□鮑善軍 朱曙光

數(shù)學(xué)教育家米山國藏曾說過：“學(xué)生們所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，在進入社會后，幾乎沒有什么機會應(yīng)用……然而不管他們從事什么職業(yè)，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想，卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用?！苯虒W(xué)中，這些相關(guān)的數(shù)學(xué)精神和思想方法是否真正得到落實，本質(zhì)上是學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度理解及數(shù)學(xué)思維水平進階的具體反映。

依據(jù)SOLO分類理論，根據(jù)可觀察的學(xué)習(xí)結(jié)果，可以將學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維層次劃分如下（如圖1）。

圖1

實踐表明，“一題一課”的教學(xué)有助于促進學(xué)生的思維由低向高逐步進階。所謂“一題一課”，是指通過對一個主題或一組習(xí)題的深入研究，科學(xué)、合理、有序地組織學(xué)生展開相關(guān)的數(shù)學(xué)探究活動。借助這“一題”，促進學(xué)生對知識之間關(guān)聯(lián)性的理解，實現(xiàn)學(xué)一題、透一點、通一類、達一片的教學(xué)目標(biāo)。“一題一課”系統(tǒng)性地通過多維構(gòu)建、思維轉(zhuǎn)換，促使學(xué)生的思維由“單點結(jié)構(gòu)”走向“多點結(jié)構(gòu)”水平；通過一題多解、化隱為顯，促使學(xué)生的思維從“多點結(jié)構(gòu)”邁向“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”水平；通過橫向拓寬、縱向深入，促使學(xué)生的思維由“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”躍至“抽象擴展”水平。教學(xué)中，引領(lǐng)學(xué)生一次次感悟提升，逐步發(fā)展高階思維水平，促進數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的自然生長。

一、路徑整合：思維水平由“單點結(jié)構(gòu)”走向“多點結(jié)構(gòu)”

在問題解決過程中，停留在前結(jié)構(gòu)、單點結(jié)構(gòu)思維水平的學(xué)生想要“跳一跳”達到多點結(jié)構(gòu)思維水平，需要找到多個解決問題的思路。引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問題，借助直觀認(rèn)識事物之間的共同屬性和聯(lián)系，可以讓學(xué)生的理解由單點結(jié)構(gòu)水平提升至多點結(jié)構(gòu)水平。

（一）多維構(gòu)建，探尋路徑

教學(xué)中，教師應(yīng)調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，放手讓學(xué)生自主進行互動式的探究，探尋多種解決問題的途徑，并適時引導(dǎo)學(xué)生將這些解題思路進行整合，促其達成自主構(gòu)建的方式，有助于學(xué)生的思維由“單點結(jié)構(gòu)”水平提升為“多點結(jié)構(gòu)”水平。

【案例1】奇妙的三角形：如圖2，兩條虛線互相平行。你能找出面積相等的三角形嗎？你還能畫出和它們面積相等的三角形嗎？

圖2

（1）任務(wù)一：以BC為底，畫出與△ABC面積相等的三角形，建構(gòu)多樣三角形。

建構(gòu)：畫出與△ABC面積相等的三角形。

討論：畫出的三角形是否面積都相等？怎么畫面積相等的三角形比較方便？

小結(jié)：同底等高的三角形面積相等，且有無數(shù)個。

（2）任務(wù)二：畫出與這兩個三角形面積之和相等的一個大三角形，深化方法應(yīng)用。

交流：你是怎么想的？

展示：全班交流想法（如圖3）。

圖3

比較：這三種方法有什么異同？

小結(jié)：底邊固定，左右移動頂點，頂點重合。

（3）任務(wù)三：求陰影部分的面積，強化等積變形。

遷移：將三角形的頂點重合在一起，轉(zhuǎn)化成與它們面積之和相等的一個大三角形（如圖4）。

圖4

拓展：如圖5，將三角形②的右上頂點往下拉，三角形①和②轉(zhuǎn)化成高為3cm，底為12cm的三角形。

圖5

關(guān)聯(lián)：我們是怎么解決問題的？這兩題的解決方法有什么共同之處？

本案例通過一組習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生深入理解等積變形，由此找到解決問題的多種思路，繼而完成對思路的整合，在多維建構(gòu)和關(guān)聯(lián)溝通中，學(xué)生的思維從“單點結(jié)構(gòu)”水平提升為“多點結(jié)構(gòu)”水平。

（二）思維轉(zhuǎn)換，優(yōu)化路徑

當(dāng)學(xué)生的思維遇到障礙停滯不前時，引導(dǎo)學(xué)生從另一個角度剖析問題，突破思維定式，探索問題本質(zhì)，優(yōu)化解決問題的路徑，同樣也可以促進學(xué)生的思維從“單點結(jié)構(gòu)”水平提升為“多點結(jié)構(gòu)”水平。

