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        “生長數(shù)學(xué)”理念下的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課初探
        ——以“數(shù)與式”的復(fù)習(xí)為例

        2021-12-05 02:45:11江美紅
        初中生世界 2021年20期
        關(guān)鍵詞:代數(shù)式分式化簡

        ■江美紅

        在日常教學(xué)中,不少教師在復(fù)習(xí)課上只是把所要復(fù)習(xí)的知識進行簡單的羅列,變成新授課的機械重復(fù),學(xué)生無論從知識、能力上都得不到更多收獲。如何提高復(fù)習(xí)課的效能,這是畢業(yè)班教師非常關(guān)心的問題?!吧L數(shù)學(xué)”理念下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課,能根據(jù)所要復(fù)習(xí)的知識內(nèi)容和學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗,堅持系統(tǒng)化理論,踐行“生長數(shù)學(xué)”的教學(xué)主張,運用結(jié)構(gòu)化的思維方法,架設(shè)生長型路徑,開展探究性活動。學(xué)生可從中積累新經(jīng)驗、經(jīng)歷新感受、收獲新成長。

        數(shù)與式這兩章的內(nèi)容,知識點多而散,數(shù)中包含有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)、開方、方根等概念及運算,式中包含整式、分式、二次根式等概念、性質(zhì)及運算。復(fù)習(xí)課除了要對這些知識進行查漏補缺外,還要打開章節(jié)通道,貫通前后內(nèi)容,聚集所要復(fù)習(xí)的核心知識,智慧地整合教學(xué)資源。

        教學(xué)環(huán)節(jié)1.數(shù)的復(fù)習(xí)

        問題1.我們到現(xiàn)在為止,學(xué)過哪些數(shù)?

        設(shè)計意圖:復(fù)習(xí)實數(shù)的分類。

        問題2.認(rèn)識了實數(shù)后,我們還學(xué)過哪些實數(shù)的運算?

        設(shè)計意圖:引發(fā)學(xué)生對實數(shù)相關(guān)運算知識的回憶。

        設(shè)計意圖:把學(xué)生在回答問題1、問題2中的數(shù)字和符號連起來,生成算式,讓學(xué)生回顧開方、負指數(shù)冪、絕對值、零指數(shù)冪等中考常考的知識點。

        問題4.請同學(xué)們對①式進行計算,并說出計算結(jié)果。

        設(shè)計意圖:本環(huán)節(jié)用問題串的形式啟發(fā)學(xué)生思考,通過理性計算,驗證了意想不到的結(jié)論,既提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力,也為下一個問題做好鋪墊。

        問題6.若要保持計算結(jié)果不變,①式中的數(shù)字3還能不能改了?若能,還能改成哪些數(shù)?

        設(shè)計意圖:此環(huán)節(jié)讓學(xué)生歸納結(jié)論,提出猜想,讓他們在求知心切的狀態(tài)下,全身心地投入到學(xué)習(xí)中去。

        教學(xué)環(huán)節(jié)2.由數(shù)到式

        問題7.如何證明上述猜想?

        設(shè)計意圖:讓學(xué)生經(jīng)歷完整的“歸納——猜想——證明”推理過程,提升學(xué)生的邏輯推理能力,同時體悟由數(shù)到式的必要性和優(yōu)越性。

        問題8.將①式中的3 用字母a代替,得到代數(shù)式,記為③,在這個代數(shù)式里,有哪些特殊的代數(shù)式呢?

        設(shè)計意圖:用問題來引出代數(shù)式的分類,對比數(shù)的分類,讓學(xué)生感受兩者之間的異同點。讓學(xué)生親歷整合碎片化知識的過程,更好地理清知識之間的聯(lián)系。

        問題9.使③式成立的條件是什么?

        預(yù)設(shè)生成:學(xué)生的回答可能有缺漏,需引導(dǎo)學(xué)生考慮問題要全面,進而得出字母a的取值范圍是a>0。

        設(shè)計意圖:通過這個問題,復(fù)習(xí)了二次根式、分式等代數(shù)式成立的條件,學(xué)生養(yǎng)成了看到含字母的代數(shù)式就有挖掘隱含條件的習(xí)慣和意識,感受數(shù)與式之間的區(qū)別。

        問題10.化簡③式,除了用到數(shù)的相關(guān)知識外,還需要掌握什么知識或方法呢?

        問題11.通過化簡③式,我們能發(fā)現(xiàn)①式中的數(shù)字3換成哪些數(shù)可使答案不變呢?

