江蘇省南京市成賢街小學(xué) 王 恒

高年級的數(shù)學(xué)試題，通常具備這些特點：知識范圍廣、思維難度深、解題方法活、規(guī)范格式嚴(yán)、題型變化多。在這樣的環(huán)境下，一味地多訓(xùn)練，采取題海戰(zhàn)術(shù)顯然不合理。筆者意識到，作為教師，要深入研究各類數(shù)學(xué)試題，帶領(lǐng)學(xué)生一起“管理”不同題型，歸納和總結(jié)的過程中，不僅能夠提高效率，科學(xué)地保障學(xué)習(xí)實效，而且能夠提高數(shù)學(xué)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)，一舉多得。

一、題型管理的意識萌發(fā)

初步復(fù)習(xí)長方體和正方體的表面積時，有這樣一道題讓學(xué)生煩惱：

從一個棱長5厘米的正方體木塊上，挖去一個棱長2厘米的小正方體，剩下部分的表面積是多少平方厘米？

想要以合理的思路方法解決此題，難度是較高的。課堂上一部分學(xué)生的神情，說明他們沒有見識過這樣的問題，題型視野不夠?qū)掗煛?/p>

小高率先發(fā)言：“這很明顯表面積不變啊，挖掉3個面又多出來3個面，只要計算原來的表面積?！?/p>

小姜：“那你不能只計算原來的表面積，還要將挖去的3個面減掉，再加上凹下去那里多出來的3個面，體現(xiàn)出這個挖的過程?！?/p>

幾個看破端倪的學(xué)生點點頭看向筆者等待老師的點評，其他學(xué)生也發(fā)出了醒悟的驚嘆，他們已經(jīng)知道為什么表面積不變了。然而，仍有一些平時極為活躍的學(xué)生覺得不對勁，反常地沉寂在那里。

……

正當(dāng)筆者假意繼續(xù)進行下一環(huán)節(jié)的時候，小肖突然冒出一句，“也有可能表面積會變?！贝藭r教室的其他幾個方向也發(fā)出了共鳴“對！”“而且是變大?！薄岸也恢挂环N情況。”……

小姚向大家解釋：“剛才不變的情況是最簡單的情況，即假設(shè)挖的這個小正方體剛好在大正方體的角上。但是也有可能在棱中或者在面中。如果在棱中，那么只能挖去2個面，卻多出了4個面。如果在面中，那么只能挖去1個面，卻多出了5個面。表面積都是變大的。”

余下的時間，學(xué)生自主畫圖、解題。

對于初步接觸長方體和正方體表面積計算的學(xué)生而言，這道題不易解決，大致有以下兩個原因。

其一，思維難度大幅提高。長方體和正方體單元是小學(xué)階段學(xué)生第一次系統(tǒng)地學(xué)習(xí)空間體，概念、計算等內(nèi)容是全新的。相對于平面幾何，空間幾何的知識和思維難度有質(zhì)的飛躍?？臻g想象和空間意識較為薄弱的學(xué)生容易一頭霧水。這道題恰好出現(xiàn)在學(xué)完表面積和表面積計算的拓展練習(xí)課上，不易應(yīng)對。

其二，題型視野不夠?qū)掗?。如果說知識難度是客觀因素，那么題型視野是可以靠自身努力去拓寬的。其實班級里有兩位幾乎不發(fā)言的優(yōu)秀學(xué)生，從他們一慣的表情就看出早就掌握了此題，只是配合老師“演戲”罷了。除了自身聰明以外，更重要的是他們倆在課外訓(xùn)練中，通過經(jīng)驗培養(yǎng)出了足夠?qū)掗煹臄?shù)學(xué)題型視野。近幾年，關(guān)于數(shù)學(xué)新題型的研究層出不窮，學(xué)生將面臨各類拓展問題發(fā)出的挑戰(zhàn)，有些數(shù)學(xué)題在數(shù)理上并不是多難，只是學(xué)生沒有見識過。所以，每個學(xué)生都需要有一定的題型視野，特別是在這種容易出難題、易錯題、經(jīng)典題的單元。