【案例2】怎么算積最大：用2、3、4、5這四個數(shù)字組成□□×□□，要使乘積最大，你認(rèn)為是哪兩個數(shù)字組合？

（1）轉(zhuǎn)變思維，從“精算”到“簡算”。

交流：共有多少種算式的組合方式？哪些算式容易判斷積的大小，哪些不容易判斷？

比較：53×42和52×43的大小。

反饋：將它們都算出來。

追問：還有更簡單的比較方法嗎？

明理：如圖6，53×42＝52×42+42，52×43＝52×42+52，42＜52，所以53×42＜52×43。

圖6

（2）路徑優(yōu)化，由“形”通“數(shù)”。

提示：①想一想：聯(lián)想所學(xué)知識；②畫一畫：與圖形相結(jié)合；③算一算：看圖形列算式。

優(yōu)化：利用圖形明晰計算結(jié)構(gòu)，再根據(jù)圖形列出算式。

此題融入了排列組合、分類、算理理解等多項內(nèi)容。比較53×42和52×43積的大小時，教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合和拆分計算兩條不同路徑理解兩個算式的差異，再進行比較。這個過程中，學(xué)生能夠主動轉(zhuǎn)換角度來思考和解決問題，他們通過調(diào)動多種知識聯(lián)動解決問題，達到對算式意義的深度理解，思維在轉(zhuǎn)換中實現(xiàn)了進階。

二、關(guān)聯(lián)溝通：思維水平由“多點結(jié)構(gòu)”邁向“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”

處于多點結(jié)構(gòu)思維水平的學(xué)生，能找到解決問題的多種途徑，卻找不到方法之間的關(guān)聯(lián)。要使思維從多點結(jié)構(gòu)水平逐步邁向關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，可以進行如下嘗試：一是從多種方法中抽象出解題模型；二是對解題方法進行結(jié)構(gòu)性的一一對應(yīng)和深度關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)方法的融通和歸一，提高解決問題的能力。

（一）一題多解，模型構(gòu)建

對于綜合性的問題，可放手讓學(xué)生自主探究，探尋多種解決問題的策略。教師只需引導(dǎo)學(xué)生對這些方法進行關(guān)聯(lián)和概括即可，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)這些方法的共同特征，構(gòu)建解題的模型。

【案例3】長方體和正方體體積計算練習(xí)：計算立體圖形的體積（如圖7）。

圖7

（1）計算圖形體積。

呈現(xiàn)：一個“L”形平面圖形（圖7的底面）。

想象：將這個“L”形多邊形向上平移6厘米掃過的區(qū)域是一個什么圖形？

計算：這個立體圖形的體積是多少？你能用不同的方法解決嗎？

交流：相互交流，理解并判斷同伴的方法。

（2）關(guān)聯(lián)計算方法。

展示：方法匯總，厘清思路（如圖8）。

圖8

溝通：這些方法有什么相同之處？（6表示圖形的高，前面的算式都表示圖形的底面積）

完善：立體圖形體積的計算其實就是“底面積×高”。

（3）建立柱體模型。

設(shè)疑：可以把這個立體圖形的前面（長方形）當(dāng)成底面,用“底面積×高”求它的體積嗎？為什么？

釋疑：底面應(yīng)該相對且大小形狀相等，把這個長方形當(dāng)?shù)酌?，向后平移后底面不一樣了?/p>

以上案例，教師在一道題目的不斷變化中，引導(dǎo)學(xué)生逐步將解題規(guī)律模型化，主動架構(gòu)柱體體積算理和算法之間的橋梁，加深學(xué)生對柱體概念本質(zhì)的理解，強化對于柱體體積計算方法的記憶。學(xué)生在多種算法的整合中，思維水平也從“多點結(jié)構(gòu)”進階為“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”。

（二）化隱為顯，多元歸一

有些問題雖然有多種解決的方法，但方法呈現(xiàn)的形式卻大相徑庭，如果細(xì)究就會發(fā)現(xiàn)其表示的含義毫無二致。此時，教師需引導(dǎo)學(xué)生對這些方法進行結(jié)構(gòu)性的關(guān)聯(lián)和比對，促進其對解題方法和問題意義的通透理解，達到融會貫通的效果。

【案例4】雞兔同籠：籠子里有若干只雞和兔，一共8個頭，22條腿。雞和兔各有幾只？

（1）問題梳理，發(fā)現(xiàn)隱含信息。

提問：我們已經(jīng)知道了哪些數(shù)學(xué)信息？求怎樣的數(shù)學(xué)問題？

梳理：雞兔一共有8只，腿一共有22條。雞有2條腿，兔有4條腿（隱含）。求的是雞和兔各有幾只。

（2）方法呈現(xiàn)，顯化隱含算式。

要求：①想一想：獨立思考，用合適的方法解決問題；②說一說：小組間交流想法；③記一記：記錄問題研究的過程。

呈現(xiàn)：列表法（從頭開始枚舉、從尾開始枚舉、從中間開始枚舉）、畫圖法（先全部畫成雞、先全部畫成兔）。

抽象：用算式表示畫圖的過程。

（3）本質(zhì)關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)方法融通。

思考：這些方法之間有什么聯(lián)系嗎？

溝通：圖中每多兩條腿，就是列表中雞少1只，兔多1只。而算式則是畫圖的抽象表示，這三種方法表達的意思相同，只是表現(xiàn)的形式不同（如圖9）。

圖9

小結(jié)：所有的方法都需要先假設(shè)后調(diào)整。

借助一道雞兔同籠問題，教師逐步引導(dǎo)學(xué)生理解畫圖是對列表的直觀呈現(xiàn)，假設(shè)是對畫圖的抽象概括，畫圖是從列表走向假設(shè)的橋梁。借助三種方法的探究與溝通，促進學(xué)生對解題方法的深度思考和理解，將這些方法融會貫通，在實現(xiàn)思維可視化的同時，思維水平也得到了進階。

