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        “生長數(shù)學(xué)”理念下的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課初探
        ——以“數(shù)與式”的復(fù)習(xí)為例

        2021-12-05 02:45:11江美紅
        初中生世界 2021年20期
        關(guān)鍵詞:代數(shù)式分式化簡(jiǎn)

        ■江美紅

        在日常教學(xué)中,不少教師在復(fù)習(xí)課上只是把所要復(fù)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的羅列,變成新授課的機(jī)械重復(fù),學(xué)生無論從知識(shí)、能力上都得不到更多收獲。如何提高復(fù)習(xí)課的效能,這是畢業(yè)班教師非常關(guān)心的問題。“生長數(shù)學(xué)”理念下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課,能根據(jù)所要復(fù)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容和學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn),堅(jiān)持系統(tǒng)化理論,踐行“生長數(shù)學(xué)”的教學(xué)主張,運(yùn)用結(jié)構(gòu)化的思維方法,架設(shè)生長型路徑,開展探究性活動(dòng)。學(xué)生可從中積累新經(jīng)驗(yàn)、經(jīng)歷新感受、收獲新成長。

        數(shù)與式這兩章的內(nèi)容,知識(shí)點(diǎn)多而散,數(shù)中包含有理數(shù)、無理數(shù)、實(shí)數(shù)、開方、方根等概念及運(yùn)算,式中包含整式、分式、二次根式等概念、性質(zhì)及運(yùn)算。復(fù)習(xí)課除了要對(duì)這些知識(shí)進(jìn)行查漏補(bǔ)缺外,還要打開章節(jié)通道,貫通前后內(nèi)容,聚集所要復(fù)習(xí)的核心知識(shí),智慧地整合教學(xué)資源。

        教學(xué)環(huán)節(jié)1.數(shù)的復(fù)習(xí)

        問題1.我們到現(xiàn)在為止,學(xué)過哪些數(shù)?

        設(shè)計(jì)意圖:復(fù)習(xí)實(shí)數(shù)的分類。

        問題2.認(rèn)識(shí)了實(shí)數(shù)后,我們還學(xué)過哪些實(shí)數(shù)的運(yùn)算?

        設(shè)計(jì)意圖:引發(fā)學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)相關(guān)運(yùn)算知識(shí)的回憶。

        設(shè)計(jì)意圖:把學(xué)生在回答問題1、問題2中的數(shù)字和符號(hào)連起來,生成算式,讓學(xué)生回顧開方、負(fù)指數(shù)冪、絕對(duì)值、零指數(shù)冪等中考??嫉闹R(shí)點(diǎn)。

        問題4.請(qǐng)同學(xué)們對(duì)①式進(jìn)行計(jì)算,并說出計(jì)算結(jié)果。

        設(shè)計(jì)意圖:本環(huán)節(jié)用問題串的形式啟發(fā)學(xué)生思考,通過理性計(jì)算,驗(yàn)證了意想不到的結(jié)論,既提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,也為下一個(gè)問題做好鋪墊。

        問題6.若要保持計(jì)算結(jié)果不變,①式中的數(shù)字3還能不能改了?若能,還能改成哪些數(shù)?

        設(shè)計(jì)意圖:此環(huán)節(jié)讓學(xué)生歸納結(jié)論,提出猜想,讓他們?cè)谇笾那械臓顟B(tài)下,全身心地投入到學(xué)習(xí)中去。

        教學(xué)環(huán)節(jié)2.由數(shù)到式

        問題7.如何證明上述猜想?

        設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生經(jīng)歷完整的“歸納——猜想——證明”推理過程,提升學(xué)生的邏輯推理能力,同時(shí)體悟由數(shù)到式的必要性和優(yōu)越性。

        問題8.將①式中的3 用字母a代替,得到代數(shù)式,記為③,在這個(gè)代數(shù)式里,有哪些特殊的代數(shù)式呢?

        設(shè)計(jì)意圖:用問題來引出代數(shù)式的分類,對(duì)比數(shù)的分類,讓學(xué)生感受兩者之間的異同點(diǎn)。讓學(xué)生親歷整合碎片化知識(shí)的過程,更好地理清知識(shí)之間的聯(lián)系。

        問題9.使③式成立的條件是什么?

        預(yù)設(shè)生成:學(xué)生的回答可能有缺漏,需引導(dǎo)學(xué)生考慮問題要全面,進(jìn)而得出字母a的取值范圍是a>0。

        設(shè)計(jì)意圖:通過這個(gè)問題,復(fù)習(xí)了二次根式、分式等代數(shù)式成立的條件,學(xué)生養(yǎng)成了看到含字母的代數(shù)式就有挖掘隱含條件的習(xí)慣和意識(shí),感受數(shù)與式之間的區(qū)別。

        問題10.化簡(jiǎn)③式,除了用到數(shù)的相關(guān)知識(shí)外,還需要掌握什么知識(shí)或方法呢?

        問題11.通過化簡(jiǎn)③式,我們能發(fā)現(xiàn)①式中的數(shù)字3換成哪些數(shù)可使答案不變呢?