二、題型管理的背景意義

一個月后的期中復(fù)習(xí)，又一道題讓人覺得似曾相識：

從一個棱長5厘米的正方體木塊上，挖去一個長5厘米，寬2厘米，高1厘米的小長方體，剩下部分的表面積是多少平方厘米？

批閱結(jié)果讓筆者喜憂參半，喜在，看出來上一次講解類似題目時，學(xué)生都理解了。憂在，沒幾個學(xué)生完全解對。既然理解了，又為何不是全對呢？課上，筆者將上次的那道題搬過來對比給學(xué)生看：

①從一個棱長5厘米的正方體木塊上，挖去一個棱長2厘米的小正方體，剩下部分的表面積是多少平方厘米？

②從一個棱長5厘米的正方體木塊上，挖去一個長5厘米，寬2厘米，高1厘米的小長方體，剩下部分的表面積是多少平方厘米？

原來，一個月前是挖正方體，一個月后是挖長方體。

小姜提醒：“正方體由于6個面完全相同，只有1種面。而此題中的長方體，只有相對的面相同，所以有3種面，就要考慮清楚挖去了哪種面，多了哪種面?！?/p>

受前一次的思維定式影響，部分學(xué)生習(xí)慣地認(rèn)為解題思路是“在角上、在棱中、在面中”，所以寫出了三種情況。然而這道題的情況更為復(fù)雜，由于是挖去小長方體，且它的長和大正方體棱長相等，所以除了“1×5”這個面可以在棱中，“2×5”這個面也可以在棱中?！霸诿嬷小钡那闆r，3種面都有可能，但是“2×5”這個面過大，所以只有“1×5”（斜著）和“1×2”兩種面可以在面中去挖。

這件事之后，筆者的憂患意識有所提升。

第一，題型視野的弊端。數(shù)學(xué)題的拓展和變化，讓人防不勝防。特別是可以在這樣的難題上，繼續(xù)變化、創(chuàng)新出更難的“兄弟題”。雖然早在一個月前，筆者認(rèn)為每個孩子都需要有“題型視野”，但這道題似乎在洋洋得意地宣告，視野拓寬的速度永遠比不上它變異的速度。所以，適度訓(xùn)練是必需的，但是大量題海式訓(xùn)練，往往有可能事倍功半。

第二，思維定式的影響。題型在不斷變化和創(chuàng)新，學(xué)生舉一反三、觸類旁通能力告急的問題不容忽視。不可否認(rèn)的是相當(dāng)一部分學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，仍然存在明顯的解題定式、思維定式，也就是所謂的依葫蘆畫瓢。做基礎(chǔ)題尚可，想拿高分卻很難。特別是如何讓一些思維滯后的學(xué)生，也能夠慢慢發(fā)掘這樣的能力，成了筆者必須要去想辦法解決的問題。

第三，數(shù)學(xué)題組的必要。這兩道題的背景相同、數(shù)字簡單，為何難度大相徑庭？其本質(zhì)在于數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵處有區(qū)別，即長方體和正方體本身特征不同。所以在這種知識的關(guān)鍵處，很容易拓展出針對性題組。比如這兩道題就是一組“針對性數(shù)學(xué)題組”，一個針對長方體特征，一個針對正方體特征。那么在復(fù)習(xí)過程中，教師要善于設(shè)計“題組”，使學(xué)生在對比思辨中，提升思維能力，盡可能地打破思維定式。

三、題型管理的方法初探

時間來到期末復(fù)習(xí)階段，這一次，伴隨著前面產(chǎn)生的憂患意識，筆者主動出擊，將這組題拋給學(xué)生思考：

①從一個棱長5厘米的正方體木塊上，挖去一個棱長2厘米的小正方體，剩下部分的表面積是多少平方厘米？

②從一個棱長5厘米的正方體木塊上，挖去一個長5厘米，寬2厘米，高1厘米的小長方體，剩下部分的表面積是多少平方厘米？

③從一個棱長5厘米的正方體木塊上，挖去一個長4厘米，寬2厘米，高1厘米的小長方體，剩下部分的表面積和體積是多少？

筆者隨即巡視每個學(xué)生的思考過程和結(jié)果。經(jīng)過檢查，個別數(shù)學(xué)能力薄弱的學(xué)生，能將第①小題完整解決，②③兩小題寫出不止一種想法。大部分學(xué)生幾乎能夠完整解決三道題。

第③小題，筆者將小長方體的長減少了1厘米，如果在面中挖“1×2”，那么深度只有4厘米，不會被挖通透，而第②小題此情況會挖通透。此外，還要求孩子求出體積，雖然不難，但相信放在這樣的題組里，會提升孩子的辨析能力。