三、拓展延伸：思維水平由“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”躍升至“抽象擴展”

鄭毓信教授指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本含義就在于：我們應(yīng)當(dāng)通過數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會思維，并能使他們逐步學(xué)會想得更清晰、更深入、更全面、更合理?！比粢龑?dǎo)學(xué)生思維從關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平躍升至抽象拓展水平，教師需要對習(xí)題內(nèi)容不斷地進行挖掘和拓展，以發(fā)展學(xué)生的思維，開拓學(xué)生的視野。

（一）橫向拓寬，本質(zhì)遷移

對原型問題探究完全時，教師還需引導(dǎo)學(xué)生進行聯(lián)想，促其思維橫向蔓延，將研究的方法和經(jīng)驗遷移到對其他同類型事物的應(yīng)用中，培養(yǎng)學(xué)生觸類旁通和舉一反三的意識和能力。

【案例5】怎么圍面積大：用24米長的線段，圍成一個長方形，怎么圍才能使長方形的面積最大呢？（長、寬取整米數(shù)）

大部分學(xué)生能猜測出圍成正方形的面積最大，也能夠通過有序的枚舉計算驗證，但是學(xué)習(xí)不能到此為止，教師應(yīng)拓展學(xué)生的思維，幫助學(xué)生遷移類推，讓思維水平再提升一層。

在學(xué)生發(fā)現(xiàn)“周長一定，長寬越接近，面積越大”“正方形的面積最大”的規(guī)律之后，教師繼續(xù)追問：“還能圍成比正方形面積更大的圖形嗎？”激發(fā)學(xué)生的活動經(jīng)驗，進行猜測：正五邊形、正六邊形、正八邊形……圓等圖形的面積可能會更大。教師繼續(xù)引導(dǎo)：“用什么辦法證明呢？”提供工具讓學(xué)生探索驗證，并用微課深化認(rèn)知。最終得到結(jié)論：周長一定，邊數(shù)越多，正多邊形的面積越大，圓的面積最大。

數(shù)學(xué)是一門研究關(guān)系的學(xué)科。教學(xué)中順著長方形的面積變化引導(dǎo)思維延伸到其他平面圖形中去，將研究的層次提升到另一種高度，拓寬學(xué)生的思維，建構(gòu)平面圖形面積的整體結(jié)構(gòu)。

（二）縱向深入，通透拓展

原型問題解決之后，教師還要有意識地順著問題背后的知識線索，引導(dǎo)學(xué)生不斷地向縱深挖掘，從這個問題延伸到其他的問題，并對這個問題再次進行深入探索，將涉及的知識點串聯(lián)成線。

【案例6】圓柱體積的再認(rèn)識：用4個面積都是36dm2的長方形（如圖10）分別卷成圓柱，哪個圓柱的體積最?。磕膫€最大？你有什么發(fā)現(xiàn)？為什么？

圖10

教師以此問題作為知識基點，進行圓柱側(cè)面積和體積的復(fù)習(xí)。學(xué)生經(jīng)歷猜想、計算、觀察、探索等過程，發(fā)現(xiàn)在側(cè)面積相等的情況下，圓柱體積的變化規(guī)律并理解其原理（如圖11）。

圖11

這是一個基于實踐的規(guī)律探索和經(jīng)驗積累的過程，其目標(biāo)指向于知識脈絡(luò)的通融而非問題解決。在此基礎(chǔ)之上，教師可再一次追根深問：面積不變，如果卷成的圓柱體積逐漸變大，長方形的長和寬會怎樣變化？

在想象和思辨的過程中，慢慢溝通圓柱側(cè)面積和體積之間的聯(lián)系，學(xué)生認(rèn)知從特殊走向一般，知識結(jié)構(gòu)從零散走向整體，問題理解從關(guān)聯(lián)走向通透。毫無疑問，由此必將促使學(xué)生的學(xué)習(xí)不斷走向深處，思維水平逐步走向高階。

基于SOLO分類理論的“一題一課”教學(xué)設(shè)計與實踐，可以促使學(xué)生在“一課”中深入探究“一題”，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗和思維經(jīng)驗，架構(gòu)知識整體結(jié)構(gòu)。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中往往“屢屢碰壁”，而又始終“樂此不?！?。實踐表明，推進“一題一課·高階導(dǎo)向”主題教研，通過“一題一課”發(fā)展學(xué)生高階思維水平，是促進學(xué)生核心素養(yǎng)真正提升的有效方式。