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        二次函數(shù)與高考如影隨形
        ——記“數(shù)學(xué)教師-快樂相約”QQ群中一道函數(shù)題解法的探析與挖掘

        2011-11-27 02:26:26
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)教師

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        (杭州市第十四中學(xué) 浙江杭州 310006) (浬浦中學(xué) 浙江諸暨 311824)

        二次函數(shù)與高考如影隨形——記“數(shù)學(xué)教師-快樂相約”QQ群中一道函數(shù)題解法的探析與挖掘

        ●馬茂年●王蘇文

        (杭州市第十四中學(xué) 浙江杭州 310006) (浬浦中學(xué) 浙江諸暨 311824)

        將導(dǎo)數(shù)知識(shí)放到高中教材之后,我們會(huì)聯(lián)想到可以用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的較多題目,相對(duì)而言與二次函數(shù)有關(guān)的很多問題都被教師與學(xué)生所忽視.在最近幾年各個(gè)省份的高考試卷中,與二次函數(shù)有關(guān)的問題在不斷地升溫.如安徽卷、山東卷、天津卷、湖南卷、廣東卷、四川卷都單獨(dú)考查了有關(guān)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、零點(diǎn)、恒成立等問題.陜西卷、福建卷、江蘇卷以其他函數(shù)與二次函數(shù)結(jié)合的形式進(jìn)行考查.雖然有些高考題本身不是考查二次函數(shù),但解決問題時(shí)還是需要轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進(jìn)行思考.由此可以看出有關(guān)二次函數(shù)的問題還是有必要引起數(shù)學(xué)教師和學(xué)生的關(guān)注,尤其是以二次函數(shù)為載體的考查.本文以二次函數(shù)一例進(jìn)行解法探析與挖掘,供參考.

        1 題目與解法

        分析本題以二次函數(shù)為載體,考查最值問題.我們知道最值的常見處理方法有:數(shù)形結(jié)合、線性規(guī)劃、基本不等式、單調(diào)性等.對(duì)于本題這類變量較多的最值形式,一般可先將變量減少后進(jìn)行思考與解答.該如何替換變量呢?不妨先考慮從條件出發(fā)直接替換變量.

        解法1根據(jù)條件可得a>0,Δ≤0,則

        評(píng)注此解法巧妙地將變量b進(jìn)行替換,通過換元,結(jié)合基本不等式進(jìn)行最值計(jì)算,但需注意等號(hào)是否能夠取到.

        解法2由已知得a>0,Δ≤0,則

        因此

        令b=a+t(t>0),得

        評(píng)注此法有效地將變量c進(jìn)行替換,達(dá)到消元的目的,進(jìn)而可以使用基本不等式求解最值.解法2也可不引進(jìn)變量t進(jìn)行求解:

        當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4a時(shí),取到等號(hào).

        上述2種解法從條件出發(fā)進(jìn)行變量替換,筆者總感覺從不等式去替換有點(diǎn)不放心,能否考慮從等式出發(fā)進(jìn)行替換呢?譬如從所求式子出發(fā)進(jìn)行變量替換行得通嗎?由此得出解法3.

        c=t(b-a)-(b+a).

        由Δ=b2-4ac≥0,可將c=t(b-a)-(b+a)代入得

        余下同解法2.

        評(píng)注此法通過對(duì)所求式子賦予變量,利用等式將變量c進(jìn)行替換,從而參與題目的解答.與解法1、解法2相比,差別在于解法1、解法2通過條件用不等式進(jìn)行變量替換,而解法3是通過所求等式進(jìn)行變量替換.

        巧解由已知所有的函數(shù)值均非負(fù),可得f(-2)≥0,即

        4a-2b+c≥0,a+b+c≥3(b-a).

        因?yàn)閎>a,所以

        反思對(duì)學(xué)生而言,存在幾種困惑與錯(cuò)誤:(1)變量如此之多該如何處理;(2)替換之后該如何轉(zhuǎn)化到運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解;(3)誤把“Δ=b2-4ac≤0”變成“Δ=b2-4ac=0”進(jìn)行求解;(4)沒有計(jì)算等式成立的條件.

        2 題目再挖掘

        本題求解的關(guān)鍵是正確理解題意,細(xì)致剖析,運(yùn)用轉(zhuǎn)化方法,結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解.有了上述解答,我們可編制下列一些題目.

        注本題只需將上述解法中的“Δ≤0”改成“Δ=0”即可.

        注本題是對(duì)例題的逆向思考,探索結(jié)論是否成立,具有較強(qiáng)的綜合性.

        平時(shí)只要我們能用心去思考問題,總能發(fā)現(xiàn)一些可挖掘的元素,進(jìn)而提高對(duì)知識(shí)的正確掌握與理解.作為重要的初等函數(shù)之一的二次函數(shù),許多問題可化歸為二次函數(shù)來處理,尤其是對(duì)3個(gè)二次(二次函數(shù)、二次方程、二次不等式)的正確掌握顯得格外重要.像2009年、2010年浙江卷的高考?jí)狠S題均為函數(shù)類試題,而且均可轉(zhuǎn)化為二次方程進(jìn)行解答,值得深思.

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