隨后筆者請了兩位能力很強的學(xué)生給全班講解這幾題的思路，并且總結(jié)做題技巧。大致思路就是先看位置“角、棱、面”，再看圖形特征區(qū)別，分析具體情況。

忽然第一排蹦出一句“這組題不就是在挖嗎？我們也學(xué)過拼和切啊。反正都是動作……”還是小姜，她總是在不合適的時間，說出合適的話，給人深度思考的空間。

沒錯??！那么多參考書、教輔書，都是例1、例2這樣按部就班的編制，既然是空間體，為什么不能用這樣形象化的語言去設(shè)計題目呢？拼和切的問題也碰見過很多次，每次結(jié)果都不盡如人意。如果每一類題型，都能像挖的問題一樣整合、分析、總結(jié)，學(xué)生解題的正確率會提高不少，思考能力也會大幅提升。

經(jīng)過一個中午的深思熟慮以后，筆者布置了這樣一個作業(yè)：每個學(xué)生回家搜集你本學(xué)期第一單元所有的課內(nèi)練習(xí)，像“挖”一樣找出同樣類型的題目，整合在一起，并說明這類題目的特征，至少整合出兩類。

第二天的兩節(jié)課，用來分享大家的整理結(jié)果，結(jié)果讓人眼前一亮。后續(xù)筆者將自己和全班同學(xué)的成果進行整理，發(fā)現(xiàn)所接觸過的關(guān)于長方體和正方體這個單元的題目共計十六種題型：展開圖問題、棱長和問題、側(cè)面積問題、缺口問題、不規(guī)則組合問題、鍛造熔鑄問題、拼切挖等。此外還根據(jù)學(xué)生能力差異進行了微調(diào)，加入提示，由易到難，層層推進。

經(jīng)歷了大半個學(xué)期的波折，筆者更堅定了要幫助學(xué)生學(xué)會利用題型管理的方式輔助復(fù)習(xí)的決心，筆者將從以下幾個方面做起。

1.作為教師要不斷學(xué)習(xí)，率先行動。當(dāng)下數(shù)學(xué)題型的拓展、創(chuàng)新速度極快，教師需要不斷學(xué)習(xí)，與時俱進。既要給學(xué)生提供充足的學(xué)習(xí)資源、搭建合適的學(xué)習(xí)平臺，豐富學(xué)生的題型視野，也要在題型管理的工作上率先行動和嘗試，搭建自我的題型管理平臺，形成資源庫，為后續(xù)工作做鋪墊。

2.善于利用數(shù)學(xué)題組，巧妙設(shè)計。教材上有許多基本的數(shù)學(xué)題組，不能蜻蜓點水式孤立它，忽略它的價值。而要學(xué)會利用不同的題組，比如，在知識關(guān)鍵處設(shè)計比較型題組，加強對本質(zhì)的理解；以舊知為基礎(chǔ)學(xué)習(xí)新知時，利用聯(lián)結(jié)型題組，培養(yǎng)學(xué)生從高位串起數(shù)學(xué)知識的意識；整理出類型相同但難度差異較大的遞進型題組，有助于培養(yǎng)學(xué)生觸類旁通、舉一反三的能力，打破思維定式，培養(yǎng)做題技巧。

3.注重落實題型總結(jié)，畫龍點睛。待題型整理完畢、學(xué)生認(rèn)真思考過后，如果沒有落實良好的題型總結(jié)，會有缺少臨門一腳的感覺。應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生學(xué)會用自己的語言描述題型特點、描述解決此類問題的大致思路、描述解題技巧等。只有這樣，才能充分發(fā)揮題型管理的價值，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高度。比如，小姚同學(xué)在總結(jié)“拼切”問題時這樣寫道：“每拼一次，少2個面，少8條棱。每切一次，多2個面，多8條棱?！毙埻瑢W(xué)面對組合立體圖形時這樣描述：“看起來不規(guī)則，實際上三視圖能說明一切。”這樣的點睛之筆，總比雜亂無章做試卷，顯得少而精。

題型管理是一個復(fù)雜、困難而漫長的過程。但是效果遠比漫無目的地做題復(fù)習(xí)要卓越。筆者將繼續(xù)研究、嘗試，用科學(xué)合理的方式提高學(xué)生的思考能力和復(fù)習(xí)效率，同時也促使自身快速成長。