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        巧用基本不等式的變形結(jié)論妙解最值題

        2021-12-03 01:39:18廣東省汕頭市澄海鳳翔中學(xué)徐春生

        ■廣東省汕頭市澄海鳳翔中學(xué) 徐春生

        結(jié)論1如果a,b∈R,那么a2+b2≥2|ab|,當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|時(shí),等式成立。

        證明:因?yàn)閍2+b2-2|ab|=|a|2-2|ab|+|b|2=(|a|-|b|)2≥0,所以a2+b2≥2|ab|,當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|時(shí),等式成立。

        結(jié)論2如果a,b∈R,那么(a+b)2≥4ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等式成立。

        證明:因?yàn)椋╝+b)2-4ab=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0,所以(a+b)2≥4ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等式成立。

        例2設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),且滿足a-3b+2c=0,則的最小值是_____。

        解析:由結(jié)論2 知,(a+2c)2≥8ac。因?yàn)閍-3b+2c=0,所以3b=a+2c,9b2=(a+2c)2≥8ac,即b2≥ac。

        因?yàn)閍,b,c為正實(shí)數(shù),所以,當(dāng)且僅當(dāng)a=2c時(shí),等式成立。

        例3已知x>0,y>0,若x+y+xy=8,則xy的最大值為( )。

        解析:由結(jié)論2 知,(x+y)2≥4xy。因?yàn)閤+y+xy=8,所以8-xy=x+y,也即(8-xy)2=(x+y)2≥4xy,(xy)2-20xy+64≥0,解得xy≤4或xy≥16。因?yàn)閤>0,y>0,x+y+xy=8,所以xy≤4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=2時(shí),等式成立。選C。

        結(jié)論3如果a,b∈R,那么2(a2+b2)≥(a+b)2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等式成立。

        證明:因?yàn)閍2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab,即2(a2+b2)≥(a+b)2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等式成立。

        結(jié)論4如果ab≥0,那么a2+b2≤(a+b)2,當(dāng)且僅當(dāng)ab=0時(shí),等式成立。

        證明:因?yàn)?ab≥0,所以a2+b2+2ab≥a2+b2,即a2+b2≤(a+b)2,當(dāng)且僅當(dāng)ab=0時(shí),等式成立。

        故函數(shù)y=的最大值是2,最小值是。

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