一）能夠提升學(xué)生從多個不同角度來思考問題的能力，做到一題多解

在學(xué)習(xí)完新知識后，要及時回顧舊知識，從而實(shí)現(xiàn)知識逆向遷移，利用好雙向遷移的積極影響，將新舊知識聯(lián)系起來。由點(diǎn)連成線，由線構(gòu)成面，再由面組成體，構(gòu)建一個相互連接的知識結(jié)構(gòu)，做到將所學(xué)知識融會貫通，將腦子中的知識分類放到一起，在需要的時候可以迅速準(zhǔn)確的找到。

獲取新知識后，可以結(jié)合先前所學(xué)知識，從另外一個個角度再去重新考慮考慮相同的問題，會得到一個不同的解題思路，從而加深對該知識點(diǎn)的理解，做到多角度分析問題。例如在學(xué)習(xí)了三重積分后，可以用求積分的方法來求球體的體積，驗(yàn)證了之前高中所學(xué)習(xí)的球體體積公式，之后碰到類似問題后，可用多種方法來解答。

（二）有利于提高學(xué)生的自學(xué)能力及積極性

教師教是為了不教，學(xué)生有了知識遷移能力后，在碰到類似問題后，可以根據(jù)先前知識游刃有余的解決，也避免了為了教而教的現(xiàn)象。學(xué)生有能力后就會對學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣，學(xué)習(xí)完數(shù)列極限，一元函數(shù)的極限后，可能會主動思考二元函數(shù)極限是怎樣定義的，學(xué)習(xí)完一元函數(shù)求導(dǎo)，會思考二元函數(shù)怎么求導(dǎo)，有幾種導(dǎo)數(shù)類型。

（三）有助于開發(fā)學(xué)生的思維散發(fā)能力，從而提升科研能力

學(xué)生可將現(xiàn)有理論繼續(xù)推廣到其他領(lǐng)域，比如三重積分又表示什么幾何意義，實(shí)數(shù)域上的泰勒展開情況知道了，那么復(fù)數(shù)域上的情形是怎樣的呢，在學(xué)術(shù)創(chuàng)作上，學(xué)生可以由一個點(diǎn)散發(fā)到多點(diǎn)，由此開展研究創(chuàng)作，提供創(chuàng)作源泉，繼而知識遷移能力得到鍛煉，遷移過程能夠繼續(xù)開展下去，由此形成良性循環(huán)，遷移能力越來越好，發(fā)生遷移的次數(shù)越來越多。

（四）能夠?qū)?shù)學(xué)知識遷移應(yīng)用到其他學(xué)科，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科學(xué)習(xí)

利用二重積分，可知密度為ρ(x,y)的平面薄片的質(zhì)量為，其重心坐標(biāo)為，。通過三重積分可得空間立體的轉(zhuǎn)動慣量。也可將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到生活實(shí)際求解問題中，可以幫助我們將生活實(shí)際抽象化為一個數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而通過求解數(shù)學(xué)問題來解決。