        預(yù)設(shè)生成:在問題10 的鋪墊下,學(xué)生不難得出:當(dāng)0<a<1 時(shí),原式=;當(dāng)a≥1 時(shí),原式=1。所以,可以將①中的數(shù)字3換成任何不小于1的數(shù),答案都為1。學(xué)生能夠感受到用字母表示數(shù)的優(yōu)越性以及代數(shù)問題中變中不變的規(guī)律。

        設(shè)計(jì)意圖:進(jìn)一步鞏固代數(shù)式的化簡(jiǎn)。

        教學(xué)環(huán)節(jié)3.拓展提升

        預(yù)設(shè)生成:此題有多種解答方法,第一種是直接代入;第二種是將x、y分母有理化后再直接代入;第三種是求出x+y=4,xy=1 后,再整體代入變形后的代數(shù)式,或求出x2+y2的值再整體代入;第四種是把所求代數(shù)式化為后再計(jì)算。學(xué)生會(huì)答出多種思路,教師只需引導(dǎo)學(xué)生思考更簡(jiǎn)捷的思路即可。

        設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生通過化簡(jiǎn)計(jì)算,提高分式、二次根式的運(yùn)算能力,體會(huì)解題方法的多樣性和感受整體思想的優(yōu)越性。

        問題13.上題中,由x+y=4,xy=1,我們可以求出x2+y2的值,那么你還能求出哪些代數(shù)式的值?

        預(yù)設(shè)生成:學(xué)生可能回答(x?y)2,,x2y+xy2……不管說出幾個(gè),教師都可引導(dǎo)學(xué)生觀察這些代數(shù)式具有的共同特點(diǎn),給出對(duì)稱式的概念,再舉出更多代數(shù)式的例子,任選幾個(gè)典型代數(shù)式并求出它們的值。

        設(shè)計(jì)意圖:復(fù)習(xí)乘法公式在整式、分式、二次根式中的正向、逆向運(yùn)用,引出對(duì)稱式的概念,并感受知二求多的過程。

        問題14.由x+y=4,xy=1,你能不能將x,y放在其他不同的背景中,如幾何圖形或者函數(shù)背景下,嘗試設(shè)計(jì)出其他問題?

        預(yù)設(shè)生成:學(xué)生可能想到矩形,已知周長和面積,求對(duì)角線長;也可能想到直角三角形,已知兩條直角邊的和與面積,求斜邊長;可能放在函數(shù)背景下,已知一次函數(shù)y=?x+4 和反比例函數(shù)y=,求兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。此問題難度高,可給予學(xué)生足夠的時(shí)間,小組合作探討,再分享成果。

        設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生回顧所學(xué)知識(shí),并將知識(shí)進(jìn)行橫縱向聯(lián)系,提升學(xué)生的思維深度和廣度。

        該部分設(shè)計(jì)利用由數(shù)到式、數(shù)式應(yīng)用這條主線,勾勒出異于新授課的思維場(chǎng)景,營造出復(fù)習(xí)這一內(nèi)容的新思維氛圍。經(jīng)過教師創(chuàng)造性演變過的學(xué)習(xí)活動(dòng),是有價(jià)值且高效的,是學(xué)生驟然頓悟的質(zhì)變過程。這個(gè)過程可助力學(xué)生思維活動(dòng)的展開,培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新性。

        【教學(xué)思考】

        1.選準(zhǔn)問題的起點(diǎn)與終點(diǎn)。

        創(chuàng)造性地使用教材,要有打破教材結(jié)構(gòu)的勇氣,總結(jié)教學(xué)中相近或相鄰的知識(shí),從知識(shí)體系和知識(shí)結(jié)構(gòu)上去把握初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求,選準(zhǔn)問題的起點(diǎn)與終點(diǎn)。本課例以“我們到現(xiàn)在為止,學(xué)過哪些數(shù)?”這一個(gè)典型問題為學(xué)習(xí)起點(diǎn),引出數(shù)與式的概念、運(yùn)算的復(fù)習(xí)。設(shè)置問題“ 已知,求的值”是為了將教材中的基本問題逐步演變成中考中的焦點(diǎn)問題,幫助學(xué)生尋找和總結(jié)解題的方案。

        2.設(shè)計(jì)好問題生長的路徑。

        在選好問題的起點(diǎn)與終點(diǎn)之后,要認(rèn)真謀劃所要復(fù)習(xí)內(nèi)容的生長過程,精心設(shè)計(jì)好問題生長的路徑,創(chuàng)造性地提煉知識(shí)的生長鏈,充分展示模型變化、結(jié)構(gòu)變化、背景變化、深度變化的關(guān)系。如:改變算式中的數(shù)字3,若使得算式的結(jié)果不變,猜想可以改成哪些數(shù)?由數(shù)到式加以論證,揭示變化中的不變性的規(guī)律。再如:由x+y=4,xy=1,能否將x,y放在其他不同的背景中,如幾何圖形或者函數(shù)背景下,嘗試設(shè)計(jì)出其他問題?學(xué)生在創(chuàng)造過程中感受成功的喜悅,不斷地開拓與超越,凸顯數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),彰顯數(shù)學(xué)變式的魅力。

        3.精選生長鏈中的例題和習(xí)題。

        用“生長數(shù)學(xué)”理念進(jìn)行架構(gòu),要根據(jù)所復(fù)習(xí)的內(nèi)容,精選生長鏈中的例題和習(xí)題,如問題12 選擇分式的化簡(jiǎn)求值問題,是中考的重要考點(diǎn),該題解法多樣,且滲透了重要的數(shù)學(xué)思想方法。還可以對(duì)此進(jìn)行變式,讓學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性的練習(xí)。最后提升難度,學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)等式,設(shè)計(jì)不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)問題。所選的變式問題注意到不同的梯度,重構(gòu)舊知識(shí)的新視野,學(xué)生從中積累新經(jīng)驗(yàn),收獲新成長。

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