        預(yù)設(shè)生成:在問題10 的鋪墊下,學(xué)生不難得出:當(dāng)0<a<1 時,原式=;當(dāng)a≥1 時,原式=1。所以,可以將①中的數(shù)字3換成任何不小于1的數(shù),答案都為1。學(xué)生能夠感受到用字母表示數(shù)的優(yōu)越性以及代數(shù)問題中變中不變的規(guī)律。

        設(shè)計意圖:進一步鞏固代數(shù)式的化簡。

        教學(xué)環(huán)節(jié)3.拓展提升

        預(yù)設(shè)生成:此題有多種解答方法,第一種是直接代入;第二種是將x、y分母有理化后再直接代入;第三種是求出x+y=4,xy=1 后,再整體代入變形后的代數(shù)式,或求出x2+y2的值再整體代入;第四種是把所求代數(shù)式化為后再計算。學(xué)生會答出多種思路,教師只需引導(dǎo)學(xué)生思考更簡捷的思路即可。

        設(shè)計意圖:學(xué)生通過化簡計算,提高分式、二次根式的運算能力,體會解題方法的多樣性和感受整體思想的優(yōu)越性。

        問題13.上題中,由x+y=4,xy=1,我們可以求出x2+y2的值,那么你還能求出哪些代數(shù)式的值?

        預(yù)設(shè)生成:學(xué)生可能回答(x?y)2,,x2y+xy2……不管說出幾個,教師都可引導(dǎo)學(xué)生觀察這些代數(shù)式具有的共同特點,給出對稱式的概念,再舉出更多代數(shù)式的例子,任選幾個典型代數(shù)式并求出它們的值。

        設(shè)計意圖:復(fù)習(xí)乘法公式在整式、分式、二次根式中的正向、逆向運用,引出對稱式的概念,并感受知二求多的過程。

        問題14.由x+y=4,xy=1,你能不能將x,y放在其他不同的背景中,如幾何圖形或者函數(shù)背景下,嘗試設(shè)計出其他問題?

        預(yù)設(shè)生成:學(xué)生可能想到矩形,已知周長和面積,求對角線長;也可能想到直角三角形,已知兩條直角邊的和與面積,求斜邊長;可能放在函數(shù)背景下,已知一次函數(shù)y=?x+4 和反比例函數(shù)y=,求兩個函數(shù)圖像的交點到原點的距離。此問題難度高,可給予學(xué)生足夠的時間,小組合作探討,再分享成果。

        設(shè)計意圖:讓學(xué)生回顧所學(xué)知識,并將知識進行橫縱向聯(lián)系,提升學(xué)生的思維深度和廣度。

        該部分設(shè)計利用由數(shù)到式、數(shù)式應(yīng)用這條主線,勾勒出異于新授課的思維場景,營造出復(fù)習(xí)這一內(nèi)容的新思維氛圍。經(jīng)過教師創(chuàng)造性演變過的學(xué)習(xí)活動,是有價值且高效的,是學(xué)生驟然頓悟的質(zhì)變過程。這個過程可助力學(xué)生思維活動的展開,培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新性。

        【教學(xué)思考】

        1.選準(zhǔn)問題的起點與終點。

        創(chuàng)造性地使用教材,要有打破教材結(jié)構(gòu)的勇氣,總結(jié)教學(xué)中相近或相鄰的知識,從知識體系和知識結(jié)構(gòu)上去把握初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求,選準(zhǔn)問題的起點與終點。本課例以“我們到現(xiàn)在為止,學(xué)過哪些數(shù)?”這一個典型問題為學(xué)習(xí)起點,引出數(shù)與式的概念、運算的復(fù)習(xí)。設(shè)置問題“ 已知,求的值”是為了將教材中的基本問題逐步演變成中考中的焦點問題,幫助學(xué)生尋找和總結(jié)解題的方案。

        2.設(shè)計好問題生長的路徑。

        在選好問題的起點與終點之后,要認(rèn)真謀劃所要復(fù)習(xí)內(nèi)容的生長過程,精心設(shè)計好問題生長的路徑,創(chuàng)造性地提煉知識的生長鏈,充分展示模型變化、結(jié)構(gòu)變化、背景變化、深度變化的關(guān)系。如:改變算式中的數(shù)字3,若使得算式的結(jié)果不變,猜想可以改成哪些數(shù)?由數(shù)到式加以論證,揭示變化中的不變性的規(guī)律。再如:由x+y=4,xy=1,能否將x,y放在其他不同的背景中,如幾何圖形或者函數(shù)背景下,嘗試設(shè)計出其他問題?學(xué)生在創(chuàng)造過程中感受成功的喜悅,不斷地開拓與超越,凸顯數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),彰顯數(shù)學(xué)變式的魅力。

        3.精選生長鏈中的例題和習(xí)題。

        用“生長數(shù)學(xué)”理念進行架構(gòu),要根據(jù)所復(fù)習(xí)的內(nèi)容,精選生長鏈中的例題和習(xí)題,如問題12 選擇分式的化簡求值問題,是中考的重要考點,該題解法多樣,且滲透了重要的數(shù)學(xué)思想方法。還可以對此進行變式,讓學(xué)生進行針對性的練習(xí)。最后提升難度,學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)等式,設(shè)計不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)問題。所選的變式問題注意到不同的梯度,重構(gòu)舊知識的新視野,學(xué)生從中積累新經(jīng)驗,收獲新成長。

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