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(大堰初中 浙江奉化 315509)

七巧板能拼出多少種凸多邊形

●董孟雄

(大堰初中 浙江奉化 315509)

1 問題的提出

問題對正方形ABCD按如圖1所示劃分,其中E,F分別是BC,AB的中點,M,N,G分別是OA,OC,EF的中點,沿分劃線可以剪出一副由七塊部件組成的“七巧板”.設正方形OGFM的邊長為1.請用這幅七巧板既不留下一絲空隙,又不相互重疊,各拼出1種周長最大與最小的凸多邊形,畫在圖2中,并計算最大周長與最小周長各是多少？

圖1

圖2

圖3

圖4

圖3中的多邊形周長為什么是最大的？圖4中的多邊形周長為什么又是最小的？筆者亦是百思不得其解,只能換個角度思考：七巧板到底能拼出多少種凸多邊形？

2 問題的分析

圖5

(2)7塊部件的內角總和1 620°,其中有9個直角、12個45°角、2個135°角.

(3)不論拼成哪種多邊形,其面積為常量8.

(4)可以從凸多邊形的邊數(shù)分類討論.

3 問題的解決

3.1 拼成三角形

三角形的內角和等于180°,由七巧板角的特征,知只有180°=90°+45°+45°,因此拼成的三角形必為等腰直角三角形(唯一).因為面積為8,所以直角三角形的直角邊長為4,如圖6所示.

圖6

圖7

3.2 拼成四邊形

四邊形的內角和等于360°,由七巧板角的特征,知

360°=90°×4=90°×2+45°×1+135°×1=

135°×2+45°×2.

3.2.1 360°=90°×4

拼成的四邊形為正方形或長方形.

若為正方形,則圖形唯一確定,如圖7所示;

長、寬分別為4,2的矩形如圖8所示.

圖8

圖9

3.2.2 360°=90°×2+45°×1+135°×1

若2個直角相鄰,則拼成的四邊形為直角梯形.

若梯形的高為2,則上、下底之和為8,如圖10所示.

圖10

若2個直角不相鄰,則所得四邊形如圖11所示.過點A作AE⊥CD于點E,過點B作BF⊥AE于點F,連結BD,如圖12.設CE=n,ED=m,則

因為四邊形的面積為8,所以

即

m2-n2+2mn=16.

又由n

16=m2-n2+2mn>m2-n2+2n2>2n2，

即

n2<8,

解得

n=2或n=1.

當n=2或n=1時,m都不是整數(shù).因此拼不出如圖11所示的四邊形.

圖11

圖12

3.2.3 360°=135°×2+45°×2

若2個135°角相鄰,則拼成的四邊形是等腰梯形,如圖13所示.

若2個135°角相對,則拼成的四邊形是平行四邊形,如圖14所示.

圖13

圖14

3.3 拼成五邊形

五邊形的內角和等于540°,由七巧板角的特征,知

540°=135°×3+90°×1+45°×1=

135°×2+90°×3.

3.3.1 540°=135°×3+90°×1+45°×1

若3個135°角相鄰,則能構成這類五邊形的最小面積為6.5,如圖15.比它略大的五邊形面積必超過8,所以這類五邊形也不能拼成.

圖15

圖16

若3個135°角中的一個與其余2個不相鄰,則拼成的五邊形如圖16所示.

3.3.2 540°=135°×2+90°×3

得x<4.因為x是偶數(shù),所以

x=2.

當x=2時,mn=10,不存在大于2的整數(shù)解.

圖17

圖18

8=2ab-t2>t2,

得

t=2.

當t=2時,ab=6,不存在大于2的整數(shù)解.所以不存在這樣的五邊形.

若3個90°角中的一個與其余2個不相鄰,則拼成的五邊形如圖18所示.

3.4 拼成六邊形

六邊形的內角和等于720°,由七巧板角的特征,知

720°=135°×5+45°×1=135°×4+45°×2.

4.4.1 720°=135°×5+90°×1

拼出的四邊形面積至少為9.5,如圖19,因此這類六邊形不能拼成.

圖19

圖20

4.4.2 720°=135°×4+90°×2

若2個直角相鄰,則拼成的六邊形如圖20所示;若2個直角不相鄰,則拼成的六邊形如圖21,22,23所示.

圖21

圖22

圖23

4.5 不能拼成七邊形或八邊形

七邊形的內角和等于900°,由七巧板角的特征,知

900°=135°×6+90°×1,

這樣的七邊形最小面積為7.5,稍大些則必超過8,因此不能拼成七邊形.

同理可得,也不能拼成八邊形.

4.6 不能拼成邊數(shù)大于8的多邊形

因為七巧板能提供的最大內角為135°.對于n邊形,有135n≥180(n-2),解得n≤8,所以不能拼成邊數(shù)大于8的多邊形.

至此,七巧板能拼出13種不同形狀的凸多邊形.

4 問題的反思

(1)本題周長的最大值或最小值很難(幾乎不可能)從理論上證明,圖形存在多樣性,探討情況也很復雜,因此這樣的問題是否適宜當作筆試的題目？筆者認為這個問題更適宜當作一個課題,在課堂活動中探究.

(2)上述問題的解答過程或許有些環(huán)節(jié)不甚嚴密,請大家不吝指正.